凸函数及其在不等式证明中的应用 数学与应用数学毕业论文

分类号编号2012010119毕业论文题目凸函数及其在不等式证明中的应用学院数学与统计学院姓名专业数学与应用数学学号281010119研究类型研究综述指导教师杨钟玄提交日期2012年5月原创性声明本人郑重声明本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果本声明的法律责任由本人承担论文作者签名年月日论文指导教师签名凸函数及其在不等式证明中的应用王红娟（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000）摘要凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。关键词凸函数性质不等式JENSEN不等式CONVEXFUNCTIONANDITSAPPLICATIONINTHEPROOFINEQUALITYWANGHONGJUANTIANSHUINORMALUNIVERSITY,ACADEMICOFMATHEMATICSANDSTATISTICS,TIANSHUI741000,CHINAABSTRACTCONVEXFUNCTIONISAKINDOFIMPORTANTFUNCTION,ITHASAFARRANGINGAPPLICATIONINALOTOFMATHEMATICALPROBLEMSTHEPAPERRELATEDANDANALYZEDTHEDEFINITION,PROPERTY,ANDDISCRIMINANTMETHODOFTHECONVEXFUNCTIONATTHESAMETIME,THETHEMETALKEDABOUTTHECONVEXFUNCTIONSIMPORTANTINTHEPROOFINEQUALITYANDPOPULARIZEDABOUTTHECONVEXFUNCTIONKEYWORDSCONVEXFUNCTIONPROPERTYINEQUALITYJENSENINEQUALITY目录题目凸函数及其在不等式证明中的应用1摘要1关键词1引言11凸函数的定义、性质及判定定理111凸函数的定义112凸函数的几种等价定义213凸函数的性质及定理32关于凸函数的四个不等式421JENSEN不等式1422JENSEN不等式2423HOLDER不等式1524HOLDER不等式263凸函数在不等式证明中的应用731利用JENSEN不等式1和凸函数性质证明不等式732利用JENSEN不等式2和凸函数性质证明不等式933凸函数在积分不等式中的应用104凸函数的推广1141凸函数的定义推广1142凸函数的性质及定理推广12421凸函数的性质推广12422凸函数的定理推广13结束语14参考文献15致谢16凸函数及其在不等式证明中的应用王红娟（天水师院数学与统计学院甘肃天水741000）摘要凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。关键词凸函数性质不等式JENSEN不等式1引言在很多数学问题的分析与证明中,我们都需要用到凸函数,例如在数学分析、函数论泛函分析、最优化理论等当中大家都熟悉函数的图像,它FX2的特点是曲线上任意两点间的弧线总在这两点连线之下,我们可以下这Y2X样一个定义设在上有定义,若曲线上任意两点间的弧线总位FABYFX于直线的之下,则称函数是凸函数FX上面的定义只是几何描述性的,为了便于函数的应用,用严格的分式来定义是非常必要的1凸函数的定义、性质及判定定理11凸函数的定义设函数在区间上有定义,若对上任意两点,和正数FXAB,AB1X2,总有,则为区间011212XFFF上的凸函数若不等式中的不等号改为严格不等号,则称为内,ABX,AB的严格不等式常见的凸函数有均为内的严格凸函数01,LNKFXFX或0,II均为内的严格凸函数2LN1E,0XFFCX,12凸函数的几种等价定义设函数在区间上有定义,FXAB对及,恒有1,I01,2IPN1IPNNIIIFPXFX2121212,FXFXXAB对任意,恒有F对任意恒有31212,1212FXFFXFFXF证明记,则21X121212FXFXFX21F12从而有211XFXFXF21112FX221XXFXFF2111F所以有211FXFFXF同理可证221FFFFXX综上所述2121FFFFFFX4在区间上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线FXABYF以下,则称为凸函数FX13凸函数的性质及定理,FXABXAB1若与G均为区间上的凸函数，则FG也是区间上的凸函数,2若为区间上的凸函数，则（）,FX0,则是上的凸函数；（）AB则是上的凸函数设都是单调非负凸函数,则也是上3,FXGHXFGX,AB的凸函数证明对任意,12,AB12X且和任意0,，因为与在上单调递增,故FXG12210FFXGX即1221FXGXG,FXAB又因与均为区间上的凸函数，故21212121,FXFXXGGX0,FXG而将上面两个不等式相乘，可得2121X222121FXFGXFGXFXG由知12121FXGX2221FGXFGXFXG12FX,XAB由凸函数定义知HF是上的凸函数注非负不能少,FXG单调递增不能少,FXG设是单调递增函数,是凸函数,则复合函数也4UUFXUFX是凸函数若为区间内的凸函数,且不是常数,则在内部不能达5FXIFFXI到最大值如果是上的凸函数,则在的任一闭子区间上有6FABFX,AB界如果是内的凸函数,则在内连续7FXF,定理1若在内二阶可导,且FX0,则是内ABFX,AB的凸函数若上面的不等号变为严格不等号,则是内的严格凸函数FX,AB2关于凸函数的四个不等式21JENSEN不等式1设为在区间上有定义,为凸函数,当且仅当有FXIFX12,NXI,1212NNFXFF12N此外，上式当且仅当时，等号成立。证明只是IN22JENSEN不等式2设则12121,NNNIXXABF为凸函数0,且11NNIIIFF2NXX此外，上式当且仅当时，等号成立。证明应用数学归纳法,当时,由凸函数的定义知命题成立设当是命题成立即对任意NK12,X,KAB设当是命题成立即对任意及,都有12,X,K1KIA,现设及,11KKIIIAXFXF121,KABI02,1,K令则,有数学归纳假设可推得1KI1,IIK1I2KKFXX1211KKKFX121KKKFAXAF1FXX121211KKKKKKFXFFFX1IIFX这就证明了对任何正整数,凸函数总有不等式成立2N11NNIIIXFXF23HOLDER不等式1对任给定的证明,0,2IABIN,111QNNNPIIIAB10PQ证明令1IINPIA1IIQNIB则1PNII1QNII11QPPQIIIIINNIIBA111NIIQNNPIIABP所以111QNNNPIIIABB即111QNNNPIII24HOLDER不等式2定义如前,在上可积,证明PQ,FXGAB（范数形式为）11BBPQAAAFXGDF1PQFGF证明用定积分定义证明,将等分,设,由HOLDER不,BNKN等式1得111PQNKKINNFGKKIIFG两边同时乘以,由得BAN10PQ1111PQPQNNNKKKIIIBABABAFGFG当时,由的可积性得N,FXG11BBBPQAAAFXDFXGX3凸函数在不等式证明中的应用31利用JENSEN不等式1和凸函数性质证明不等式例1在中,求证ABC3SINSIN22II8AB若为锐角三角形,则3CTANTA3ABC证明（1）令由,则在是凸函SI,0,FXX0FXFX0,数所以由JENSEN不等式1得,即得SINSINSIN33ABCABCSINIISI32故SINSI8ABC（2）,由,则为上的凸函数所LN,0FX0FXFX0,以由JENSEN不等式1得LNSISI3ABCLSILNILSI3ABCIIL又由（1）知,所以有则有3SINSIN2ABCSINSIN3ABC32LNSISINABC3SINSINL3ABCL2L3L8所以3SINSI8ABC（3）而在上恒大于零所以在,0,2ABC32TAXCO0,TANX是凸的所以由JENSEN不等式得0,2TANTTANTAN33BCABC又TTA所以ANTAN3BC3即TTTA又ANANTANAB证明如下TANTTABCTTTANTAN1ABA22TTATANTTN1BTANTTTABCAAANATTTN1B所以TANTAABC332利用JENSEN不等式2和凸函数性质证明不等式例2用凸函数的方法证明代数平均数于几何平均数，在条件0,IIQXI并且有,设证明1,N121NQ下0,IA12,N1212NNAAA证明设,有根据定理1知FXL0,X210FXFX在上是严格凸函数,根据JENSEN不等式2,得LNX0,其中,1212NNFQQXFQFXQFXIIQ,并且又取,IIIA0I12121NQ则有1212LNLNLNAA等价于式子11112212LLNLLNLNNNAAAA即112NN即不等式的后半部分成立只需证明不等式成立即可1212NNAA同理有12121LNLNLNNXXXX12LNNX所以1212NNNAA于是,有NN1212NNAA12NA33凸函数在积分不等式中的应用例3设是区间上的凸函数,FXB则122BAFAFBAFFXD证明由的凸性保证了有意义,FXBAF当,有2ABX,212ABXABFFFXABXFF因此22ABBBAAFXDFXDFXD令得,XABU22ABAFDFUD2BAFXD因此,2BBAAFXFF又111,22FFX2FABXFFAB所以2BBAAFXDFXFD2112BAFXD22BAFF即1BAFFXD另外令,BXA得11FFAFB）,XAFFB有BBBAAAXDFDDX2所以1BAFAFBFXD综上所述不等式成立122BAFFBAFFXD4凸函数的推广41凸函数的定义推广定义1若区域满足其中任意两点的连线仍属于D,2DR即,则称D为21212,0,XYXY有凸区域定义2设D为凸区域,12,YD0,若有,则称为12112FXYFXFXY,FXYD上的凸函数42凸函数的性质及定理推广421凸函数的性质推广设二元函数在凸区域上有定义,函数为上为凸函数，则以下,FXYD,FXYD命题成立,线段上一点，不妨设121,P12P,12X总有12Y21122,XXFYFYFY21122,FFF证明设则或,2112XYT12XTTX12YTTY01由二元凸函数的定义知1212,FFTT1TXYFXY11222,FF111222,YYFXFXY特别的当时，有即凸函数T12,FFF上任意两点中点函数值不大于这两点函数的平均值设在凸区域D上有连续的一阶偏导则对于,FXY有12,21121121,XYFXYFFYXFY证明由于为D上的凸函数，故,2XD,有021211,FXYFYFXY即2121121,FXYFXYFXYFXY因在凸区域D上有连续的一阶偏导，故可微有,Y21211,FXYFX122121,XYYXFXY其中因此20111212121,XYFYXFYXY2又，所以有01211212121,XYFYXFYXY,整理得21121121,XYFXYFFYXFY422凸函数的定理推广定理2（JENSEN不等式）是凸区域D上凸函数的充要条件是,F及有,IXYD10,NII2,N11,NIIIIFXYFXY证明充分性当N2时有定义知命题成立假设当NK时命题成立,即有10,KII2,K11,KKKIIIIFXYFXY当NK1时,及且,IXYD0I1,2,KIK令则且,1,IIK2,KI1KI1111111,KKKIIIIIKIKIIIFXYFXY1111,KKIKIKFXY1111,KKIIKKFYXF1,11,KIIKKFXF111,KIIKKIFYFXY111,IIKKFXF1,KIIFY即当NK1时成立,根据数学归纳法知命题成立必要性显然证毕结束语凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明当中，运用它解题显得巧妙，简练。利用函数的凸性来证明不等式,通常需要构造适当的凸函数,再运用函数的凸性的定义及几个等价论断,可将一些初等不等式,积分不等式转化为研究函数的性态,从而使不等式简化进而得到证明。参考文献1华东师大数学系数学分析M北京高等教育出版社,19992翟连林,姚正安数学分析方法论M北京北京农业大学出版社,20003孙本旺,汪浩数学分析中的典型例题和解题方法4林源渠,方企勒数学分析习题集M北京高等教育出版社,20025刘玉琏数学分析讲义M北京高等教育出版社,19976刘玉琏,傅沛仁数学分析（上册、下册）（第三版M北京教育出版社,19887华东师范大学数学系数学分析（上册）M北京高等教育出版社，200175