假设检验

假设检验目录一假设检验的用途1二假设检验的基本步骤1三假设检验的类型及实例11已知对正态总体均值的假设检验22未知对正态总体均值的假设检验23未知对正态总体方差的假设检验44有关比例P的假设检验45两个正态总体已知且相等，对均值的假设检验56两个正态总体相等但、未知，对方差2的假设检验57两个正态总体相等但、未知，对均值的假设检验5四注意事项及易出现的问题5第十一节假设检验假设检验是根据所获得的样本，运用统计方法对总体的某种假设作出接受或拒绝的一种判断方法。其原理如图1111所示。一、假设检验的用途1当5M1E因素发生变化时，判断工序质量的波动（均值、标准差、不合格品率），是否有较大变化；2进行工艺试验（如工艺参数、设备、材料）时，比较两种方案对质量的影响程度；3判断工艺（如工艺参数、设备、材料）改进，对质量特征值（）X的影响程度；4在没有积累大量数据的情况下（总体的未知），估计质量特性是否有较大变化。二、假设检验的基本步骤1建立假设提出原假设H02、P、F（X）002、P0、F（X0），及备择假设H12、P、F（X）002、P0、F（X0）或H12、P、F（X）002、P0、F（X0）或H12、P、F（X）02、P0、F（X0）。H12、P、F（X）OO2、P、F（XO）或2、P、F（X）OO2、P、F（XO）是单边假设检验问题（见图1111、）；H12、P、F（X）OO2、P、F（XO）是双边假设检验问题（见图1111）。注若假设是关于总体参数（、2、P）的某个命题，称为参数的假设检验。H10阴影面积接受域0U拒绝H0阴影面积接受域拒绝H0U0H10接受域H10阴影面积/2阴影总面积阴影面积/2拒绝H0U1/20U1/2拒绝H0图1111U分布临界值确定的示意图注T、2、F分布的图形虽然与U分布不同，但临界值确定的示意图形是与此相同的。2选择检验统计量根据原假设HO的分布选取合适的检验统计量（U、T、2、F、P）。检验统计量见表1111。3给出显著水平；4根据需要给出显著水平的数值，一般取001、005、01，常取005；5确定临界值，写出拒绝域W。在原假设为真的情况下，根据值查相应的分布表，确定拒绝域和接受域的分界点，即临界值（如图111所示），写出拒绝域W5判断计算检验统计量U（T、2、F、P），比较U（T、2、F、P）与临界值的大小三、假设检验的类型及实例1已知对正态总体均值的假设检验例1111某工厂生产一种云母带，其厚度在正常生产情况下服从N（013，0052）。某日在中抽查了10次，发现平均厚度为0136，如果生产线生产的产品平均厚度的标准差不变，试问生产是否正常（取005）解立假设HO013，H1013。由于0已知，需检验均值，故选取U检验。给出的显著水平005。查附录321标准正态分布表，U1/2U0975196，可知备择假设的拒绝域为|U|U1/2|U|196。由样本观测值，求得U126196U0975。105360NX当样本落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1；当样本未落入拒绝域W内，则接受H0WU（T、2、F、P）U（T、2、F、P）或U（T、2、F、P）U（T、2、F、P）；|U|（T、2、F、P）U1/2（T1/2、21/2、F1/2、P1/2）由于样本观测值未落入拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可认为该天生产正常。表1111假设检验的内容与方法一览表类别分布检验名称已知条件H0H1拒绝域统计量应用示例U00已知000000|U|U1/2UUUU1NX0常用于工艺改进后对质量特性平均值是否有显著变化的检验，也用以检验大批生产日产量是否有变化。T0已知0未知000000|T|T1/2（N1）TT（N1）TT1（N1）S0在没有积累大量数据的情况下（总体的2未知）估计质量特性的均值是否有显著变化。正态分布220已知20220220220220220221/2（N1）或22/2（N122（N1）221（N1）201N当5M1E因素发生变化时，判断工序质量波动（标准差）是否有显著变化。一个总体的参数检验近似正态UP0已知PP0PP0PP0PP0PP0PP0|U|U1/2UUUU1N/PX01工艺（参数、材料、设备等）改变时，用通过试加工一批产品的不良品率来判断工序的不良品率是否有显著变化。U122202且已知121212121212|U|U1/2UUUU12120/进行工艺试验（如工艺参数、设备、材料）时比较两种方案的质量特性平均值的优劣。两个总体正态T122202均未知121212121212|T|T1/2（N1）TT（N1）TT1（N1）21212NNSXF1、2、12、22均未知122212221222F0F/2（F1,F2）或F0F1/2（F1,F2）F0F（F1,F2）N/S121工艺试验中比较两种方案对质量波动的影响，如正交试验、回归分析中的方差分析。（F1,F2为样本的自由度）2未知对正态总体均值的假设检验例1112根据某地环境保护的规定，倾入河流的废水中一种有毒化学物质的平均含量不得超过3PPM。已知该废水中有毒化学物质的含量X服从正态分布。该地区环保部门对沿河的一工厂进行检查，测定每日倾入河流的废水中该物质的含量，15天的记录为（以PPM为单位）31，32，33，29，35，34，25，43，29，36，32，30，27，35，29，试求，在005水平上判断该厂废水排放是否符合环保规定。解如果符合环保规定，那么应该不超过3PPM，不符合规定则大于3PPM，所以立假设H03，H13。由于未知，需检验均值，故选取T检验。给出的显著水平005。查附录323，T分布表T1（151）T095（14）1761，可知备择假设的拒绝域为|T|T1（N1）T1761由样本观测值，求得320，S0463，XT177661761。5402S样本观测值落入拒绝域，因此在005水平上拒绝原假设，认为该厂不符合环保规定，应采取措施降低废水中该种有毒化学物质的平均含量。3未知对正态总体方差的假设检验例1113某种导线的电阻服从N（，2），O未知，其中一个质量指标要求为电阻标准差不得超过0005。现从一批导线中随机抽取了9根，测得样本的标准差为S00066，试问在005水平上能否认为导线的电阻合格。解立假设H00005，H10005。由于未知故选用2检验。根据显著水平005，查附录324，2分布表，21（91）2095（8）1551。可知备择假设拒绝域为221（N1）21551。由样本观测值，求得213941551；22005619SN由于样本观测值未落入拒绝域,所以不能拒绝原假设，可以认为该批导线电阻波动合格。4有关比例P的假设检验例1114某厂规定产品必须经过经验合格后才能出厂，其不合格率P0不得超过5。现从一批产品中随机抽取50个进行检验，发现有4个不合格品，问该批产品能否出厂。（005）解立假设H0P005，H1P005。因为样本容量N50，较大，故可选用近似U检验。根据显著水平005查附录321，标准正态分布表U1U0951645。可知备择假设的拒绝域为|U|U1|U|1645。由样本观测值，求得1645。97050410/N/PX）（）（由于样本观测值未落入拒绝域所以不能拒绝原假设，应允许该批产品出厂。5两个正态总体已知且相等,对均值的假设检验例1115用两种不同的老化工艺生产了两批电阻器，经温度循环试验后计算阻值率希望其越小越好。现从第一种老化工艺生产的电阻器中抽取80只电阻器，经温度循环试验后计算阻值率的均值1102；从第二种老化工艺生X产的电阻器中抽取50只电阻器，经温度循环试验后计算阻值率的均值213。已知12048，问这两种工艺生产的电阻器阻值率的均值有X无明显变化。解立假设H012，H112。由于两个正态总体已知且相等，若对均值进行检验，故选取U检验。由于显著水平未给定选005，查321标准正态分布表U1/2U095196。可知备择假设的拒绝域为|U|U1/2|U|196。由样本观测值，求得U。2435084021220/N/X|U|324196U1/2。由于样本观测值落入拒绝域所以否定原假设，说明这两种工艺生产的电阻器阻值率的均值有明显差异；同时12，所以第一种老化工艺优于第二种老化工艺。6两个正态总体相等但、未知，对方差2的假设检验例1116同一批针织品进行不同温度条件的断列强度试验，各抽取9件样品并测试计算结果如下试验条件70时，样本1204，S12620；X试验条件80时，样本2194，S22580；问不同温度条件下该批针织品断列强度的标准差是否有明显差异。解立假设H01222，H11222。由于两个正态总体、均未知，若对2进行检验，故选取F检验。由于显著水平未给定，选005。查325F分布表，F1/2（N11，N21）F0975（91，91）443。可知备择假设的拒绝域为|F|F1/2|F|443。由样本观测值，求得443。0785621/N/S由于样本观测值未落入拒绝域所以接受原假设，可以认为70和80C条件下该批针织品的断列强度有相同的方差。7两个正态总体相等但、未知，对均值的假设检验例1117在例1126中，问不同温度条件下该批针织品的断列强度的均值是否有明显差异。解立假设H012，H112。由于两个正态总体的相等，、未知,若对均值进行检验，故选取T检验。由于显著水平未给定，选005，查323T分布表，T1/2（992）T0975（16）2120。可知备择假设的拒绝域为|T|T1/2|T|2120。由已知1204，S12620；2194，S22580；XX21212NNT0869980520614由于样本观测值未落入拒绝域所以接受原假设，可以认为70和80条件下该批针织品断列强度的均值无明显差异。四、易出现问题及注意事项1统计量选择的错误U检验。一个正态总体或两个正态总体的方差2未知时不能用U检验去检验均值是否有明显差。T检验总体不服从正态分布或两个正态总体的方差2是否相等未得到证明前不能用T检验去检验均值是否有明显差异；对服从正态分布的两个正态总体样本的成对数据，当每对数据很接进时，无必要用T检验去检验均值是否有明显差异。F检验两个正态总体02已知，无必要用F检验检验方差2是否有明显差异。不能用小样本计数值代替大样本推断总体的不良品率；N应大于50，此时样本均值的分布才近似于正态分布。2拒绝域确定中的错误选取不当。误以为取得越小越好，可增加判断的可靠性。实际上对一定的样本量N来说（犯第一类错误的概率）小时，（犯第二类错误的概率）就大，不能使两者同时减小。拒绝域的确定未根据课题的要求。在需要检验质量特性是否得到改善或不良品率是否降低时，采用了双侧的拒绝域，而在比较两种方案是否有差异时采用了单侧的拒绝域。3查分布表易发生的错误查各类分布表时未搞清分布表的积分区间，选取了错误的数值。如U检验可查标准正态分布函数表和正态分布的分位数表（又分