闭环零极点及偶极子对系统性能的影响

闭环零极点及偶极子对系统性能的影响1综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的，对于稳定的系统，动态性能一般指系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间，描述的是系统的最大偏差以及反应的快速性；稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。在本文中，采用增加或减少零极点以及高阶零极点的分布来研究高阶系统的各项性能指标，并借助工程软件MATLAB通过编程来绘制系统的冲激响应、阶跃响应、斜坡响应及速度响应曲线，研究系统的零极点及偶极子对系统性能的影响。2稳定性分析稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状态的能力。系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。线性定常系统稳定的充分必要条件闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。因此研究零极点及偶极子对系统稳定性的影响即研究系统的极点是否都具有负实部，而不必关心系统的零点情况。若系统的极点都具有负实部，则系统是稳定的。否则，系统就不稳定。为了用MATLAB对上述结论进行验证并根据上述稳定性的定义，下面用函数作为扰动来讨论系统的稳定性。如果当T趋于时，系统的输出响应CT收敛到原来的零平衡状态，即，该系统就是稳定的。设系统的闭环传递函数为当系统分别增加S5，S5，1/S2，1/S2，S3/S301，S3TLIM0TC2S1/S301等环节时，画出各自的冲激响应曲线如图1注MATLAB源程序见附录1图1由以上MATLAB仿真结果可以看出，当增加S5，S5，1/S2，S3/S301等环节时，CS最终能收敛到原来的零平衡状态，系统稳定。而当增加1/S2,S3/S301等环节时，CS最终趋于无穷，系统不稳定。完全符合上述讨论。3动态性能分析31线性高阶系统的数学模型高阶系统的闭环传递函数一般表示为设系统闭环极点均为单极点（实际系统大都如此），单位阶跃响应的拉氏变换式为对于上式求拉氏反变换得到高阶系统的单位阶跃响应为闭环极点离虚轴越远，表达式中对应的暂态分量衰减越快，在系统的单位阶跃响应达到最大值和稳态值时几乎衰减完毕，因此对上升时间、超调量影响不大；反之，那些离虚轴近的极点，对应分量衰减缓慢，系统的动态性能指标主要取决于这些极点所对应的分量。从CT的表达式还可以看出，各暂态分量的具体值还取决于其模的大小，有些分量虽然衰减慢，但模值小，所以对超调量等影响较小，而有些分量衰减得稍快些，但模值大，所以对超调量等影响仍然很大。因此，系统的零极点的分布对系统的影响如下若某极点远离虚轴与其它零、极点，则该极点对应的响应分量较小。若某极点邻近有一个零点，则可忽略该极点引起的暂态分量。这样的零11011MMIINNNIIKSZBSSBSMSDAAP101INIISPMCSDSDIIIIIIIIIJPIDITTSPTPSNITEAEDMTCCOS001极点即为偶极子。若偶极子靠近虚轴，则不可忽略该极点引起的暂态分量。32线性高阶系统的动态性能仿真设有如下几个闭环传递函数现用MATLAB分别画出其阶跃响应曲线如图2,图3和图4注MATLAB源程序见附录2图22S1210S2S5201S01S62S1图3图4通过以上MATLAB仿真结果可以发现，1和2的阶跃响应曲线基本重合，3与4的阶跃响应曲线基本重合，3和4的阶跃曲线相差较大，完全符合理论分析33进一步分析忽略上述两类极点所引起的暂态分量后，一般剩下为数不多的几个极点所对应的暂态分量。这些分量对系统的动态特性将起主导作用，这些极点通常称为主导极点。而在控制过程中，通常要求控制系统既具有较高的反应速度，有不要是超调太大，往往将系统设计成具有适当超调的衰减振荡。因此，很多系统常常取一对共轭复数闭环极点作为主导极点。下面针对这种情况研究闭环零极点对系统性能的影响，并用MATLAB进行仿真验证。331公式推导及理论分析设高阶系统的主导极点为S1,2，则单位阶跃响应可近似为因为系统有两个主导极点S1和S2共轭,所以与共轭,即因此有121212JJ2100STSTSSMSMSDDTJWTTJWTMCTEEDES21S下面推导高阶系统暂态性能指标近似表达式为了后面说明方便,绘制一个高阶系统零极点示意图,如图5图51超调时间由超调量和超调时间的定义,得则11111ARCTNACOSSIRCTNN0TANDPDDPDPDDDDPPDMSMSDDSWTWTMSTWTDTW其中从图5看出,所以则实际上,从零极点图上可以直接量取WD、ZI、SI等，然后由上式计算超调时间TP。分析上式可以得到下列几点结论增加零点使TP减小，提高了系统的反应速度，增加的零点越靠近虚轴其作用越显著，而增加极点则相反。若零极点相距很近，则ZISI，则对TP的作用几乎抵消。（2）超调量P1,12,ARCTN2DSSW1113MNIIIIMSZSSD113131IIMNIIIIPDPNZSIDITWSZSTMAXPC与（1）中分析类似，这里直接给出超调量P的公式从上式可以得到下列结论若闭环零点离虚轴较近，且，很大。1ISZIP若附加极点离虚轴较近，且，很小。II331MATLAB仿真验证设闭环传递函数当分别增加零点Z101,Z23,Z35，极点P101,P23,P35时，系统的阶跃响应如图6至图11。注MATLAB源程序见附录313131PNMIITIIPNIIIISSZEAA210S图6图7图8图9图10图11由图6、图7、图8可知增加零点后，系统的反应速度有所提高，但同时超调量也会增大，且零点越靠近虚轴其作用越显著；由图9，图10，图11可知，增加极点后，系统的反应速度有所下降，但同时超调量也会减小，且越靠近虚轴，其作用越显著。这与理论分析基本相符。4稳态性能分析当系统的过渡过程结束，进入稳定运行状态后，这时关心的是系统的输出是否是期望的输出，相差多少，其差量称为稳态误差。稳态误差描述了控制系统的控制精度，反应了系统的稳态性能。下面的分析假设控制系统为单位负反馈系统（实际上任何控制也都可以化成单位负反馈形式），导出系统的误差传递函数，分析系统在阶跃信号，速度信号，加速度信号下的稳态误差，并用MATLAB对其进行仿真和验证。41理论分析设系统的闭环传递函数则其误差传递函数为即有其中RS为阶跃信号、速度信号或加速度信号。假设系统是稳定的，实际上只有系统是稳定时，研究其稳态性能才有意义。这时SES在S右半平面及虚轴上（除原点外）没有极点，则稳态误差终值1当输入信号为阶跃信号时,即RTR，RSR/S因系统稳定，所以其在原点处没有极点，为了更具一般性，设则为一个常数，同时可以发现增加零、极点会放大或缩小系统的稳态误差。特别要注意的是在增加零极点的过程中，若出现K0，则系统的稳态误差为0当原系统的K0时，系统的稳态误差为0，增加零极点后K0，系统的稳态误差将为一个常数。（2）当输入信号为速度信号时,即RTRT，RSR/S2ASBBSAESESRS11001LIMLIMNMIIIINSSIISSZBASRRSAA0LILIXXEETSE1100011LIMLIMLIMNMIIIINNSSSIIIIIISZKRKERAAA110NMIIIIKSZ11200011LIMLIMLIMSNMIIIINNSSIIIIIISZKRKERSAAA知系统的稳态误差趋于无穷。当增加零极点使K0，且实际上只有少数系统能在增加一个零点或极点时，使K和K1同时为零，这时系统的稳态误差为一常数。在某些特殊情况下，若能同时使K和K1为零，则稳态误差将为零。（2）当输入信号为加速度信号时,即RT05RT2，RSR/S3知系统的稳态误差将趋于无穷。当增加零极点使K0，而K10时，系统的稳态误差仍将趋于无穷；当增加零极点使K和K1同时为零时，系统的稳态误差将为一个常数。另外还可能有极少数情况，不但满足K和K1同时为零，还能使ASBSS3FS，此时系统稳态误差将为零。42MATLAB仿真验证421对阶跃信号的稳态误差仿真设画出1增加零点Z5,P2,Z20时，其各自对应的阶跃响应曲线如图12,画出2增加零点Z2,P2前后，其对应的阶跃响应曲线如图13注MATLAB源程序见附录4观察仿真结果知对于1系统，当增加零点Z20时。系统的稳态终值与阶跃响应终值重合。而当增加其他零极点时，系统的稳态终值与阶跃响应终值相隔一个常数，110NMIIKSZ001LIM0SBASBERRRAK112000211LIMLIMLIMSNMIIIINNSSIIIIIISZKRKERSAAA2S102S与理论分析相符。对于2系统，其稳态终值与阶跃响应终值重合，而当增加零极点时，系统的稳态终值与阶跃响应终值相隔一个常数，与理论分析相符。设，图122S图13422对速度信号的稳态误差仿真设画出1增加零点Z5,P2,Z20时，其各自对应的速度响应曲线如图14。画出3增加零点Z05前后,其对应的阶跃响应曲线如图15。图143241SS放大图见图141图141图15放大图见图151图151注MATLAB源程序见附录5仿真结果分析对于1系统，当增加零点Z20时，系统的稳态终值与速度响应终值相差一个常数，其值A约为005。而当增加其他零极点时，系统的稳态终值与速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。对于3系统，当增加零点Z05时，系统的稳态终值与速度响应终值重合。而在增加零点前，系统的稳态终值与速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。下面对A值进行理论分析由以上分析知仿真结果与理论相符。423对加速度信号的稳态误差仿真设画出1增加零点Z5,P2,Z20时，其各自对应的加速度响应曲线如图16。画出3增加零点Z05前后,其对应的加速度响应曲线如图17。画出4增加零点Z3前后，其对应的加速度响应曲线如图18。注MATLAB源程序见附录6432143S2222010311LIM05SSSESSAA图16放大图见图161图161图17放大图见图171图171图18图181仿真结果分析对于1系统，当增加零点Z20时，系统的稳态终值与加速度响应终值相差一个常数，其值B约为2。而当增加其他零极点时，系统的稳态终值与加速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。对于3系统，当增加零点Z05时，系统的稳态终值与加速度响应终值相差一个常数，其值C约为15。而在增加零点前，系统的稳态终值与加速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。对于4系统，当增加零点Z3时，系统的稳态终值与加速度响应终值重合。而在增加零点前，系统的稳态终值与加速度响应终值相差越来越大，并趋于无穷。对于B值，理论分析应为，仿真与实际不符，此处暂不清楚。对于C值C值仿真结果与实际相符。以上仿真结果与理论分析基本相符。232323040511LIM512SSESSAA附录1原传递函数的冲激响应Z10P1,1I,1INUMPOLYZDENPOLYPIMPULSENUM,DENXLABELTYLABELCSTITLE冲激响应曲线增加S5的冲激响应Z110,5P11,1I,1INUM1POLYZ1DEN1POLYP1FIGURE2SUBPLOT2,3,1IMPULSENUM1,DEN1XLABELTYLABELCSTITLES5增加S5的冲激响应Z210,5P21,1I,1INUM2POLYZ2DEN2POLYP2SUBPLOT2,3,2IMPULSENUM2,DEN2XLABELTYLABELCSTITLES5增加1/S2的冲激响应Z310P31,1I,1I,2NUM3POLYZ3DEN3POLYP3SUBPLOT2,3,3IMPULSENUM3,DEN3XLABELTYLABELCSTITLE1/S2增加1/S2的冲激响应Z410P41,1I,1I,2NUM4POLYZ4DEN4POLYP4SUBPLOT2,3,4IMPULSENUM4,DEN4XLABELTYLABELCSTITLE1/S2增加S3/S301的冲激响应Z510,3P51,1I,1I,301NUM5POLYZ5DEN5POLYP5SUBPLOT2,3,5IMPULSENUM5,DEN5XLABELTYLABELCSTITLES3/S301增加S3/S301的冲激响应Z610,3P61,1I,1I,301NUM6POLYZ6DEN6POLYP6SUBPLOT2,3,6IMPULSENUM6,DEN6XLABELTYLABELCSTITLES3/S301附录2传递函数1和2的阶跃响应Z11P110,1I,1INUM110POLYZ1DEN1POLYP1STEPNUM1,DEN1HOLDONZ21P21I,1INUM2POLYZ2DEN2POLYP2STEPNUM2,DEN2XLABELTYLABELCSTITLE1和2阶跃响应曲线LEGEND1,2传递函数3和4的阶跃响应Z31,1001P310,1I,1INUM310POLYZ3DEN31001POLYP3FIGURE2STEPNUM3,DEN3HOLDONSTEPNUM2,DEN2XLABELTYLABELCSTITLE3和4阶跃响应曲线LEGEND3,4传递函数5和6的阶跃响应Z51,0011P5001,1I,1INUM5001POLYZ5DEN50011POLYP5FIGURE3STEPNUM5,DEN5HOLDONSTEPNUM2,DEN2XLABELTYLABELCSTITLE5和6阶跃响应曲线LEGEND5,6附录3原传递函数及增加零点Z101的阶跃响应曲线比较Z1P10,1I,1INUMPOLYZDENPOLYPSTEPNUM,DENHOLDONZ1101P110,1I,1INUM1POLYZ1DEN101POLYP1STEPNUM1,DEN1XLABELTYLABELCSTITLE增加零点Z101的影响LEGEND增加Z101前,增加Z101后原传递函数及增加零点Z13的阶跃响应曲线比较FIGURE2STEPNUM,DENHOLDONZ213P210,1I,1INUM2POLYZ2DEN23POLYP2STEPNUM2,DEN2XLABELTYLABELCSTITLE增加零点Z13的影响LEGEND增加Z13前,增加Z13后原传递函数及增加零点Z15的阶跃响应曲线比较FIGURE3STEPNUM,DENHOLDONZ315P310,1I,1INUM3POLYZ3DEN35POLYP3STEPNUM3,DEN3XLABELTYLABELCSTITLE增加零点Z15的影响LEGEND增加Z15前,增加Z15后原传递函数及增加零点P101的阶跃响应曲线比较FIGURE4STEPNUM,DENHOLDONZ41P40110,1I,1INUM401POLYZ4DEN4POLYP4STEPNUM4,DEN4XLABELTYLABELCSTITLE增加零点P101的影响LEGEND增加P101前,增加P101后原传递函数及增加零点P13的阶跃响应曲线比较FIGURE5STEPNUM,DENHOLDONZ51P5310,1I,1INUM53POLYZ5DEN5POLYP5STEPNUM5,DEN5XLABELTYLABELCSTITLE增加零点P13的影响LEGEND增加P13前,增加P13后原传递函数及增加零点P15的阶跃响应曲线比较FIGURE6STEPNUM,DENHOLDONZ61P6510,1I,1INUM65POLYZ6DEN6POLYP6STEPNUM6,DEN6XLABELTYLABELCSTITLE增加零点P15的影响LEGEND增加P15前,增加P15后附录4阶跃信号下的稳态误差研究K0STEP0,1,0,1阶跃响应曲线HOLDONZ111原传递函数1阶跃响应曲线P1110,1I,1INUM15POLYZ11DEN15POLYP11STEPNUM15,DEN15Z161,5增加Z5后的阶跃响应曲线P1610,1I,1INUM16POLYZ16DEN16POLYP16STEPNUM16,DEN16Z131增加P2后的阶跃响应曲线P142,10,1I,1INUM13POLYZ13DEN13POLYP14STEPNUM13,DEN13Z141,20增加Z20后的阶跃响应曲线P1410,1I,1INUM14POLYZ14DEN14POLYP14STEPNUM14,DEN14XLABELTYLABELCSTITLE阶跃信号下的稳态误差研究K0LEGEND阶跃响应,原系统1,增加Z5后,增加P2后,增加Z20后阶跃信号下的稳态误差研究K0FIGURE2STEP0,1,0,1阶跃响应曲线HOLDONP151I,1I原传递函数2阶跃响应曲线NUM1502DEN15POLYP15STEPNUM15,DEN15Z162增加Z2后的阶跃响应曲线P161I,1INUM162POLYZ16DEN16POLYP16STEPNUM16,DEN16P172,1I,1I增加P2后的阶跃响应曲线NUM170,2DEN17POLYP17STEPNUM17,DEN17XLABELTYLABELCSTITLE阶跃信号下的稳态误差研究K0LEGEND阶跃响应,原系统2,增加Z2后,增加P2后附录5速度信号下的稳态误差研究K0STEP0,1,1,0速度响应曲线HOLDONZ211原传递函数1速度响应曲线P210,10,1I,1INUM21POLYZ21DEN21POLYP21STEPNUM21,DEN21Z221,5原增加Z5后的速度响应曲线P220,10,1I,1INUM22POLYZ22DEN22POLYP22STEPNUM22,DEN22Z231原增加P2后的速度响应曲线P230,2,10,1I,1INUM23POLYZ23DEN23POLYP23STEPNUM23,DEN23Z241,20原增加Z20后的速度响应曲线P240,10,1I,1INUM24POLYZ24DEN24POLYP24STEPNUM24,DEN24XLABELTYLABELCSTITLE速度信号下的稳态误差研究K0LEGEND速度响应,原系统1,增加Z5后,增加P2后,增加Z20后AXIS05000100速度信号下的稳态误差研究K0，K10FIGURE2STEP0,1,1,0,速度响应曲线HOLDONP250,1,1I,1I原传递函数2速度响应曲线NUM254DEN25POLYP25STEPNUM25,DEN25Z2605增加Z1后的速度响应曲线P260,1,1I,1INUM264POLYZ26DEN26POLYP26STEPNUM26,DEN26XLABELTYLABELCSTITLE速度信号下的稳态误差研究K0,K10LEGEND速度响应,原系统2,增加Z05后AXIS050050附录6加速度信号下的稳态误差研究K0STEP0,1,1,0,0加速度响应曲线HOLDONZ