新课标人教a版高中数学必修4全套教案

高中数学教案（人教A版必修全套）【必修4教案全套】目录第一章三角函数111任意角和弧度制2112弧度制7121任意角的三角函数14122同角三角函数的基本关系3013三角函数的诱导公式36141正弦函数、余弦函数的图象46142正弦函数、余弦函数的性质52143正切函数的性质与图象6315函数YASINX的图象7116三角函数模型的简单应用85第二章平面向量96221向量加法运算及其几何意义103222向量减法运算及其几何意义111223向量数乘运算及其几何意义116231平面向量基本定理121232平面向量的正交分解及坐标表示121233平面向量的坐标运算130234平面向量共线的坐标表示130241平面向量数量积的物理背景及其含义138242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角144251平面几何中的向量方法149252向量在物理中的应用举例157第三章三角恒等变换162311两角差的余弦公式163312两角和与差的正弦、余弦、正切公式171313二倍角的正弦、余弦、正切公式18632简单的三角恒等变换194第一章三角函数本章教材分析1本章知识结构如下2本章学习的内容主要是三角函数的定义、图象、性质及应用三角函数是高中教材中的一种重要函数,与其他的函数相比,具有许多重要的特征它以角为自变量,是周期函数三角函数是解决其他问题的重要工具,是高中阶段学习的最后一个基本初等函数,是深化函数性质的极好素材本章的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,特别强调了单位圆的直观作用,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数3本章教学的重点是三角函数的定义,同角三角函数的基本关系式,正弦函数的图象及基本性质难点是弧度制和图象变换的准确理解和掌握关键是学好三角函数定义从实际教学情况来看,教学中应重视学生的画图“五点画图”虽然简单,但却易学难掌握在本章教学中,教师应根据学生的生活经验和已有的数学知识,通过列举熟知的实例,创设丰富的情境,使学生体会三角函数模型的意义教学时,可结合本章引言的章头图,让学生围绕这些问题展开讨论,通过思考,让学生知道三角函数可以刻画这些周期变化规律,从而激发学生的求知欲4三角函数的内容一直是高考的重要内容,特别是三角函数的图象和性质,及结合三角形的基础知识为背景的三角函数知识,频频在各省高考试题中出现,难度虽有降低,却是经久不衰的高考考查内容5本章教学时间约需16课时,具体分配如下仅供参考标题课时11任意角和弧度制约2课时12任意角的三角函数约3课时13三角函数的诱导公式约2课时14三角函数的图象与性质约4课时15函数YASINX的图象约2课时16三角函数模型的简单应用约2课时本章复习约1课时11任意角和弧度制111任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念这样可以使学生在已有经验生活经验、数学学习经验的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念使得任意角的讨论有一个统一的载体教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式也就自然地理解了集合S|K360,KZ的含义如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义三维目标1通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念2通过自主探究、合作学习,认识集合S中K、的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360的整数倍这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义3通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础重点难点教学重点将0360范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合教学难点用集合来表示终边相同的角课时安排1课时教学过程导入新课图1思路1情境导入如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品由此发问指针怎样旋转,旋转多少度才能赢还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广进而引入角的概念的推广的问题思路2复习导入回忆初中我们是如何定义一个角的所学的角的范围是什么用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题推进新课新知探究提出问题你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确假如你的手表快了125小时,你应当怎样将它调整准确当时间调整准确后,分针转过了多少度角体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度请两名男生或女生、或多名男女学生起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作在这个过程中,他们各转体了多少度活动让学生到讲台利用准备好的教具钟表,实地演示拨表的过程让学生站立原地做转体动作教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角的始边和终边我们规定一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记作“”如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果是零角,那么0讨论结果顺时针方向旋转了30逆时针方向旋转了450顺时针方向旋转了720或逆时针方向旋转了720180或180或540或540或900或1080提出问题能否以同一条射线为始边作出下列角210,45,150如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思0角又是什么意思活动先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角教师可以适时地提醒学生如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与X轴的非负半轴重合那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角要特别强调角与直角坐标系的关系角的顶点与坐标原点重合,角的始边与X轴的非负半轴重合讨论结果能使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与X轴的非负半轴重合角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角这样210角是第三象限角45角是第四象限角150角是第三象限角特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0角可以借此进一步设问锐角是第几象限角钝角是第几象限角直角是第几象限角反之如何将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系提出问题在直角坐标系中标出210,150的角的终边,你有什么发现它们有怎样的数量关系328,32,392角的终边及数量关系是怎样的终边相同的角有什么关系所有与终边相同的角,连同角在内,怎样用一个式子表示出来活动让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示演示象限角、终边相同的角,并及时地引导终边相同的一系列角与0到360间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与X轴的非负半轴重合,形成32角后提问学生这是第几象限角是多少度角学生对后者的回答是多种多样的至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的讨论结果210与150角的终边相同328,32,392角的终边相同终边相同的角相差360的整数倍设S32K360,KZ,则328,392角都是S的元素,32角也是S的元素此时K0因此,所有与32角的终边相同的角,连同32在内,都是集合S的元素反过来,集合S的任何一个元素显然与32角终边相同所有与终边相同的角,连同角在内,可以构成一个集合SK360,KZ即任一与角终边相同的角,都可以表示成与整数个周角的和适时引导学生认识KZ是任意角终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360的整数倍应用示例例1在0360范围内,找出与95012角终边相同的角,并判定它是第几象限角解95012129483360,所以在0360的范围内,与95012角终边相同的角是12948,它是第二象限的角点评教师可引导学生先估计95012大致是360的几倍,然后再具体求解例2写出终边在Y轴上的角的集合活动终边落在Y轴上,应分Y轴的正方向与Y轴的负方向两个学生很容易分别写出所有与90,270的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考能否化简这两个式子,用一个式子表示出来让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来并强调数学的简捷性在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式图2解在0360范围内,终边在Y轴上的角有两个,即90和270角,如图2因此,所有与90的终边相同的角构成集合S190K360,KZ而所有与270角的终边相同的角构成集合S2270K360,KZ于是,终边在Y轴上的角的集合SS1S2902K180,KZ901802K180,KZ902K180,KZ902K1180,KZ90N180,NZ点评本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式变式训练写出终边在X轴上的角的集合写出终边在坐标轴上的角的集合答案S2N1180,NZSN90,NZ例3写出终边在直线YX上的角的集合S,并把S中适合不等式3600,LA2R0,0COS0752TAN120过P作X轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为A,线2BA段MP的长度为B根据初中学过的三角函数定义,我们有SIN,COS,TANOPMRBROMA讨论结果锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数SIN,COS,TANRPRB提出问题问题如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗为什么问题你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化活动教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角,这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化此时SINB,COSA,TANOPMOMPAB在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角的弧度数的绝对值等于圆心角所对的弧长符号由角的终边的旋转方向决定在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆这样,上述P点就是的终边与单位圆的交点锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数图2如图2所示,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点PX,Y,那么1Y叫做的正弦,记作SIN,即SINY2X叫做的余弦,记作COS,即COSX3叫做的正切,记作TAN,即TANX0XYXY所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验也有一定的距离学生熟悉的函数YFX是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函数首先是实数弧度数到点的坐标的对应,然后才是实数弧度数到实数横坐标或纵坐标的对应,这就给学生的理解造成一定的困难教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标比值表示锐角三角函数的结论,然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论在此基础上,再定义任意角的三角函数在导学过程中教师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系教师在教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反映本质教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么特别注意既表示一个角,又是一个实数弧度数“它的终边与单位圆交于点PX,Y”包含两个对应关系从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数值得注意的是1正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数2SIN不是SIN与的乘积,而是一个比值三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“SIN”“TAN”等是没有意义的讨论结果这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有SIN,COS,OPMRBRATANA由相似三角形的知识,对于确定的角,这三个比值不会随点P在的终边上的位置的改变而改变能提出问题问题学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论问题根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的活动教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书按照这样的思路,我们一起来探究如下问题请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图3中的括号内三角函数定义域SINCOSTAN图3教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论对于正弦函数SINY,因为Y恒有意义,即取任意实数,Y恒有意义,也就是说SIN恒有意义,所以正弦函数的定义域是R类似地可写出余弦函数的定义域对于正切函数TAN,因为X0时,无意义,即TAN无意义,XYXY又当且仅当角的终边落在纵轴上时,才有X0,所以当的终边不在纵轴上时,恒有意义,即TAN恒有意义,所以正切函数的定义域是KKZ由学生填写下表2三角函数定义域SINRCOSRTAN|K,KZ2三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于X,Y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标Y0,点P在第三、四象限时,纵坐标Y0,那么2YX图4叫做的正弦,即SINRYRY叫做的余弦,即COSRXRX叫做的正切,即TANX0YY这样定义三角函数,突出了点P的任意性,说明任意角的三角函数值只与有关,而与点P在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点解由已知,可得OP052243图5如图5,设角的终边与单位圆交于点PX,Y分别过点P、P0作X轴的垂线MP、M0P0,则|M0P0|4,|MP|Y,|OM0|3，|OM|X,OMPOM0P0,于是SINY1Y|OM|054COSXX|P|03TANYACOSIN34点评本例是已知角终边上一点的坐标,求角的三角函数值问题可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解变式训练求的正弦、余弦和正切值35图6解在平面直角坐标系中,作AOB,如图635易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为,21所以SIN,COS,TAN352353例2求证当且仅当下列不等式组成立时,角为第三象限角0TAN,SI活动教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系,提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系可以知道三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于X,Y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标Y0,点P在第三、四象限时,纵坐标Y0成立,所以角的终边可能位于第一或第三象限因为式都成立,所以角的终边只能位于第三象限于是角为第三象限角反过来请同学们自己证明点评本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力变式训练2007北京高考已知COSTAN0时,R,是第四象限角,SIN,SEC,RYK10XRK1010SIN3SEC1033303102当K0时,PK,3K是第四象限内的点,角的终边在第四象限当K0,OM与X轴同向,规定此时OM具有正值X如果X0,把MP看作与Y轴同向,规定此时MP具有正值Y如果Y1,SINCOS1例2在单位圆中画出适合下列条件的角的终边或终边所在的范围,并由此写出角的集合1SIN221SIN1活动引导学生画出单位圆,对于1,可设角的终边与单位圆交于AX,Y,则SINY,所以要作出满足SIN的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为的点A,则OA即为角的终边对于2,可先作出满足221SIN的角的终边,然后根据已知条件确定角的范围1图8解1作直线Y交单位圆于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB为角的终边,如图8所示21故满足条件的角的集合为|2K或2K,KZ652作直线Y交单位圆于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域如图中的阴影部分即为角的终边所在的范围故满足条件的角的集合为|2K2K,KZ65点评在解简单的特殊值如,等的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终边作纵坐21标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线,一般情况下,用0,2内的角表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来变式训练已知SIN,求角的集合21解作直线Y交单位圆于点P,P,则SINPOXSINPOX,在0,2内POX,PPX2165满足条件的集合为2K2K,KZ65思路2例1求下列函数的定义域1YLOGSINX2COSX12YLG34SIN2X活动先引导学生求出X所满足的条件,这点要提醒学生注意,研究函数必须在自变量允许的范围内研究,否则无意义再利用三角函数线画出满足条件的角X的终边范围求解时,可根据各种约束条件,利用三角函数线画出角X满足条件的终边范围,写出适合条件的X的取值集合解1由题意,得21COS,IN0,S2,1ISNXX则KZ,3232,KXKX函数的定义域为X|2K0,SIN2X12SIN2COS21图12证明如图12,记角与单位圆的交点为P,过P作PMX轴于M,则SINMP,COSOM1在RTOMP中,MPOMOP,即SINCOS12在RTOMP中,MP2OM2OP2,即SIN2COS212求下列函数的定义域1Y2YSINX11TANCOSX答案1XK,K,KZ272X2K,2K2K,2K2K,2K2K,2K,KZ3452335设计感想对于三角函数线,开始时学生可能不是很理解,教师应该充分发挥好图象的直观作用,让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后,教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础教师要让学生对三角函数线了解即可,要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势,不要再向深处挖掘,因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决教师在教学中要搞好师生互动,让学生自己动脑、动手,多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力,让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力122同角三角函数的基本关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如SIN24COS241等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如TAN中的是使得TAN有意义的值,即K,KZ已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根三维目标1通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明2同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用1求值知一求二2化简三角函数式3证明三角恒等式通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明3通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法重点难点教学重点课本的三个公式的推导及应用教学难点课本的三个公式的推导及应用课时安排1课时教学过程导入新课思路1先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课计算下列各式的值1SIN290COS2902SIN230COS2303460COSIN135SI推进新课新知探究提出问题在以下两个等式中的角是否都可以是任意角若不能,角应受什么影响图1如图1,以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP1由勾股定理有OM2MP21因此X2Y21,即SIN2COS21等式1显然,当的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立根据三角函数的定义,当K,KZ时,有TAN等式2ACOSIN这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值活动问题先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围问题可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”讨论结果在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,可以是任意角,在第二个等式中K,KZ2在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个知道正弦余弦,就可以先求出余弦正弦,用等式1进而用第二个等式2求出正切应用示例思路1例1已知SIN,并且是第二象限的角,求COS,TAN的值54活动同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是SIN2COS21,故COS的值最容易求得,在求COS时需要进行开平方运算,因此应根据角所在的象限确定COS的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题解因为SIN2COS21,所以COS21SIN212549又因为是第二象限角,所以COS0,因此COS80COS80,此题不难,让学生独立完成80COS2解原式COS80360SIN12IN180SIN12点评恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点1所含的三角函数种类最少2能求值指准确值的尽量求值3不含特殊角的三角函数值变式训练化简COS402IN1答案COS40SIN40点评提醒学生注意12SINCOSSIN2COS22SINCOSSINCOS2,这是一个很重要的结论知能训练课本本节练习解答1SIN,TAN5342当为第二象限角时,SIN,COS231当为第四象限角时,SIN,COS3当为第一象限角时,COS094,TAN037当为第二象限角时,COS094,TAN03741COSTANCOSSINCOSIN21SINCOSIN2II2SI1C222AAA51左SIN2COS2SIN2COS2SIN2COS2右2左SIN2SIN2COS2COS2SIN2COS21右课堂小结由学生回顾本节所学的方法知识同角三角函数的基本关系式及成立的条件,根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值可以简称“知一求二”时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组以两组的形式给出“知一求二”的解题步骤一般为先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值若已知正切或余切,则构造方程组求值教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法作业1化简1TAN2COS22已知TAN2,求的值ACOSIN答案1123设计感想公式的推导和应用是本节课的重点,也是本节课的难点公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,这类问题可按下列情形分别处理1如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果2如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种1依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则2依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子3依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清楚一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可教师知道即可,证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同13三角函数的诱导公式整体设计教学分析本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180角为第一研究对象,角为第二研究对象,正是化归思想的运用公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90的非负角,但是在推导中却把拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习三维目标1通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想2通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用3进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力重点难点教学重点五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等教学难点六组诱导公式的灵活运用课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值复习诱导公式一及其用途思路2在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0到3600到2内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90到360到2范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把2它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题推进新课新知探究提出问题由公式一把任意角转化为0,360内的角后,如何进一步求出它的三角函数值活动在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得教师可组织学生思考讨论如下问题0到90的角的正弦值、余弦值用何法可以求得90到360的角能否与锐角相联系通过分析与的联系,引导学生得出解决设问的一种思路若能把求90,360内的角的三角函数值,转化为求有关锐角的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想图1讨论结果通过分析,归纳得出如图1,36027,360,18189,A提出问题锐角的终边与180角的终边位置关系如何它们与单位圆的交点的位置关系如何任意角与180呢活动分为锐角和任意角作图分析如图2图2引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系无论为锐角还是任意角,180的终边都是的终边的反向延长线,所以先选择180为研究对象利用图形还可以直观地解决问题,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是PX,Y和PX,Y指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二SIN180SIN,COS180COS并指导学生写出角为弧度时的关系式SINSIN,COSCOS,TANTAN引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用讨论结果锐角的终边与180角的终边互为反向延长线它们与单位圆的交点关于原点对称任意角与180角的终边与单位圆的交点关于原点对称提出问题有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么角的终边与角的终边位置关系如何活动让学生在单位圆中讨论与的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考任意角和的终边的位置关系它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即SINSIN,COSCOS,TANTAN教师点拨学生注意无论是锐角还是任意角,公式均成立并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值讨论结果根据分析下一步的研究对象是的正弦和余弦角的终边与角的终边关于X轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数提出问题下一步的研究对象是什么角的终边与角的终边位置关系如何活动讨论与的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考任意角和的终边的位置关系它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即SINSIN,COSCOS,TANTAN强调无论是锐角还是任意角,公式均成立引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途可将求角的三角函数值转化为求角的三角函数值让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆我们可以用下面一段话来概括公式一四K2KZ,的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号进一步简记为“函数名不变,符号看象限”点拨、引导学生注意公式中的是任意角讨论结果根据分析下一步的研究对象是的三角函数角的终边与角的终边关于Y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数示例应用思路1例1利用公式求下列三角函数值1COS2252SIN3SIN4COS2040316活动这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题解1COS225COS18045COS4522SINSIN4SIN3133SINSINSIN56SIN324COS2040COS2040COS6360120COS120COS18060COS6021点评利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法变式训练利用公式求下列三角函数值1COS510152SIN317解1COS51015COS51015COS36015015COS15015COS1802945COS2945086822SINSIN32SIN31732例22007全国高考,1COS330等于ABCD1212323答案C变式训练化简790COS25SIN431解I702COS7018SIN36362SIN|I170SINCO例3化简COS315SIN30SIN225COS480活动这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分解COS315SIN30SIN225COS480COS36045SIN30SIN18045COS360120COS45SIN45COS12021COS45COS1806021COS601点评利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的变式训练求证TAN5SINCO6C2TAN分析利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边证明左边SICCOTASINCOTTAN右边ITA所以原式成立规律总结证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简知能训练课本本节练习13解答11COS2SIN13SIN4COS706945点评利用诱导公式转化为锐角三角函数21230642842123点评先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值31SIN2COS2SIN4点评先利用诱导公式变形为角的三角函数,再进一步化简课堂小结本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想作业课本习题13A组2、3、4设计感想一、有关角的终边的对称性1角的终边与角的终边关于原点对称2角的终边与角的终边关于X轴对称3角的终边与角的终边关于Y轴对称二、三角函数的诱导公式应注意的问题1K2KZ,的三角函数值等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数的符号可简单记忆为“函数名不变,符号看象限”2公式中的是任意角3利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值基本步骤是任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2角的三角函数公式三或一公式一锐角的三角函数三角函数四公式二查表即负化正,大化小,化为锐角再查表设计者沈献宏第2课时导入新课上一节课我们研究了诱导公式二、三、四现在请同学们回忆一下相应的公式提问多名学生上黑板默写公式在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题推进新课新知探究提出问题终边与角的终边关于直线YX对称的角有何数量关系活动我们借助单位圆探究终边与角的终边关于直线YX对称的角的数量关系教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线YX对称的两个角之间的数量关系,关于直线YX对称的两个点的坐标之间的关系进行引导图3讨论结果如图3,设任意角的终边与单位圆的交点P1的坐标为X,Y,由于角的终边与角的终2边关于直线YX对称,角的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线YX对称,因此点P2的坐标是Y,X,于2是,我们有SINY,COSX,COSY,SINX2从而得到公式五COSSIN,SINCOS2提出问题能否用已有公式得出的正弦、余弦与的正弦、余弦之间的关系式2活动教师点拨学生将转化为,从而利用公式四和公式五达到我们的目的因为可以222转化为,所以求角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学2生独立推导公式六讨论结果公式六SINCOS,2COSSIN提出问题你能概括一下公式五、六吗活动结合上一堂课研究公式一四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括讨论结果的正弦余弦函数值,分别等于的余弦正弦函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数2值的符号进一步可以简记为函数名改变,符号看象限利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化公式一六都叫做诱导公式提出问题学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括讨论结果诱导公式一四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2KKZ,可看作0其中2K,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角,函数名称不改变而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是,其中,是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵2323坐标上的角,函数名称要改变两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括纵变横不变,符号看象限教师指点学习方法如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了示例应用思路1例1证明1SINCOS2COSSIN2323活动直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题证明1SINSINSINCOS2COSCOSCOSSIN232点评由公式五及六推得的三角函数值与角的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到3KZ的情形本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用1K例2化简29SINSI3SINCO1COSIAA活动仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二四的,哪些是可以利用公式五、六的认真应用诱导公式,达到化简的目的解原式24SINSISINCO5COAAATAN2SISIC2COSI思路2例11已知FCOSXCOS17X,求证FSINXSIN17X2对于怎样的整数N,才能由FSINXSINNX推出FCOSXCOSNX活动对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助SINXCOSX或2COSXSINX要善