极限的计算方法与技巧毕业论文

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文极限的计算方法与技巧LIMITCALCULATIONMETHODANDSKILL姓名学号0901学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导老师（讲师）完成时间2013年3月9日极限的计算方法与技巧【摘要】极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一，并且在高等数学当中占有十分重要的位置。许多重要的数学概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的，因此掌握好极限的计算方法与技巧是学习高等数学相当关键的一个环节。虽然极限的计算方法比较多，但都不是万能的。因此对于某个具体的极限的计算问题，我们应该要去追求最简便、快捷的计算方法。本文介绍了极限计算的一些方法与技巧并通过实例加以说明了。有关的命题和结论在文中也均有说明。【关键词】极限，计算方法，技巧LIMITCALCULATIONMETHODANDSKILL【ABSTRACT】THECONCEPTOFLIMITISTHEMOSTIMPORTANTINHIGHERMATHEMATICS,ONEOFTHEMOSTBASICCONCEPTS,ANDOCCUPIESVERYIMPORTANTPOSITIONINTHEMIDDLEOFTHEHIGHERMATHEMATICSMANYIMPORTANTMATHEMATICALCONCEPTSSUCHASCONTINUOUS,DERIVATIVE,DEFINITEINTEGRAL,INFINITESERIESANDGENERALIZEDINTEGRALANDISDONEWITHTHELIMITTODEFINE,SOMASTERINGLIMITCALCULATIONMETHODANDTHESKILLISTOLEARNHIGHERMATHEMATICSISONEOFTHEKEYSTEPALTHOUGHTHECALCULATIONMETHODOFLIMITISMORE,BUTISNOTEVERYTHINGSOFORASPECIFICLIMITCOMPUTATIONALPROBLEMS,WESHOULDGOFORTHEMOSTSIMPLEANDQUICKCALCULATIONMETHODTHISPAPERINTRODUCESSOMEMETHODTOCOMPUTETHELIMITANDSKILLSANDEXPLAINEDTHROUGHANEXAMPLERELATEDTHESISANDCONCLUSIONINTHISPAPERARESTATED【KEYWORDS】LIMITS,CALCULATIONMETHOD,SKILL目录1引言12函数极限的相关定义与定理221极限的相关定义222极限的相关定理33极限的几个重要性质431函数极限的相关性质432收敛数列的一些性质54极限的计算方法与技巧及举例说明541利用定义法求极限542利用四则运算法则求极限7643利用两个重要极限求极限644利用等价无穷小求极限645利用函数的连续性求极限746利用定积分求极限747利用洛必达法则求极限748利用泰勒展开式或麦克劳林公式求极限849利用递推的方法求极限88410拆项相消法9411利用迫敛性求极限9412利用中值定理法求极限910413利用级数收敛的必要条件求极限1010414利用导数定义求极限11415化积为商法求极限11416构造新数列法求极限11417EULER常数法1115总结12致谢12参考文献121引言在高等数学中，极限思想贯穿始末，而且极限也是数学分析中的基本运算，所以极限的计算方法与技巧在数学领域里显得尤为重要。极限计算的方法与技巧多种多样，常用的极限计算方法有利用极限的定义求极限、利用极限的四则运算法则求极限、利用两个重要极限求极限、利用等价无穷小求极限、利用定积分的概念求极限、利用洛必达法则求极限等但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。因此在具体解题的时候就需要大家注意仔细审题、综合考虑,同时也要注意解题的方法性及技巧性,与极限的计算有关的问题类型多，而且技巧性强，灵活多变，难教也难学。本文主要探讨并总结了一些极限的计算方法与技巧，对极限的计算有一定的参考价值，克服了许多学生在面对极限计算的问题无从下手的缺点，能够做到得心应手。2函数极限的相关定义与定理21极限的相关定义定义1设为定数。若对任给的正数，总存在正整数，NA为数列,N使得当时有NN|,NA|则称数列收敛于,定数称为数列的极限,并记作NNA，或，LIMN读作“当趋于无穷大时,的极限等于或趋于”AN若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列NANA定义2设为定义在上的函数,为定数若对任给的,存在正FA0数,使得当时有MX，FX则称函数当趋于时以为极限,记作F或LIMXFAFX定义3（函数极限的定义）设函数在点的某空心邻域内20O0UX有定义,为定数若对任给的,存在正数（），使得当时A0有，则称函数当时以为极限,记作FXAF0趋于XA或0LIMXFA0X定义4设函数在（或）内有定义,为定数若对任给的OUO0,存在正数（），使得当时有0（或）OOX，则称数为函数当时的右（左）极限，记作FXAF0趋于或X0LILI（）XAF或（）（）F00X右极限与左极限统称为单侧极限在点的右极限与左极限有分别记为F0（0）与（0）F0X0LIMXF0LIMXF22极限的相关定理定理10LIXFA00LILIXXFFA定理2单调有界定理在实系数中，有界的单调数列必有极限定理3归结原则设在内有定义存在的充要条件FOU0LIMXF是对任何含于且以为极限的数列,极限都00NLINNFX存在且相等注1归结原则也可简叙为对任何有0LIMXFA0NXLINNFXA注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两0XM个都以以为极限的数列，使都存在而不相等，0N”与XNNLILI”与NFFX则不存在LINNFX定理4设函数在点某空心右邻域有定义的充要条F0XO0UX0LIXFA件是对任何以为极限的递减数列，有0（）NMNN定理5致密性定理有界数列必存在收敛子列。定理6施笃兹定理设数列单调递增趋于，NY（可1LIMNXAY以为无穷），则LIMNXAY定理7有界变差数列收敛定理若数列满足条件3NX12212,3NNXXM则称为有界变差数列，且有界变差数列一定收敛。定理8设为定义在上的单调有界函数,则右极限存在FO0U0LIMXF定理9设函数在内有定义，且有,XHG0OFG0X（）若则0LIMXFA0LIMXGA（）若则0BF0B定理10柯西准则设函数在内有定义存在的FO0UX0LIMXF充要条件是任给,存在正数,使得对任何有“O0,XU“FXF定理11拉格朗日中值定理若函数满足如下条件（）在闭区间上连续；F,AB（）在开区间内可导,则在内至少存在一点,使,ABFF定理12若函数和满足FG（）；00LIMLIXX（）在点的某空心邻域内两者都可导，且；O0UXG0X（）（可为实数，也可为），0LIGXFA或则00LILIXXFF定理13若函数和满足FG（）；00LIMLIXX（）在点的某右邻域内两者都可导，且；O0UXG0X（）（可为实数，也可为），0LIGXFA或则00LIMLIGXXFFA定理14积分第一中值定理设函数在闭区间上连续,则至少存在FAB使得,ABBAFDFBA定理15推广的积分第一中值定理若与都在上连续,且在FGGX上不变号,则至少存在一点使得,BBAAFXGDFGXD定理16级数收敛定理若级数收敛,则41NULIM0NU定理17欧拉定理序列收敛51,223N因此有公式式中称为欧拉常数,且1L23C576C当时，N0N定理18柯西收敛准则数列收敛的充要条件是对任给的，NA0存在正整数，使得当时有N,MNNM这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。3极限的几个重要性质31函数极限的相关性质性质1（唯一性）如果存在，则必定唯一LIMXAF性质2（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界0F0X性质3（保序性）设LI,LIXAXAFBC性质4（迫敛性）设，且在某内有00HA0U，则FXGHXLIMXH性质5四则运算法则若与都存在,则函数，0LIXF0LIMXGFG当时极限也存在，且F01）；00LILILIXXXFF2）；0GG又若，则当时极限存在，且有LIMX/F3）000LIMLI/LIMXXXFFGG性质6不等式性若，有，60LIXFA0LIMXGB0，成立,则,即F0UB0LIXF性质7若00LILIXXFAF32收敛数列的一些性质性质1（唯一性）若数列收敛,则它只有一个极限NA性质2（有界性）若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，NAM使得对一切正整数有NM性质3（保号性）若（或）任何（或）LIM0N0,A,0存在正数,使得当时有（或）NNANA性质4保不等式性设均为收敛数列若存在正数,使得当B与0N时有，则0NNABLILINN性质5（迫敛性）设收敛数列都以为极限，数列满足,AANC存在正数,当时有,则数列收敛，且0N0NNCBNCLIMA性质6（四则运算法则）若与为收敛数列,则,NNNABAB且有LIMLILIM,LINNNABB4极限的计算方法与技巧及举例说明极限一直是数学分析中一个重要的内容，并且极限的求法也是多种多样的，本文通过归纳和总结罗列出一些极限的计算方法及所隐含的技巧41利用定义法求极限例证明21LIM3X证当时有1X21233XX若限制于（此时0），则1于是，对任给的，只要X0120取，则当时，便有MIN,X21342利用四则运算法则求极限7对和差积商形式的函数求极限,自然会想到运用极限的四则运算法则去计算,但是为了能够自然使用这些法则,往往需要先对函数作某些恒等变形或化简,但要采用怎样的变形和化简还是要根据具体的算式来确定,一般来说常用的有分式的分解,分式的约分或通分,分子或分母的有理化和三角函数的恒等变形等例求2NN1LIM1YY，其中，XX解分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限N1N1221YY，XX原式N1NLIMYX43利用两个重要极限求极限两个重要极限是，由于该方法主要是利用类似于两个0SIN1LMLIXXXE重要极限中的函数形式的特点来求极限，所以用这两个重要极限来求函数的极限时要看所给的函数形式是否符合或经过变化后符合这两个重要极限的形式时才能运用该方法求极限。例（1）求201COSLIMX解20LIX0INL2X12）求1LIMXX解LI1XX11LILIM1XXXXE注以后还会用到的另一种极限形式E10LIAAE事实上，令，则，所以1AX10LILIXAXA例求0LIM2解1112200LILIXXXXE44利用等价无穷小求极限若与都是无穷小量,且时称与FXG0,GXLIM1XAFGFX是等价无穷小量表示为利用性质“无穷小量与有界量G4F的乘积仍然是无穷小量”可解一些极限值例求0SIN1LMLX解当时，为无穷小量，为有界量0LXSIN1X故0SIN1LX45利用函数的连续性求极限一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的0XFX定义去间内的一点，则有00LIMXFX例求012LIMEXX解因为是函数的一个连续点，12EF所以原式446利用定积分求极限利用定积分的定义及牛顿莱布尼茨公式求极限，可以求一些特定和式的极限，一般来说，利用定积分法求极限可以按照以下步骤进行1将所给的和式进行适当的变形，使之成为积分和的形式NK1FX2由变形后的和式寻求出被积函数及积分区间FX,AB3将和式的极限转化为定积分，再利用牛顿莱布尼茨公式去计算BAD例求MM123LI0NN解M1LINM1LINI设,则在内连续,FXXF01NIINI取所以MIF所以原式10XD47利用洛必达法则求极限洛必达法则只有直接适用于未定式，而等类型不定0,0,1，式也可经过简单的变换化为的极限，再用洛必达法则来计算，由于型或型其分类明确，规律性强，且可以连续的进行运算，可以简化一些较为复杂的函数极限的计算过程，但是在运用时也不能忽视其它的一些技巧的运用。例（1）求0LIM1EXX解这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但若做适当的变换，在计算上可方便一些为此，令T，当时有，于是有0XTTT0T001LILILI1EXXE例（2）求MNX解这是型不定式极限用恒等变形将它转化成型的不定式LN1X极限，并用洛必达法则得到000021LNLIMIIMLIXXXX48利用泰勒展开式或麦克劳林公式求极限若一个函数的表达式较为复杂时,看其是否可以展成泰勒展式若能,则将一个表达式很复杂的函数化成一个多项式和一个无穷小量的和,而多项式的计算是较简单的,从而此法能简化求极限的运算例求240COSLIMXXE解本题可用洛必达法则求解，可是较繁琐，在这里可应用泰勒公式求解考虑到极限式的分母为，则用麦克劳林公式表示极限的分子（取N4），245COS10XX，2245XE245COS01XX因而求得245400COS11LIMLI2XXXE49利用递推的方法求极限8利用递推公式计算极限，也是一种常见的方法，在这里首先需要验证极限的存在性，在极限存在的前提条件下，再根据极限的唯一性，从而解出所需要的结果例设考察极限,21,311NAANNALIM解若极限存在，设极限值为，在递推关系中令得，解A1之得（另一负根舍去）215A下证确实是其极限值事实上，AAAANNNN111由此递推关系立得01NN410拆项相消法若要求极限当可拆成两项之差时，可以考虑采用该法先求出和1LIMNKA的简单形式，再取极限1NKA例设，求12NKXLIMNX解因为112K所以121NKXK12121234N4N因此可得1LIMNX411利用迫敛性求极限利用迫敛性求极限，关键就在于对原式进行适当的放大和缩小，并且使得放大和缩小后的式子具有相同的极限在进行放大和缩小的时候经常会应用到不等式的性质和一些常见的不等式，因此大家在平时的学习中要注意复习不等式的性质和一些常见的不等式例设证明极限存在，并计算NXNL1321NXLIM21LIMN证由于，11NNE两边分别取对数得,2,L由此得，01LN1XN即数列单调递减此外，NXNL1L2LL2101N134LN即有下界由单调有界定理可知其收敛，其极限值称为欧拉常数，常用表NXC示由此易得211LIMNNN2LNL221LIN412利用中值定理法求极限9在求函数的极限时，若能根据的特点寻得一个新的可微函数FXFX再借助中值定理则往往得到巧妙的解法。FT例求SIN0LIMXE解对函数在以和SIN（）为端点的闭区间上用微分中值定FTTX0理，有,SINFFXF即，在与之间SINXEXSIN因为当时，有00所以00SINLIML1XEE例计算，其中连续，且5223LITAXIDXX2解由积分中值定理有，存在，使得,52522223TAN33LIMXTANDX5LIMTAN1LIM0XXI413利用级数收敛的必要条件求极限10利用级数收敛的必要条件求极限，首先应设级数等于所求极限的表达1N式再证明级数是收敛的，根据级数收敛的必要条件可知所求表达式的极1N限为0例求LIMNX解级数，1NN11LILIMENNXX故级数收敛，于是有01NLIMNX414利用导数定义求极限利用导数的定义把极限的计算转换为在某一000XLIMFFXF点处的导数例求0LN1IX解因为0LIMX000LN1L01ILNXXX415化积为商法求极限利用化积和商法求极限，一般在计算的极限时，若能把各乘积的1NKXA因子化成商的形式，从而使得某些公式交错出现在分子分母上，则可直接约去公因式就可以得到的简单形式，再取其极限值NX例设，求21NKLIMNX解由于2,3,K所以21413NKNX12N所以LIMN416构造新数列法求极限利用构造新数列法求极限，一般是通过构造一个新的便于研究的数列，把它作为一个桥梁去研究原数列，这是数学里常用的方法之一例设证明数列收敛，并求极限。01,SIN,2,NAANA解令，则1NBA1,SIN2,B因为，0I,X所以1111