【创新设计2014高考数学一轮复习 第七章 空间几何体的结构特征及其三视图和直观图训练 理 新人教a版

【创新设计】2014高考数学一轮复习第七章空间几何体的结构特征及其三视图和直观图训练理新人教A版第一节空间几何体的结构特征及其三视图和直观图备考方向要明了考什么怎么考1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图3会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4会画某些建筑物的三视图与直观图在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求1对空间几何体的结构特征的考查，很少单独命题，多与命题真假判断相结合，在考查线面位置关系时，常以几何体为载体2对三视图的考查一直是高考的考查重点，且有以下特点1多以选择题或填空题的形式考查2单独考查三视图问题，如2012年福建T4，湖南T3等3与空间几何体的体积、表面积的求法相结合，考查三视图的还原问题，如2012年新课标全国T7，安徽T12，广东T6，天津T10，辽宁T13等3直观图的画法作为一种图技画法融合于三视图的还原问题中，高考几乎不单独命题归纳知识整合1空间几何体的结构特征多面体棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多边形棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相互平行且相似的多边形旋转体圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到探究1有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗提示不一定如图所示，尽管几何体满足了两个平面平行且其余各面都是平行四边形，但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行2中心投影与平行投影平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线相交于一点在平行投影中投影线垂直于投影面的投影称为正投影3三视图与直观图三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到的，它包括正视图、侧视图、俯视图，其画法规则是长对正，高平齐，宽相等直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法规则来画，基本步骤是画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的X轴、Y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的X轴、Y轴，两轴相交于点O，且使XOY45或135，已知图形中平行X轴、Y轴的线段在直观图中分别画成平行于X轴、Y轴的线段已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中长度不变，平行于Y轴的线段，长度变为原来的一半画几何体的高在已知图形中过O点作Z轴垂直于XOY平面，在直观图中对应的Z轴，也垂直于XOY平面，已知图形中平行于Z轴的线段，在直观图中仍平行于Z轴且长度不变探究2正方体的正视图、侧视图、俯视图一定相同吗提示由于正视图的方向没确定，因此正视图、侧视图、俯视图不一定相同自测牛刀小试1用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是A圆柱B圆锥C球体D圆柱，圆锥，球体的组合体解析选C由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面2教材习题改编如图所示的几何体是棱柱的有ABCD解析选C根据棱柱结构特征可知是棱柱3教材习题改编已知一个几何体的三视图如图所示，分析此几何体的组成为A上面为棱台，下面为棱柱B上面为圆台，下面为棱柱C上面为圆台，下面为圆柱D上面为棱台，下面为圆柱解析选C由三视图可知，此几何体由上面的圆台和下面的圆柱组合而成的4关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是A直角三角形的直观图仍是直角三角形B梯形的直观图是平行四边形C正方形的直观图是菱形D平行四边形的直观图仍是平行四边形解析选D由斜二测画法规则可知，平行于Y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有D正确5一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_填入所有可能的几何体前的编号三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱圆锥圆柱解析只要判断正视图是不是三角形就行了，画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以，对于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以均符合题目要求答案空间几何体的结构特征例1下列结论中正确的是A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线自主解答A错误如图，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥B错误如下图，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥。C错误若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六形但由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长答案D求解空间几何体概念辨析题的常用方法1定义法，即严格按照空间几何体的有关定义判断2反例法，即通过举反例来说明一个命题是错误的1下列命题中，正确的是A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B侧面都是等腰三角形的棱柱是正棱锥C侧面都是矩形的四棱柱是长方体D底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析选D对于A，两个侧面是矩形并不能保证侧棱与底面垂直，故A错误；对于B，侧面都是等腰三角形，不能确保此棱锥顶点在底面在底面的射影在底面正多边形的中心上，且也不能保证底面是正多边形，故B错误；对于C，侧面是矩形不能保证底面也是矩形，因而C错误空间几何体的三视图例212012湖南高考某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是22012厦门质检某几何体的三视图如图所示，则该几何体是A三棱锥B四棱锥C四棱台D三棱台自主解答1A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D2由三视图可知，该几何体是四棱锥如图所示，且其中一条棱与底面垂直答案1D2B由三视图还原实物图应明确的两个方面1首先要熟悉柱、锥、台、球的三视图，较复杂的几何体也是由这些简单几何体组合而成的2要明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为实物图2已知某组合体的正视图与侧视图相同其中ABAC，四边形BCDE为矩形，则该组合体的俯视图可以是_把你认为正确的图的序号都填上解析几何体是四棱锥与四棱柱组成时，得正确几何体由四棱锥与圆柱组成时，得正确几何体由圆锥与圆柱组成时，得正确几何体由圆锥与四棱柱组成时，得正确故填答案空间几何体的直观图例3如图所示，ABC是ABC的直观图，且ABC是边长为A的正三角形，求ABC的面积自主解答建立如图所示的坐标系XOY，ABC的顶点C在Y轴上，AB边在X轴上，把Y轴绕原点逆时针旋转45得Y轴，在Y轴上取点C使OC2OC，A、B点即为A、B点，长度不变已知ABACA，在OAC中，由正弦定理得，OCSINOACACSIN45所以OCAA，SIN120SIN4562所以原三角形ABC的高OCA，6所以SABCAAA212662本例若改为“已知ABC是边长为A的正三角形，求其直观图ABC的面积，”应如何求解由斜二测画法规则可知，直观图ABC一底边上的高为AA，32122268故其面积SABCAAA21268616平面图形的直观图与原图形面积的两个关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系S直观图S原图形，S原图形2S直观图242记住上述关系，解题时能起到事半功倍的作用3如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6CM，OC2CM，则原图形是A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形解析选C将直观图还原得OABC，则ODOC2CM，22OD2OD4CM，2CDOC2CM，CD2CM，OC6CM，CD2OD222422OAOA6CMOC，故原图形为菱形1种数学思想转化与化归思想利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想1个疑难点三视图的还原问题由三视图还原几何体是解答三视图问题的重要手段和方法，在明确三视图画法规则的基础上，按以下步骤可轻松解决3个注意事项画三视图应注意的三个问题1若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法2确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同3观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置3个“变”与“不变”斜二测画法的要求“三变”ERROR“三不变”ERROR易误警示三视图识图中的易误辨析典例2012陕西高考将正方体如图1所示截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为解析侧视图中能够看到线段AD1，应为实线，而看不到B1C，应画为虚线由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B答案B易误辨析1因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A2因对三视图的画法要求不明而误选C或D在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线为虚线3解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、高平齐、宽相等”的要求变式训练若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是解析选B由正视图与俯视图可以将选项A、C排除；根据侧视图，可以将D排除，注意正视图与俯视图中的实线一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分12012福建高考一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是A球B三棱锥C正方体D圆柱解析选D圆柱的三视图，分别是矩形，圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形22013西城模拟有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个A棱台B棱锥C棱柱D都不对解析选A从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台3一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则原梯形的面积为2A2B2C2D42解析选D直观图为等腰梯形，若上底设为X，高设为Y，则S直观图YX2YX，122而原梯形为直角梯形，其面积S2YX2YX24122224一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为解析选C由正视图和侧视图可知，该长方体挖掉一个小长方体后，相应位置在俯视图中应为左下角位置，且可看见轮廓线，故选C5一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是解析选C若俯视图是等边三角形且为图中的位置，则正视图是等腰三角形，且高线是实线，故选C6一个几何体的三视图如图所示，其正视图的面积等于8，俯视图是一个面积为4的正三角形，则其侧视图的面积为3A4B833C8D42解析选A由三视图知该几何体是正三棱柱，设其底面边长为A，高为H，则其正视图为矩形，矩形的面积S1AH8，俯视图为边长为A的正三角形，三角形的面积S2A24，则A4，H2，而侧视图为矩形，底边为A，高为H，故侧视图的面积34332为SAH4323二、填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分7以下四个命题正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形其中，真命题的序号为_解析均正确，对，直棱柱的侧面都是矩形而不一定全等，错误答案8一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的，其正视图和侧视图如图所示，则这个几何体最多可由_个这样的小正方体组成解析依题意可知这个几何体最多可由92213个这样的小正方体组成答案139正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，3则正视图的周长为_解析由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO，而PA，于是解得23PO1，所以PE，故其正视图的周长为2222答案222三、解答题本大题共3小题，每小题12分，共36分10用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3CM，求圆台的母线长解抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为116，设半径分别为R、4R设圆台的母线长为L，截得圆台的上、下底面半径分别为R、4R根据相似三角形的性质得，解得L9所以，圆台的母线长为9CM33LR4R11已知图是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成解图几何体的三视图为图所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体12如图所示的三幅图中，图1所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图23所示单位CM1在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；2按照给出的数据，求该多面体的体积解1如图2所求多面体的体积VV长方体V正三棱锥4462CM313122228431给出下列命题在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中正确命题的序号是_解析正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体ACB1D1；错误，举反例如图所示，底面ABC为等边三角形，可令ABVBVCBCAC，则VBC为等边三角形，VAB和VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；错误，必须是相邻的两个侧面答案22011江西高考将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为解析选D被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面长方形的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为A1B2CD23解析选C在四棱锥PABCD中，连接AC，由正视图和侧视图可得PCBCCD1，故AC，最长的棱为PA2PC2AC2342011北京高考某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A8B62C10D82解析选C由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6，8,10，所以面积最大的是102第二节空间几何体的表面积和体积备考方向要明了考什么怎么考了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式不要求记忆公式1多以选择题或填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查2常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积，如2012年安徽T12，广东T6，浙江T11等也可以给出几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体积，如2012年江苏T7，山东T13解答题其中的一问一般给出相关条件来判断几何体形状特征特别是几何体的高并计算体积或表面积，如2012年湖南T182，湖北T192等归纳知识整合1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2RLS圆锥侧RLS圆台侧RRL2空间几何体的表面积和体积公式名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱S表面积S侧2S底VSH锥体棱锥和圆锥S表面积S侧S底VSH13台体棱台和圆台S表面积S侧S上S下VS上S下13HS上S下球S4R2VR343探究1柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系提示2如何求不规则几何体的体积提示常用方法分割法、补体法、转化法通过计算转化得到基本几何体的体积来实现自测牛刀小试1棱长为2的正四面体的表面积是AB43C4D163解析选C正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S422434322012上海高考一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为_解析由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S表S侧2S底CL2R22226答案63教材习题改编一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的_倍；体积扩大为原来的_倍解析设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，则S14，S243236，即9，所以表面积扩大为原来的9倍由S2S1V1，V23312，即27，所以体积扩大为原来的27倍4343V2V1答案92742012辽宁高考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V143112答案125教材习题改编如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是_解析由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为R，则得22R，解得R1，又圆锥的母线长为2，所以高为，所以这个圆锥筒的容积为31213333答案33几何体的表面积例12012北京高考某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A286B30655C5612D601255自主解答该三棱锥的直观图如图所示据俯视图知，顶点P在底面上的投影D在棱AB上，且ABC90，据正视图知，AD2，BD3，PD4，据侧视图知，BC4综上所述，BC平面PAB，PB5，PD2BD2PC，BC2PB2162541AC，AB2BC241PA2PD2AD25PCAC，PAC的边AP上的高为41H6PC2AP22SPABABPD10，SABCABBC10，1212SPBCPBBC10，SAPCAPH612125故三棱锥的表面积为SPABSABCSPBCSAPC3065答案B由三视图求几何体表面积的方法步骤根据三视图画出直观图确定几何体的结构特征利用有关公式计算12013马鞍山模拟如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为A4B154C5D174解析选D由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，故18表面积为4123127814174几何体的体积例212012湖北高考已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为AB383CD610322012安徽高考某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_自主解答1由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱其体积V1221223122据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形两底边长分别为2、5，直腰长为4，即梯形的高为4，高为4该几何体的体积为V4456252答案1B256由三视图求解几何体体积的解题策略以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解22012新课标全国卷如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A6B9C12D18解析选B由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱锥，其体积为633913123某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A8B8233C82D23解析选A圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V2312281323与球有关的切、接问题例32012新课标全国卷已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为AB2636CD2322自主解答ABC的外接圆的半径R，点O到平面ABC的距离33DSC为球O的直径，故点S到平面ABC的距离为2D，故棱锥的体积R2R263263为VSABC2案A与球有关的切、接问题的解题策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，达到空间问题平面化的目的4已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为2A12B36C72D108解析选B依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为223，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外3221262接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于432363个步骤求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤3种方法求空间几何体体积的常用方法1公式法直接根据相关的体积公式计算2等积法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等3割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体1种数学思想求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法创新交汇空间几何体中体积的最值问题1求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查2求解空间几何体最值问题，可分为二步第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值典例2012湖北高考节选如图1，ACB45，BC3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90如图2所示当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大解如图1所示的ABC中，设BDX00；当X1,3时，FX0，则有B1,0,0，B11,0，H，C10,1，H，A10,0，H，1,1,0，BC0,1,0，1,0，H1ACA1因为异面直线A1B与B1C1所成的角为60，所以COS60，|即，得，解得H112H21121H222由D是BB1的中点，得D，于是1，0，H21C1，1，H2设平面A1BC1的法向量为NX，Y，Z，于是由N，N可得ERROR即AB1ERROR可取NH,0,1，故SIN|COS，N|，1C而|COS，N|1D|N|N|HH2|14H22H21HH49H28令FH，HH49H281H28H29因为H2929，当且仅当H2，即H时，等号成立8H288H248所以FH，19281812217故当H时，SIN的最大值为4822174如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC60，平面AA1C1C面ABCD，A1AC601证明BDAA1；2求二面角DA1AC的平面角的余弦值；3在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1G若存在，求出P的位置，若不存在，说明理由解连接BD交AC于O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22A1AAOCOS60321AO2A1O2A1A2，AOA1O，由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD以OB，OC，OA所在直线为X轴，Y轴，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A0，1,0，B，0,0，C0,1,0，D，0,0，33A10,0，31由2，0,0，0,1，BD31A3则021000，133BDAA1，2由OB面AA1C1C，平面AA1C1C的法向量N11,0,0，设N2面AA1D，则ERROR设N2X，Y，Z，得到ERROR取N21，1，COSN1，N23N1N2|N1|N2|55二面角DA1AC的平面角的余弦值是553假设在直线CC1上存在点P，使BP面DA1C1，设，PX，Y，Z，则X，Y1，Z0,1，3得P0,1，1，3B33设N3面DA1C1，则ERROR设N3X3，Y3，Z3，得到ERROR不妨取N31,0，1又面DA1C1，BPN30，0，331点P在C1C的延长线上且使C1CCP空间几何体的三视图及其表面积、体积和立体几何的三个难点问题一、空间几何体的三视图及其表面积、体积柱、锥、台、球及其简单组合体，三视图，直观图等内容是立体几何的基础，是研究空间问题的基本载体，也是高考对立体几何考查的一个重要方面，其中几何体的结构特征和三视图是高考的热点一高考对三视图的三个考查角度1由几何体画三视图或考查对简单几何体的三视图的识别解答此类问题的关键是一要掌握各种基本几何体的三视图，注意简单组合体的构成；二要熟悉三视图“长对正、高平齐、宽相等”的法则例1如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是解析结合三视图的画法规则可知B正确答案B2由三视图还原几何体，考查对空间几何体的认识及空间想象能力由几何体的三视图还原几何体，一般如下处理首先通过俯视图确定几何体底面的大致形状，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，确定几何体的形状例2三视图如图所示的几何体是A三棱锥B四棱锥C四棱台D三棱台解析由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形答案B3借助于三视图研究几何体的表面积、体积解决此类问题关键是通过三视图确定空间几何体中的几何量的关系其中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度例3如图是某几何体的三视图，其中正视图是斜边长为2A的直角三角形，侧视图是半径为A的半圆，则该几何体的体积是AA3BA3363CA3D2A3343解析由侧视图为半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥，将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，半圆锥的母线长为2A，底面半径为A，故半圆锥的高为A，几2A2A23何体的体积VA31213A23A36答案A二求体积的几种方法空间几何体的体积是高考考查立体几何的考点之一，求空间几何体的体积的常用方法主要有公式法、转化法、割补法1公式法直接根据相关的体积公式计算例4一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4，则该正方3体的表面积为_解析依题意知正方体的体对角线长等于球的直径，设球的半径为R，则4R3，343所以R，于是正方体的体对角线长为233设正方体的棱长为A，则有2A，33于是A2，因此正方体的表面积为6A224答案242转化法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高，从而使得体积计算更容易，或是可以求出一些体积比等例5如图所示，在正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为A11B12C21D32解析根据三棱锥的特点，可以采用等体积转化的方法解决法一如图所示，由于点G为PB的中点，故点P，B到平面GAC的距离相等，故三棱锥PGAC的体积等于三棱锥BAGC的体积，根据三棱锥的特点，所要解决的两个三棱锥的体积之比就等于三棱锥GACD与三棱锥GABC的体积之比，由于这两个三棱锥的高相等，体积之比等于其底面积之比，即ACD与ABC的面积之比，这个面积之比是21法二如图所示，连接BD交AC于H，则点D，B到平面GAC的距离之比等于DHBH，因为AHDCHB，故DHBHADBC21，三棱锥DGAC与三棱锥BGAC底面积相等，故其体积之比等于其高的比，即所求比值是21答案C3割补法把不能直接计算其体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可以计算体积的空间几何体，通过这个空间几何体的体积计算所求的空间几何体的体积例6如图所示，若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多2面体的体积为AB2623CD3323解析如图所示，平面ABCD把该多面体分割成两个体积相等的正四棱锥以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该正四棱锥的高是正方体边长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，V213122212223答案B二、破解高考中立体几何的三个难点问题破解难点一探究与球有关的组合体问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、“切点”或“接点”作出截面图例1四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一2个球面上，则该球的体积为_解析如图所示，根据对称性，只要在四棱锥的高线SE上找到一个点O使得OAOS，则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上在RTSEA中，SA，AE1，故SE1设球的半径为R，则2OAOSR，OE1R在RTOAE中，R21R21，解得R1，即点O为球心，故这个球的体积是43答案43破解难点二平面图形翻折问题的求解将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化，解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法例2如图边长为A的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；BC平面ADE；三棱锥AFED的体积有最大值ABCD解析中由已知可得面AFG面ABC，所以点A在面ABC