初中三年级数学_圆_全章教案

第二十四章圆单元要点分析教学内容1本单元数学的主要内容（1）圆有关的概念垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角（2）与圆有关的位置关系点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系（3）正多边形和圆（4）弧长和扇形面积弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积2本单元在教材中的地位与作用学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程教学目标1知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算2过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力（5）探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义3情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望教学重点1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用4半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其运用5不在同一直线上的三个点确定一个圆6直线L和O相交DR及其运用7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用8经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用10两圆的位置关系D与R1和R2之间的关系外离DR1R2；外切DR1R2；相交R2R1R；点P在圆上DR；点P在圆内DR；点P在圆上DR；点P在圆内DR点P在圆上DR点P在圆内DR点P在圆外；如果DR点P在圆上；如果DR点P在圆上DR点P在圆内DR3切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线4切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径5应用以上的内容解答题目教学目标（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念（2）理解设O的半径为R，直线L到圆心O的距离为D，则有直线L和O相交DR（3）理解切线的判定定理理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的DR直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理重难点、关键1重点切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目2难点与关键由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价教学过程一、复习引入（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系设O的半径为R，点P到圆心的距离OPD，ARDPOBRDPOCRDPO则有点P在圆外DR，如图（A）所示；点P在圆上DR，如图（B）所示；点P在圆内DR，如图（C）所示因为DR直线L和O相切，这里的D是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由DR就可得到L经过半径R的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理WWWCZSXCOMCNBACD经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（学生分组讨论）根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是O的切线，你应该如何证明（老师点评）应分为两步（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直线例1如图，已知RTABC的斜边AB8CM，AC4CM（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与C相切为什么（2）以点C为圆心，分别以2CM和4CM为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系分析（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可（2）用D和R的关系进行判定，或借助图形进行判定解（1）如图2454过C作CDAB，垂足为D在RTABC中BC2843CD2因此，当半径为2CM时，AB与C相切3理由是直线AB为C的半径CD的外端并且CDAB，所以AB是C的切线（2）由（1）可知，圆心C到直线AB的距离D2CM，所以3当R2时，DR，C与直线AB相离；当R4时，DR3切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线4切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径5应用上面的知识解决实际问题六、布置作业1教材P110复习巩固4、5242与圆有关的位置关系第3课时教学内容1切线长的概念2切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角3三角形的内切圆及三角形内心的概念教学目标了解切线长的概念理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题重难点、关键1重点切线长定理及其运用2难点与关键切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题教学过程一、复习引入1已知ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质2点和圆有几种位置关系你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识3直线和圆有什么位置关系切线的判定定理和性质定理，它们如何WWWCZSXCOMCNOBAP老师点评（1）在黑板上作出ABC的三条角平分线，并口述其性质三条角平分线相交于一点；交点到三条边的距离相等（2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内DR；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想（3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种直线L和O相交DR；切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径二、探索新知从上面的复习，我们可以知道，过O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题问题在你手中的纸上画出O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是O的一条半径吗PB是O的切线吗利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，APO与BPO有什么关系学生分组讨论，老师抽取34位同学回答这个问题老师点评OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了又因为OB是半径，PB为OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是O的又一条切线，根据轴对称性质，我们很容易得到PAPB，APOBPO我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长从上面的操作几何我们可以得到从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角下面，我们给予逻辑证明例1如图，已知PA、PB是O的两条切线求证PAPB，OPAOPB证明PA、PB是O的两条切线OAAP，OBBP又OAOB，OPOP，RTAOPRTBOPPAPB，OPAOPB因此，我们得到切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等LWWWCZSXCOMCNBACBACEDOF（同刚才画的图）设交点为I，那么I到AB、AC、BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则I与ABC的三条边都相切与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心例2如图，已知O是ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE1，CD2，BF3，且ABC的面积为6求内切圆的半径R分析直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求就需添加辅助线，如果连结AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决解连结AO、BO、COO是ABC的内切圆且D、E、F是切点AFAE1，BDBF3，CECD2AB4，BC5，AC3又SABC6（453）R612R1答所求的内切圆的半径为1三、巩固练习教材P106练习四、应用拓展例3如图，O的直径AB12CM，AM、BN是两条切线，DC切O于E，交AM于D，交BN于C，设ADX，BCY（1）求Y与X的函数关系式，并说明是什么函数（2）若X、Y是方程2T230TM0的两根，求X，Y的值（3）求COD的面积WWWCZSXCOMCNBACEDONM分析（1）要求Y与X的函数关系，就是求BC与AD的关系，根据切线长定理DEADX，CECBY，即DCXY，又因为AB12，所以只要作DFBC垂足为F，根据勾股定理，便可求得（2）X，Y是2T230TM0的两根，那么X1X2，X1X2，便可求得X、Y的值309830986044MM（3）连结OE，便可求得解（1）过点D作DFBC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形O切AM、BN、CD于A、B、EDEAD，CECBADX，CBYCFYX，CDXY在RTDCF中，DC2DF2CF2即（XY）2（XY）2122XY36Y为反比例函数；36X（2）由X、Y是方程2T30TM0的两根，可得X同理可得XY36X3，Y12或X12，Y3（3）连结OE，则OECDSCODCDOE（ADBC）AB1212151245CM2五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握1圆的切线长概念；2切线长定理；3三角形的内切圆及内心的概念六、布置作业1教材P117综合运用5、6、7、8242与圆有关的位置关系第4课时教学内容1两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两个圆相交等概念2设两圆的半径分别为R1、R2，圆心距（两圆圆心的距离）为D，则有两圆的位置关系，D与R1和R2之间的关系外离DR1R2外切DR1R2相交R1R2R二、探索新知请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论（1）在一张透明纸上作一个O1，再在另一张透明纸上作一个与O1半径不等的O2，把两张透明纸叠在一起，固定O1，平移O2，O1与O2有几种位置关系（2）设两圆的半径分别为R1和R2（R1R1R2；外切只有一个交点，结合图（A），也很明显DR1R2；相交有两个交点，如图两圆相交于A、B两点，连接O1A和O2A，很明显R2R1R1R2外切DR1R2相交R2R1EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案当X24时，DE5AD32，由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示WWWCZSXCOMCFDECBAG此时，AC6，BC8，AD18，BE32，这样设计既满足条件，又避开大树五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握1正多边和圆的有关概念正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距2正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边的边心距之间的等量关系3画正多边形的方法4运用以上的知识解决实际问题六、布置作业244弧长和扇形面积第1课时教学内容1N的圆心角所对的弧长L180NR2扇形的概念；3圆心角为N的扇形面积是S扇形；2360NR4应用以上内容解决一些具体题目教学目标了解扇形的概念，理解N的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索N的圆心角所对的弧长L和扇形面积S扇2180NR的计算公式，并应用这些公式解决一些题目2360NR重难点、关键1重点N的圆心角所对的弧长L，扇形面积S扇及其它们的应用180NR2360NR2难点两个公式的应用3关键由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板教学过程一、复习引入（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题1圆的周长公式是什么2圆的面积公式是什么3什么叫弧长老师点评（1）圆的周长C2R（2）圆的面积S图R2（3）弧长就是圆的一部分二、探索新知（小黑板）请同学们独立完成下题设圆的半径为R，则1圆的周长可以看作_度的圆心角所对的弧21的圆心角所对的弧长是_32的圆心角所对的弧长是_44的圆心角所对的弧长是_5N的圆心角所对的弧长是_（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到N的圆心角所对的弧长为360NR例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到01MM）AB40MMWWWCZSXCOMCBAO110分析要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可AB解R40MM，N110的长768（MM）180NR4因此，管道的展直长度约为768MM问题（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5M的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大（2）如果这头牛只能绕柱子转过N角，那么它的最大活动区域有多大学生提问后，老师点评（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5M为半径的圆的面积（2）如果这头牛只能绕柱子转过N角，那么它的最大活动区域应该是N圆心角的两个半径的N圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图5WWWCZSXCOMCN像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形（小黑板），请同学们结合圆心面积SR2的公式，独立完成下题1该图的面积可以看作是_度的圆心角所对的扇形的面积2设圆的半径为R，1的圆心角所对的扇形面积S扇形_3设圆的半径为R，2的圆心角所对的扇形面积S扇形_4设圆的半径为R，5的圆心角所对的扇形面积S扇形_5设圆半径为R，N的圆心角所对的扇形面积S扇形_老师检察学生练习情况并点评13602S扇形R23S扇形R24S扇形5S扇形1606023602360NR因此在半径为R的圆中，圆心角N的扇形S扇形2360例2如图，已知扇形AOB的半径为10，AOB60，求的长（结果精确到01）和扇AB形AOB的面积结果精确到01）分析要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足解的长10105AB60183S扇形1025233因此，的长为251CM，扇形AOB的面积为1507CM2AB三、巩固练习课本P122练习四、应用拓展例3（1）操作与证明如图所示，O是边长为A的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值A（2）尝试与思考如图A、B所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为A的正三角形或边长为A的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，当扇形纸板的圆心角为_时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值A；当扇形纸板的圆心角为_时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值ADECBAOAB（3）探究与引申一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为A的正N边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_时，正N边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值A，这时正N边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值若为定值，写出它与正N边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由解（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD四边形ABCD是正方形OAOD，AOD90，MAONDO，又MON90，AOMDONAMODNOAMDNAMANDNANADA特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AMAN仍为定值A故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值A（2）120；70（3）；正N边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是60SN五、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课应掌握1N的圆心角所对的弧长L2扇形的概念180R3圆心角为N的扇形面积是S扇形4运用以上内容，解决具体问题36N六、布置作业244弧长和扇形面积第2课时教学内容1圆锥母线的概念2圆锥侧面积的计算方法3计算圆锥全面积的计算方法4应用它们解决实际问题教学目标了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题重难点、关键1重点圆锥侧面积和全面积的计算公式2难点探索两个公式的由来3关键你通过剪母线变成面的过程教具、学具准备直尺、圆规、量角器、小黑板教学过程一、复习引入1什么是N的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点2问题1一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的老师点评（1）N圆心角所对弧长L，S扇形，公式中没有N，而是N；弧长180NR236公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R，分母是360，两者要记清，不能混淆（2）太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥上的侧面积，圆柱的侧面积和底圆的面积这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它二、探索新知我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同理道理，