07成考专升本高数二课堂笔记

总目录前言第章预备知识函数第一章极限和连续第二章一元函数微分学第三章一元函数积分学第四章多元函数微分学第五章概率论初步前言一、成人高考专科起点升本科考试中，哪些专业必考高等数学（二）根据教育部国家考试中心颁布的新版（2007年版）全国各类成人高等学校招生复习考试大纲，高等数学（二）是成人高考专科起点升本科中，凡报考经济类、管理类以及职业教育类、生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类、药学类（除中药学类外）六个一级学科的考生必备科目。二、如何解读高等数学（二）的复习考试大纲教育部国家考试中心颁布的新版（2007年版）全国各类成人高等学校招生复习考试大纲是指导复习考试的唯一法令性文件，是考前学习的主要依据。大纲阐述了高等数学（二）考试的总要求，规定了复习考试内容，明确了考试形式及试卷结构，并且出示了样题，因此在复习前认真学习新版大纲，领会新版大纲的精神与要点，逐步掌握成人高考复习考试的规律与特点，是顺利完成专升本复习考试的重要保证。在新版大纲的总要求中明确了高等数学（二）复习考试的知识范围，包括“高等数学”及“概率论初步”两部分，而“高等数学”中涉及到极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学等四个知识板块，“概率论初步”中涉及到事件的关系和运算、随机事件及其概率、离散型随机变量的概率分布及其数字特征等四个知识板块。三、新版大纲的基本特点2007年大纲与2006年大纲基本一致，其基本特点是1大纲强调复习考查“高等数学”和“概率论初步”的基本知识、基本方法及基本技能，考查的知识点毫无争议的都是高等数学中最基本的、最主要的、最突出的知识点，是学完高等数学必须掌握而且极易掌握的知识点。2大纲强调能力要求是在理解基本概念的基础上,能够正确的推理证明，准确地计算，能够综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题的能力。从近两年的试题看,试题的起点放得很低，容易上手做。明显地降低了包含知识点的综合程度,尽量减少解题的中间环节或计算步骤，并且以常规计算题为主。3综合应用题，如一元函数或二元函数简单的最值实际应用题、求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转所生成旋转体的体积等，多是几何方面的简单实际问题。4考试形式和试卷结构考试形式为闭卷笔试，试卷的总分150分，考试时间150分，试卷结构一般为3个比例，试卷内容比例区间和连续约占15（按例年经验约2223分），一元函数微分学约占30的比例，约45分左右，一元函数积分学约占32，大约50分左右，多元函数微积分大约为2223分左右，概率论初步约占8，约12分左右，这是关于知识内容比例。第二比例为试卷题型比例；试卷的题型依次排列，选择题、填空题、解答题，选择题每小题4分，共10小题，计40分约占27；填空题每小题4分，共10小题，计40分约占27；解答题共8小题，前5小题每题8分，后三个题每题10分，计70分约占46。第三比例为试题的难易比例；352。四、关于考前复习应当注意哪些问题1定位要自我剖析，分清优劣，利弊，准确定位，把自己放到一个合适的起点上，确定复习框架，实践表明高等数学是一个考试成绩上升很快的一门学科，不怕基础差，起点低只要认真努力复习。2读纲要重视大纲对复习备考的指导作用，认真的学习大纲，吃透大纲的精神，掌握大纲的要点，对照大纲全面进行复习，要准确把握大纲对各知识点的考核要求，这样我们可以做到复习中克服盲目性、随意性，切实提高复习的效率。3数学是一门知识性、系统性比较强结构比较严谨的一门课程，学习数学需要静下心来，所以同学们主要是通过网络来听课，要注意作笔记，静下心来抓住问题不放，下面有问题要通过网络来答疑，或通过教材，教学指导书来寻求答案，注意解答方法技巧，尽量少走弯路。4考前复习分为三个阶段；第一阶段基础复习。第二阶段强化复习，突出重点、强化练习。第三阶段冲刺复习，主要是进行心理调解，实战模拟。五、学习过程中应抓住的环节是什么1听课坚持听课，注意知识的系统性，学习中要循序渐进，注意知识的严密性注意理解概念要准确。对自己多问几个为什么，由浅入深，步步深入。2做题加强练习，将知识转化为能力，是这样的一个重要的途径，而且只有通过一定数量的练习才能加深对基本概念的理解。才能掌握解题的基本方法和技巧，我们强调加强练习是在复习的基础上来做题，只有在透彻理解基础概念的前提下，才能寻找最佳的解题途径。多做练习有助于对基本概念的理解，对基本运算的熟练掌握，所以同学们在复习中一定要注意复习和做题之间的有机联系，两者是相互促进的。做题也不能强调题海战术，要精选题目要少而精，做一些有代表性的题目，作为成人高考来讲的出题思路还是强调双基，不主张抠死题、抠偏题、难题和怪题。3小结每一节或每一章学习完后，注意总结复习，加深理解，增强记忆，通过复习使得自己的成绩更上一层楼，总而言之作为成人高考专升本高等数学课来讲只要大家思想重视，平时学习要抓紧那么学好高等数学是不成问题的。学习高等数学更要重视学习过程，在复习的过程中不只单纯的学一些数学知识，提高个人的文化基础，数学素质，更主要的是通过考前复习由此建立起强烈的求知欲望，培养良好的学习习惯，总结出科学的学习方法。这将是受用终生的。一年之季在于春，一天之季在于晨，春晨一刻值千金，莫将春耕误，换得秋收愁。所以面对机遇和挑战我们切不可心服气燥，而应满怀信心自强不息。脚踏实地的搞好复习。考试中必然能取得好的成绩。六、教材1选用教材2007年1月由中央广播电视大学出版社出版，由教育部考试中心组编的专科起点升本科入学考试参考丛书高等数学（二）考试大纲解析。使用中注意教材中的错误之处。2参考书2007年1月由高等教育出版社出版专科起点升本科复习考试辅导教材高等数学（二）。2007年1月由北京师范大学出版社出版的专科起点升本科入学考试参考书高等数学（二）。第章预备知识函数新修订的大纲中已删去了函数这一章内容，就是说函数知识在考试中不作考核要求，即不会单独出现有关函数概念及性质的试题，但因微积分学是以初等函数为研究对象，所以把函数做为预备知识，对于后面学好微积分学是十分必要的。复习考试要求1理解函数的概念，会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单分段函数的图像。2理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。3了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。4熟练掌握函数的四则运算与复合运算。5掌握基本初等函数的性质及其图像。6了解初等函数的概念。7会建立简单实际问题的函数关系式。主要知识内容一、函数的概念1函数的定义（1）常量与变量常量在观察某种自然现象或技术过程中，保持不变的量，或者是取固定数值的量。常量一般用字母A,B,C表示。变量在观察某种自然现象或技术过程中，变化着的量，或者是取不同数值的量。变量一般用字母X,Y,Z,表示。（2）函数的定义设在某个变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随变量X而变化，如果变量X在非空实数集合D中取某一数值时，变量Y依照某一对应规律F总有惟一确定的数值与之对应，则称变量Y为变量X的函数，记为YF（X）（XD）其中X叫自变量，Y叫因变量或函数。例如，收益函数YAX（其中A表示价格）匀速直线运动SS0VT总成本函数（其中C0为固定成本，C1为单位可变成本）在上述函数的定义中，重要的是三因素两要素。定义域在数轴上使函数F有定义的自变量的取值范围（变化区域）D，称为函数的定义域。记为D（F）。对应规律自变量X在D上每取一数值时，函数Y按照某一确定的规律F，有确定的数值与之对应。当自变量X取某一定值A时，函数YF（X）的对应值记为F（A），有时也记为Y|XA。值域函数Y的取值范围，称为函数的值域，记为Z（F）。例1函数的定义两要素（1）下列各组函数中，两个函数相同的是ABCD【答疑编号11000101针对该题提问】答B（2）9501下列各组函数中，两个函数相等的是ABCD【答疑编号11000102针对该题提问】答C。例2求函数定义域（1）9401函数的定义域是A（0，5B（1，5C（1，5）D（0，）【答疑编号11000103针对该题提问】答B。（2）9701函数的定义域是A（，1B4，）C（，14，）D（，1）（4，）【答疑编号11000104针对该题提问】答C。（3）0001函数的定义域是A（1，）B1，）C（1，）D1，）【答疑编号11000105针对该题提问】答C。例3求函数值或进行函数式的变换（1）9611设F（X）3X5，则FF（X）2_。【答疑编号11000106针对该题提问】答9X14解FX23X523X3FFX233X359X14（2）设，则_。【答疑编号11000107针对该题提问】答（3）设F（X21）X43X22，则F（X）_。【答疑编号11000108针对该题提问】答X2X2函数的表示法常用的函数表示法有三种解析法（公式法）、表格法、图示法。（1）解析法对自变量和常数施加四则运算、乘幂、指数运算、取对数、取三角函数等数学运算所得到的式子称为解析表达式。用解析表达式表示一个函数就称为函数的解析法，也叫公式法。（2）表格法在实际应用中，常把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，函数的这种表示法称为表格法。（3）图示法设YF（X）是一个给定的函数，定义域是D（F），由于自变量和函数都取实数值，因而我们可以在平面上取定一个直角坐标系OXY，用X轴上的点表示自变量的值，用Y轴上的点表示函数值。于是，在D（F）内的每一个X及相应的函数值F（X）就确定了该平面直角坐标系中的一个点P（X,Y），当X在D（F）内变动时，点P在坐标平面上移动，一般便得到平面上的一条曲线，这就是用图示法表示函数。函数的三种表示法各有优缺点，在具体应用时，常常是三种方法配合使用。3函数的图像用图示法表示函数所得到的曲线，就称为函数的图像，用图像表示函数，使我们有可能借助于几何图形，形象直观地研究事物的运动变化过程，它对于理解高等数学中的概念、方法和结论是十分重要的。描点法作图，例如作函数YX3的图像。定义域（,），值域（,）X21012Y81018二、显函数、隐函数和分段函数（1）显函数函数关系用解析式YF（X）表示的称为显函数，如YX2LGX，等。（2）隐函数由方程F（X,Y）0确定的函数关系YF（X），称为隐函数。（3）分段函数有时还要考察这样的函数，对于其定义域内自变量X的不同值，函数不能用一个统一的公式表示，而是要用两个或两个以上的公式来表示。这类函数称为“分段函数”。例如，分段函数当X0时，函数式为YX1；当X0时，用函数式YX1来表示，这个函数的定义域是（，）。关于分段函数要注意以下几点1）分段函数是用几个公式和起来表示一个函数，而不是表示几个函数；2）因为函数式子是分段表示的，所以各段的定义域必须明确标出；3）对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范围的公式中去求；4）分段函数的定义域是各项定义域的并集。例4分段函数（1）0106设，则F（0）_。【答疑编号11000109针对该题提问】答1。（2）0301设，则F（0）_。【答疑编号11000110针对该题提问】答1。（3）设，则当X（，）时，FF（X）_。【答疑编号11000111针对该题提问】答1。当1X1F（X）1FF（X）F（1）1当X1或X1F（X）0FF（X）F（0）1当X（,）,FF（X）1三、函数的简单性质1函数的单调性定义设函数YF（X）在区间（A,B）内有定义，（1）如果对于（A,B）内的任意两点X1和X2，当X1X2时，若恒有F（X1）F（X2），则称函数F（X）在（A,B）内是单调增加的；恒有F（X1）F（X2），则称函数F（X）在（A,B）内是严格单调增加的。（2）如果对于（A,B）内的任意两点X1和X2，当X1X2时，若恒有F（X1）F（X2），则称函数F（X）在（A,B）内是单调减少的；恒有F（X1）F（X2），则称F（X）在（A,B）内是严格单调减少的。注意单调增加或单调减少函数统称为单调函数。单调性是对一个区间而不是对一个点来讲的。单调函数必须指出它的单调区间。例如函数YX2在区间（0,）内是单调增加的；在区间（,0）内是单调减少的；而在区间（,）内不是单调的。2函数的奇偶性定义如果对于函数YF（X）定义域D中的任一点X恒有F（X）F（X）则称F（X）为偶函数如果对于定义域D中的任一点X恒有F（X）F（X）则称F（X）为奇函数。偶函数的图形关于Y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。例如YX2是偶函数，YX是奇函数，YSINX是奇函数；YCOSX是偶函数3函数的有界性定义设函数YF（X）在区间（A,B）内有定义，如果存在一个正数M，使得对于（A,B）内的任意一点X，恒有|F（X）|M，则称函数F（X）在（A,B）内是有界的，否则，称F（X）在（A,B）内是无界的。例如函数YSINX，在（,）内，恒有|SINX|1，所以函数YSINX在其定义域内为有界函数。4函数的周期性在自然界中，周而复始的现象叫做周期现象。定义对于函数YF（X），如果存在一个常数T0，使得对于任意实数X，关系式F（XT）F（X）恒成立，则称F（X）为周期函数，称满足这个等式的最小正数T为函数的最小正周期或简称为周期。例如YSINX就是一个周期函数，最小正周期。对于函数YSINX，最小正周期例5函数的性质（1）0201函数F（X）X3SINX是（A）奇函数（B）偶函数（C）有界函数（D）周期函数【答疑编号11000112针对该题提问】答B。（2）9702设F（X）为奇函数，且,则F（X）是（A）奇函数（B）偶函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数，又是偶函数【答疑编号11000113针对该题提问】答B。（3）在（0,）内，下列函数中是无界函数的是（A）（B）（C）YSINX（D）YLN（1X）【答疑编号11000114针对该题提问】答D。四、反函数定义设已知函数为YF（X）（1）如果由此解出的（2）是一个函数，则称为YF（X）的反函数，记为XF1（Y），并称YF（X）为直接函数。注意习惯上常用X表示自变量，用Y表示因变量，因此将XF1（Y）中的Y换为X，而将X换为Y，记作YF1（X）。定理如果函数YF（X），D（F）X，Z（F）Y是严格单调增加（或减少）的，则它必定存在反函数并且也是严格单调增加（或减少）的。求反函数的步骤第一步从直接函数YF（X）中解出，看它是否能成为函数；第二步如果是函数，将字母X换成Y，将字母Y换成X得这就是YF（X）的反函数。注意（1）直接函数YF（X）与它的反函数YF1的图形，必定对称于直线YX（一般地，二者是不同的函数，其图形是不同的曲线）；（2）直接函数YF（X）与它的反函数XF1（Y）是同一条曲线（二者是不同的函数，但是，它们的图形是同一条曲线）。根据这个结论，当我们知道了直接函数YF（X）的图形之后，就可利用对称于直线YX的性质画出其反函数YF1（X）的图形。例6反函数（1）9402函数F（X）2X1的反函数F1（X）等于（A）LOG2（X1）（B）1LOG2X（C）（D）2LOG2X【答疑编号11000201针对该题提问】答B。（2）函数的值域是_。【答疑编号11000202针对该题提问】答（0，1）（1，）（3）函数的反函数F1（X）_。【答疑编号11000203针对该题提问】答五、基本初等函数1常数函数YC它的定义域是（,），图形是一条平行于X轴的直线，显然这是个偶函数。2幂函数它的定义域随值的不同而不同，但不管值是多少，它在（0,）内总是有定义的。当时，它的图形如图1，不论为何值，它的图形都通过原点（0,0）和点（1,1），在（0,）内严格单调增加且无界。当时，它的图形如图2，在（0,）内严格单调减少且无界，曲线以X轴和Y轴为渐近线，都通过点（1,1）。3指数函数YAX（A0，A1）它的定义域是（,），由于不论X为何值，总有AX0，且A01，所以它的图形总是在X轴的上方，且通过点（0，1）。当A0时，函数严格单调增加且无界，曲线以X轴的负半轴为渐近线；当0A1时，函数严格单调减少且无界，曲线以X轴的正半轴为渐近线，如图3以无理数E27182818为底的指数函数YEX，是微积分中经常用到的。4对数函数YLOGAX（A0，A1）它的定义域为（0,），不论A为何值，对数曲线都通过点（1，0）。当A1时，函数严格单调增加且无界，曲线以Y轴的负半轴为渐近线；当0A1时函数严格单调减少且无界，曲线以Y轴的正半轴为渐近线，如图4所示。以无理数E为底的对数函数YLOGEX叫自然对数函数，简记作YLNX。自然对数函数在微积分中是经常用到的。5三角函数三角函数有以下六个YSINXYCOSXYTANXYCOTXYSECXYCSCX在微积分中，三角函数的自变量X一律以“弧度”为单位。例如X1就表示X等于一个弧度（5717448）。函数YSINX的定义域为（,），是奇函数，且是周期等于的周期函数，其图形如图5所示。函数YCOSX的定义域为（,），是偶函数，且是周期等于2的周期函数，其图形如图6所示。因为|SINX|1，|COSX|1，所以它们都是有界函数。函数YTANX的定义域是的一切实数。它是奇函数，且是周期为的周期函数，其图形如图7所示。函数YCOTX的定义域是的一切实数。它也是奇函数，且是周期为的周期函数，其图形如图8所示。6反三角函数常见的反三角函数有以下四个YARCSINXYARCCOSXYARCTANXYARCCOTX它们是作为相应三角函数的反函数定义出来的，由于YSINX，YCOSX在定义域内不单调，所以对于YSINX，只考虑，对于YCOSX，只考虑X0，使他们单调，并使其反函数存在。此时我们称反正弦函数和反余弦函数取主值，即，它们的图形分别为图9和图10中的实线部分。YARCSINX和YARCCOSX的定义域都是1,1。同理，对于反正切函数YARCTANX，也取主值，即，它的定义域为（，），其图形如图11所示。六、复合函数与初等函数1复合函数定义设Y是U的函数YF（U），而U又是X的函数，又设X表示函数的定义域的一个子集，如果对于X上的每一个取值X所对应的U值，函数YF（U）有定义，则Y通过而成为X的函数，记为这个函数叫做由函数YF（U）及复合而成的复合函数，它的定义域为X，其中X称为自变量，U称为中间变量，Y称为因变量或函数。所以复合函数实际就是将中间变量代入后所构成的函数。注意不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的。例如YARCSINU及UX22就不能复合成一个复合函数。因为对于UX22的定义域（,）内的任何值X所对应的U值（都大于或等于3）都不能使YARCSINU有意义。复合函数不仅可以由一个中间变量，还可以有更多的中间变量，如U、V、W、T等，即可以经过多次复合得到一个函数。在求函数的导数时，往往要反过来考虑问题，即一个函数是有哪几个基本初等函数（或简单函数）复合而成的例7复合函数（1）0206设F（X）LNX,G（X）E2X1，则FG（X）_。【答疑编号11000204针对该题提问】答LNE2X12X1。（2）0401设，则FG（X）_。【答疑编号11000205针对该题提问】答。（3）9906设Y3U,UV2,VTANX，则复合函数YF（X）_。【答疑编号11000206针对该题提问】答。（4）设F（X）的定义域是1,10，复合函数F（10X）的定义域是_。【答疑编号11000207针对该题提问】答0,1。2初等函数定义由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）或有限次复合所构成、并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。例如，YSIN（3X1），YTAN2（LNX）等都是初等函数。在微积分中所研究所讨论的主要是初等函数。附录常用的初等数学基本公式一、乘法公式；反之，因式分解公式（XA）（XB）X2（AB）XAB（AB）（AB）A2B2（AB）2A22ABB2（AB）3A33A2B3AB2B3（AB）（A2ABB2）A3B3二、一元二次方程AX2BXC0（A0）求根公式三、指数1指数有关概念A012指数运算法则四、对数1对数定义若ABN,则BLOGAN（A0,A1）2对数性质LOGA10，LOGAA1，（ELNNN）3对数运算法则，五、数列1等差数列通项公式ANA1（N1）D前N项和公式2等比数列通项公式ANA1QN1前N项和公式六、常用三角函数公式1同角三角函数间基本关系式2二倍角公式3降幂公式七、特殊角的三角函数值度030456090180270360弧度0SIN01010COS10101TAN01不存在0不存在0八、旋转体的面积与体积公式1正圆柱体2正圆锥体3球体九、直线1直线的倾角和斜率2直线的斜截式方程3两直线的平行与垂直己知两条直线若2若，则第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。4熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容（一）数列的极限1数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作XN，数列中每一个数称为数列的项，第N项XN为数列的一般项或通项，例如（1）1，3，5，（2N1），（2）（3）（4）1，0，1，0，【答疑编号11010101针对该题提问】都是数列。它们的一般项分别为（2N1）,。对于每一个正整数N，都有一个XN与之对应，所以说数列XN可看作自变量N的函数XNF（N），它的定义域是全体正整数，当自变量N依次取1,2,3一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。在几何上，数列XN可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点X1,X2,X3,XN,。2数列的极限定义对于数列XN，如果当N时，XN无限地趋于一个确定的常数A，则称当N趋于无穷大时，数列XN以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作，否则称数列XN没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。数列极限的几何意义将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列XN以A为极限，就表示当N趋于无穷大时，点XN可以无限靠近点A，即点XN与点A之间的距离|XNA|趋于0。（二）数列极限的性质与运算法则1数列极限的性质定理11（惟一性）若数列XN收敛，则其极限值必定惟一。定理12（有界性）若数列XN收敛，则它必定有界。注意这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。2数列极限的存在准则定理13（两面夹准则）若数列XN,YN,ZN满足以下条件（1），（2），则定理14若数列XN单调有界，则它必有极限。3数列极限的四则运算定理。定理15（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念1当XX0时函数F（X）的极限（1）当XX0时F（X）的极限定义对于函数YF（X），如果当X无限地趋于X0时，函数F（X）无限地趋于一个常数A，则称当XX0时，函数F（X）的极限是A，记作或F（X）A（当XX0时）例YF（X）2X1X1,F（X）【答疑编号11010102针对该题提问】X1X1（2）当XX0时F（X）的左极限定义对于函数YF（X），如果当X从X0的左边无限地趋于X0时，函数F（X）无限地趋于一个常数A，则称当XX0时，函数F（X）的左极限是A，记作或F（X00）A（3）当XX0时，F（X）的右极限定义对于函数YF（X），如果当X从X0的右边无限地趋于X0时，函数F（X）无限地趋于一个常数A，则称当XX0时，函数F（X）的右极限是A，记作或F（X00）A例如函数，求，【答疑编号11010103针对该题提问】解当X从0的左边无限地趋于0时F（X）无限地趋于一个常数1。我们称当X0时，F（X）的左极限是1，即有当X从0的右边无限地趋于0时，F（X）无限地趋于一个常数1。我们称当X0时，F（X）的右极限是1，即有显然，函数的左极限、右极限与函数的极限之间有以下关系定理16当XX0时，函数F（X）的极限等于A的必要充分条件是这就是说如果当XX0时，函数F（X）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。反之，如果左、右极限都等于A，则必有。X1时FXX1X1FX2对于函数，当X1时，F（X）的左极限是2，右极限也是2。2当X时，函数F（X）的极限（1）当X时，函数F（X）的极限YFXXFXYFX1XFX11定义对于函数YF（X），如果当X时，F（X）无限地趋于一个常数A，则称当X时，函数F（X）的极限是A，记作或F（X）A（当X时）（2）当X时，函数F（X）的极限定义对于函数YF（X），如果当X时，F（X）无限地趋于一个常数A，则称当X时，函数F（X）的极限是A，记作这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中N的N是正整数；而在这个定义中，则要明确写出X，且其中的X不一定是正整数，而为任意实数。YFXXFXXX，FX22例函数F（X）2EX，当X时，F（X）【答疑编号11010104针对该题提问】解F（X）2EX2，X，F（X）22所以（3）当X时，函数F（X）的极限定义对于函数YF（X），如果当X时，F（X）无限地趋于一个常数A，则称当X时，F（X）的极限是A，记作XFX则FX2X0X,XFX22例函数，当X时，F（X）【答疑编号11010105针对该题提问】解当X时，X2，即有由上述X，X，X时，函数F（X）极限的定义，不难看出X时F（X）的极限是A充分必要条件是当X以及X时，函数F（X）有相同的极限A。例如函数，当X时，F（X）无限地趋于常数1，当X时，F（X）也无限地趋于同一个常数1，因此称当X时的极限是1，记作其几何意义如图3所示。FX1YARCTANX不存在。但是对函数YARCTANX来讲，因为有即虽然当X时，F（X）的极限存在，当X时，F（X）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当X时，YARCTANX的极限不存在。（四）函数极限的定理定理17（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理18（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件（1），（2）则有。注意上述定理17及定理18对也成立。下面我们给出函数极限的四则运算定理定理19如果则（1）（2）（3）当时，时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论推论（1）（2）（3）用极限的运算法则求极限时，必须注意这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。（五）无穷小量和无穷大量1无穷小量（简称无穷小）定义对于函数，如果自变量X在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作常用希腊字母，来表示无穷小量。定理110函数以A为极限的必要充分条件是可表示为A与一个无穷小量之和。注意（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。例如振荡型发散（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当X越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。2无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。注意无穷大（）不是一个数值，“”是一个记号，绝不能写成或。3无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理111在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。当无穷大无穷小当为无穷小无穷大4无穷小量的基本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；（2）如果则称与为同阶的无穷小量；（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；（4）如果则称是比较低价的无穷小量。当等价无穷小量代换定理如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。均为无穷小又有这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有当时，SINXXTANXARCTANXXARCSINXX（六）两个重要极限1重要极限重要极限是指下面的求极限公式令这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。其结构式为2重要极限重要极限是指下面的公式其中E是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为E2718281828495045其结构式为重要极限是属于型的未定型式，重要极限是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。（七）求极限的方法1利用极限的四则运算法则求极限；2利用两个重要极限求极限；3利用无穷小量的性质求极限；4利用函数的连续性求极限；5利用洛必达法则求未定式的极限；6利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式（2）（3）（4）例1无穷小量的有关概念（1）9601下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是ABCD【答疑编号11010301针对该题提问】答CA发散D（2）0202当时，与X比较是A高阶的无穷小量B等价的无穷小量C非等价的同阶无穷小量D低阶的无穷小量【答疑编号11010302针对该题提问】答B解当,与X是极限的运算0611【答疑编号11010303针对该题提问】解答案1例2型因式分解约分求极限（1）0208【答疑编号11010304针对该题提问】答解（2）0621计算【答疑编号11010305针对该题提问】解答例3型有理化约分求极限（1）0316计算【答疑编号11010306针对该题提问】答解（2）9516【答疑编号11010307针对该题提问】答解例4当时求型的极限（1）0308【答疑编号11010308针对该题提问】一般地，有答例5用重要极限求极限（1）9603下列极限中，成立的是ABCD【答疑编号11010309针对该题提问】答B（2）0006【答疑编号11010310针对该题提问】答解例6用重要极限求极限（1）0416计算【答疑编号11010311针对该题提问】答解析解一令解二03060601（2）0118计算【答疑编号11010312针对该题提问】答解例7用函数的连续性求极限0407【答疑编号11010313针对该题提问】答0解，例8用等价无穷小代换定理求极限0317【答疑编号11010314针对该题提问】答0解当例9求分段函数在分段点处的极限（1）0307设则在的左极限【答疑编号11010315针对该题提问】答1解析（2）0406设,则【答疑编号11010316针对该题提问】答1解析例10求极限的反问题（1）已知则常数【答疑编号11010317针对该题提问】解析解法一，即，得解法二令，得，解得解法三（洛必达法则）即，得（2）若求A,B的值【答疑编号11010318针对该题提问】解析型未定式当时，令于是，得即，所以0402【答疑编号11010319针对该题提问】0017，则K_（答LN2）【答疑编号11010320针对该题提问】解析前面我们讲的内容极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性复习考试要求1理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2会求函数的间断点。3掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识内容（一）函数连续的概念1函数在点X0处连续定义1设函数YF（X）在点X0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量X（初值为X0）趋近于0时，相应的函数的改变量Y也趋近于0，即则称函数YF（X）在点X0处连续。函数YF（X）在点X0连续也可作如下定义定义2设函数YF（X）在点X0的某个邻域内有定义，如果当XX0时，函数YF（X）的极限值存在，且等于X0处的函数值F（X0），即定义3设函数YF（X），如果，则称函数F（X）在点X0处左连续；如果，则称函数F（X）在点X0处右连续。由上述定义2可知如果函数YF（X）在点X0处连续，则F（X）在点X0处左连续也右连续。2函数在区间A，B上连续定义如果函数F（X）在闭区间A，B上的每一点X处都连续，则称F（X）在闭区间A，B上连续，并称F（X）为A，B上的连续函数。这里，F（X）在左端点A连续，是指满足关系，在右端点B连续，是指满足关系，即F（X）在左端点A处是右连续，在右端点B处是左连续。可以证明初等函数在其定义的区间内都连续。3函数的间断点定义如果函数F（X）在点X0处不连续则称点X0为F（X）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若F（X）在点X0处有下列三种情况之一（1）在点X0处，F（X）没有定义；（2）在点X0处，F（X）的极限不存在；（3）虽然在点X0处F（X）有定义，且存在，但，则点X0是F（X）一个间断点。例19405设，则F（X）在AX0,X1处都间断BX0,X1处都连续CX0处间断，X1处连续DX0处连续，X1处间断【答疑编号11010401针对该题提问】解X0处，F（0）0F（00）F（00）X0为F（X）的间断点X1处，F（1）1F（10）F（10）F（1）F（X）在X1处连续答案C例29703设，在X0处连续，则K等于A0BCD2【答疑编号11010402针对该题提问】分析F（0）K答案B例30209设在X0处连续，则A【答疑编号11010403针对该题提问】解F（0）E01F（0）F（00）F（00）A1答案1（二）函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。定理112（四则运算）设函数F（X），G（X）在X0处均连续，则（1）F（X）G（X）在X0处连续（2）F（X）G（X）在X0处连续（3）若G（X0）0，则在X0处连续。定理113（复合函数的连续性）设函数UG（X）在XX0处连续，YF（U）在U0G（X0）处连续，则复合函数YFG（X）在XX0处连续。在求复合函数的极限时，如果UG（X），在X0处极限存在，又YF（U）在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即定理114（反函数的连续性）设函数YF（X）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数XF1（Y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。（三）闭区间上连续函数的性质在闭区间A，B上连续的函数F（X），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理115（有界性定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，则F（X）必在A，B上有界。定理116（最大值和最小值定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理117（介值定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，且其最大值和最小值分别为M和M，则对于介于M和M之间的任何实数C，在A，B上至少存在一个，使得F（）C推论（零点定理）如果函数F（X）在闭区间A，B上连续，且F（A）与F（B）异号，则在A，B内至少存在一个点，使得F（）0（四）初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。定理118初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知如果F（X）是初等函数，且X0是定义区间内的点，则F（X）在X0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。0407【答疑编号11010404针对该题提问】0611【答疑编号11010405针对该题提问】例1证明三次代数方程X35X10在区间（0,1）内至少有一个实根【答疑编号11010406针对该题提问】证设F（X）X35X1F（X）在0，1上连续F（0）1F（1）3由零点定理可知，至少存在一点（0，1）使得F（）0，3510即方程在（0，1）内至少有一个实根。本章小结函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。这一章的内容在考试中约占15，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下一、概念部分重点极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。函数在一点连续性的三个基本要素（1）F（X）在点X0有定义。（2）存在。（3）。常用的是F（X00）F（X00）F（X0）。二、运算部分重点求极限，函数的点连续性的判定。1求函数极限的常用方法主要有（1）利用极限的四则运算法则求极限；对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用两个重要极限求极限；（3）利用无穷小量的性质求极限；（4）利用函数的连续性求极限；若F（X）在X0处连续，则。（5）利用等价无穷小代换定理求极限；（6）会求分段函数在分段点处的极限；（7）利用洛必达法则求未定式的极限。2判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。第二章一元函数微分学第一节导数与微分复习考试要求1理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。主要知识内容（一）导数的概念1导数的定义定义设函数YF（X）在点X0的某邻域内有定义，当自变量X在X0处取得改变量X时，函数YF（X）取得相应的改变量YF（X0X）F（X0），如果当X0时，函数的改变量Y与自变量的改变量X之比的极限存在，则称此极限值为函数YF（X）在点X0处的导数，并称函数YF（X）在点X0处可导，记作利用导数定义求导数的解题步骤（1）求增量YF（X0X）F（X0）（2）算比值（3）取极限左导数如果当X0时，的极限存在，则称此极限值为函数F（X）在X0处的左导数，记为F（X0），即右导数如果当X0时，的极限存在，则称此极限值为函数F（X）在X0处的右导数，记为F（X0），即如果函数F（X）在X0处可导，显然要求在此点左导数和右导数都存在且相等，反之也成立。导函数一般地说，设对于开区间（A，B）内的每一点X，函数YF（X）都有导数，那么称F（X）在（A，B）可导，于是对应于（A，B）内的每一个X值，就有一个导数值F（X），因此导数是X的函数，此函数叫做导函数。以后为了简便起见，将导函数简称为导数，记作2导数的几何意义设曲线的方程为YF（X），则由导数的定义可知，函数YF（X）在某点X0处的导数F（X0）就是曲线上的点M（X0，Y0）处切线的斜率（见图），即由曲线的点斜式方程，易知曲线YF（X）上的点M（X0，Y0）处的切线方程为YY0FX0XX03可导与连续的关系定理21如果函数YF（X）在点X0处可导，则它在X0处必定连续。由这个定理可知若函数F（X）在X0不连续，则F（X）在X0处必定不可导。例【答疑编号11020101针对该题提问】F（X）在X0处连续。F0F0F（X）X在X0处不可导（二）曲线的切线方程及法线方程若函数YF（X）在点X0处可导，由导数的几何意义，知F（X0）表示过曲线上点M（X0，Y0）的切线斜率。所以，过曲线上点M（X0，Y0）的切线方程为YY0FX0XX0若FX0存在且不等于零，则过点M（X0，Y0）的法线方程为例19704设函数F（X）满足，则F0。【答疑编号11020102针对该题提问】解答例20303己知函数FX在点X0处可导，且FX02，则等于（）A0B1C2D4【答疑编号11020103针对该题提问】解FX在点X0处可导，FX02答D导数的几何意义例30410曲线YEX在点（0，1）处的切线的斜率K为_【答疑编号11020104针对该题提问】解析本小题主要考查利用导数的几何意义，满分4分。例20616曲线YX3X在点（1，0）处的切线方程为【答疑编号11020105针对该题提问】解Y3X21YX12Y02X1切线方程为Y2X1答Y2X1例39920在曲线上求一点M0,使过点M0的切线平行于直线X2Y50,并求过点M0的切线方程和法线方程。【答疑编号11020106针对该题提问】解析本小题主要考查利用导数几何意义求曲线的切线方程和法线方程，满分6分。设M0（X0，Y0）故切线方程为，即X2Y10法线方程为Y12（X1），即2XY30（三）导数的计算1基本初等函数的导数公式（1）（C）0（2）（X）X1（3）（4）（5）（AX）AXLNA（A0,A1）（6）（EX）EX（7）（8）（9）（SINX）COSX（10）（COSX）SINX（11）（12）（13）（SECX）SECXTANX（14）（CSCX）CSCXCOTX（15）（16）（17）（18）2导数的四则运算法则设UU（X），VV（X）均为X的可导函数，则有（1）（UV）UV（2）（UV）UVUV（3）（CU）CU（4）（5）（6）（UVW）UVWUVWUVW3复合函数求导法则如果U（X）在点X处可导，而YF（U）在相应的点U（X）处可导，则复合函数YF（X）在点X处可导，且其导数为同理，如果YF（U），U（V），V（X），则复合函数YF（X）的导数为4反函数求导法则如果X（Y）为单调可导函数，则其反函