导数知识点归纳及其应用

导数知识点归纳及其应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数YFX,如果自变量X在X处有增量，那么函数Y相应地有增量0XF（X）F（X），比值叫做函数YF（X）在X到X之间的平均变化Y0Y0率，即。如果当时，有极限，我们就说函数YFXXF0Y在点X处可导，并把这个极限叫做F（X）在点X处的导数，记作F（X）或Y|。0000X即F（X）。00LIMXY0LIX说明（1）函数F（X）在点X处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，00XXYXY就说函数在点X处不可导，或说无导数。0（2）是自变量X在X处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。0XY由导数的定义可知，求函数YF（X）在点X处的导数的步骤0求函数的增量F（X）F（X）；Y0求平均变化率；F0取极限，得导数FX。0XYLIM例设FXX|X|,则F0解析F00|LIM|LILILI0000XXFXXX02导数的几何意义函数YF（X）在点X处的导数的几何意义是曲线YF（X）在点P（X，F（X）处的切000线的斜率。也就是说，曲线YF（X）在点P（X，F（X）处的切线的斜率是F（X）。000相应地，切线方程为YYF/（X）（XX）。0例在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个X834数是A3B2C1D0解析切线的斜率为832/XYK又切线的倾斜角小于，即40故18302X解得33X或故没有坐标为整数的点3导数的物理意义如果物体运动的规律是SS（T），那么该物体在时刻T的瞬间速度V（T）。S如果物体运动的速度随时间的变化的规律是VV（T），则该物体在时刻T的加速度AV（T）。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）STSTOASTOSTOSTOBCD答A。练习已知质点M按规律做直线运动（位移单位CM，时间单位S）。32TS（1）当T2，时，求；01T（2）当T2，时，求；TS（3）求质点M在T2时的瞬时速度。答案（1）802（2）8002；（3）8SCMSCSCM二、导数的运算1基本函数的导数公式（C为常数）01NXSICOSXINXELA1LNXGLOAAE例1下列求导运算正确的是AXBLOG2X21XLN1XC3X3XLOG3EDX2COSX2XSINX解析A错，X2B正确，LOG2XLN1XC错，3X3XLN3D错，X2COSX2XCOSXX2SINX例2设F0XSINX，F1XF0X，F2XF1X，FN1XFNX，NN，则F2005XASINXBSINXCCOSXDCOSX解析F0XSINX，F1XF0XCOSX，F2XF1XSINX，F3XF2XCOSX，F4XF3XSINX，循环了则F2005XF1XCOSX2导数的运算法则法则1两个函数的和或差的导数,等于这两个函数的导数的和或差，即VU法则2两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即UVV若C为常数,则即常数与函数的积的导数等于常数乘0CUC以函数的导数法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方（V0）。VU2例设FX、GX分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当X0时,0且G30则不等式FXGX0的解集是XGFXFA3,03,B3,00,3C,33,D,30,3解析当X0时,0，即XGFXF/XGF当X0时，FXGX为增函数，又GX是偶函数且G30，G30，F3G30故当时，FXGX0，又FXGX是奇函数，3当X0时，FXGX为减函数，且F3G30故当时，FXGX0X故选D3复合函数的导数形如YF的函数称为复合函数。复合函数求导步骤X分解求导回代。法则Y|Y|U|或者XUXFXFX练习求下列各函数的导数（1）（2）SIN25XY321XXY（3）（4）CO1I解1,SINSIN23225XXXYYCOSSINSI2353X（2）Y（X23X2）（X3）X36X211X6，Y3X212X11（3）Y,SIN1COSINXXS2SISI21XY（4），XXX121122Y三、导数的应用1函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（A，B）可导，如果，则在此区间上为XFYFX0XF增函数；如果，则在此区间上为减函数。0XF（2）如果在某区间内恒有，则为常数。F例函数是减函数的区间为132XFABCD（0，2）,0,解析由0，当时，0，1X/XF1X/XF1/XF故的极小值、极大值分别为，F3F、而073F、故函数在3，0上的最大值、最小值分别是3、17。1XF经典例题选讲例1已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面XFYXFXF四个图象中的图象大致是例2设恰有三个单调区间，试确定A的取值范围，并求其单调区间。XAF3例3已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的DAXBF21,F切线方程为076YX（）求函数的解析式；F（）求函数的单调区间XY例4设函数，已知是奇函数。32FBCXRGXFX（）求、的值。（）求的单调区间与极值。C例5已知F（X）在X1，X时，都取得极值。CBXA2332（1）求A、B的值。（2）若对，都有恒成立，求C的取值范围。,1F1例6已知是函数的一个极值点，其中X321FXMXN，,0MNR（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；FX（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求1,YFXM的取值范围M例7（2009天津理20）已知函数其中223,XFAXERA（1）当时，求曲线处的切线的斜率；WWWKS5UCOM0A1,YF在点（2）当时，求函数的单调区间与极值。WWWKS5UCOM23FX本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。解（I）31202EFEXXFEXFA，故，时，当31,FY处的切线的斜率为在点所以曲线（II）WWWKS5UCOM422XEAXXF2320A知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1），则当变化时，的变化情况如下表A若32A2XXF，X，2A，00极大值极小值22内是减函数，内是增函数，在，在所以AAXFWW