概率统计习题带答案

概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1设事件及的概率分别为及，试求及BA,QP,R,BAPP2若相互独立，试证明亦必相互独立。C,CBA,3试验为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以记之，其中分别表示E,21X21,X第一颗、第二颗骰子的点数。设事件，0|,21XA事件。试求和|,2121XXB|BP|4某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问（1）恰好第三次打开房门锁的概率（2）三次内打开的概率（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少5设有甲、乙两袋，甲袋中装有个白球、个红球，乙袋中装有个白球、NMN个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的M概率是多少6在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率7甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率8某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为092,093,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为015。试求下列事件的概率（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵9设为两随机变量，试求解下列问题BA,（1）已知。求；6/1|,3/1BAPP|BAP（2）已知。求。2/|,/|,4/10先把长为的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得L三部分能成三角形的概率11甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是。又若只有一人命40中时，飞机坠毁的概率为；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为；若三人同时206命中，则飞机必然坠毁。试求（1）飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二人命中的概率12今有门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为。（）同0时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（）欲以以上的把握击中飞机，试问至少要9布置多少门炮同时射击13某工厂有职工名，每名职工生日在一年中某一天的概率为，试求下475365/1列事件的概率（）恰有名职工生日在同一天；（）至少有名职工生日在同A一天（）B14假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为，且各发动机故障与否P1是相互独立的。如果至少有的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的，50P个发动机比个发动机更为保险15设事件满足CBA,0,8/1,4/1BCPACPP试求三事件至少有一发生的概率,16某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为，乙市12全年雨天比例为，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为，试求下列事件的概816率（）甲、乙两市同为雨天；（）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨17某地以英文字母及阿拉伯数字组成位牌照。试求下列事件的概率（）牌照的前位是英文字母、后位是阿拉伯数字（）；（）牌照中有位是英文字母、另A外位是阿拉伯数字（）B18甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为，乙胜60的概率为，比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲40更有利19平面上画有平行线若干、其间距交替地等于厘米及8厘米。今任意地向平面51投掷一半径为厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率5220甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候10分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的概率21平面上画有距离为的平行线若干条。今向此平面任意投一长为0A的小针。试求小针与平行线之一相交的概率AL22若相互独立，则（1）独立；（2）独立；（3）独立。BA,BA,BA,BA,23当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率24掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率25设事件的概率分别为和，试求下列三种情况下的值BA,312BAP（1）与互斥；（2）；（3）81ABP26将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为1，2，3的概率27袋中有12个球，其中8个白球，4个黑球，现从中任取两个，求（1）两个均为白球的概率（2）两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率（3）至少有一个黑球的概率28将10本书随意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率29甲、乙二班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，求在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率30设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为01,02,03，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率31某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉，各车间的产量分别占该厂螺钉产品的25，35，40，各车间成品中次品分别为各车间产量的5，4，2，今从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率是多少32有产品100件，其中10件次品，90件正品。现从中任取3件，求其中至少有一件次品的概率33100人参加数理化考试，其结果是数学10人不及格，物理9人不及格，化学8人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、化学两科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人。问全部及格的有多少人34两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是005，第二台机器的产品次品率是002。两台机器加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机器加工的零件数量是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件，求此零件是合格品的概率如果任意取出一件，经检验是次品，求它是由第二台机器生产的概率35有枪8支，其中5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的概率是08；未经校正的枪，击中靶的概率是03。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少36某射手射击一发子弹命中10环的概率为07，命中9环的概率为03。求该射手射击三发子弹而得到不小于29环成绩的概率37设，试求及50,1,BPAB,BAPAP38已知，求3,7039某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是，如果在比赛中他试举三P次，求他打破世界纪录的概率40工厂生产的某种产品的一级品率是40，问需要取多少件产品，才能使其中至少有一件一级品的概率不小于9541假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于096，问该单位有多少人42从5双不同尺码的鞋子中任取4只，问4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少43仪器中有三个元件，它们损坏的概率是01，并且损坏与否相互独立。当一个元件损坏时，仪器发生故障的概率是025；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是06；当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是095；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求仪器发生故障的概率44在套圈游戏中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分别是01,02,03，已知三个人中某一个人投圈4次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大45在40个同规格的零件中误混入8个次品，必须逐个查出，求正好查完22个零件时，挑全了8个次品的概率46设事件与相互独立，两事件中只有发生及只有发生的概率都是，求ABAB41与P第二章随机变量及其分布1一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率T为，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率（2）至少有3个设备被使用0的概率（3）至多有3个设备被使用的概率2设有一批产品共100件，其中有95件正品，5件次品。现从中随机地抽取10件，试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数不超过3的概率X3设的分布律为XX012P030601求的分布函数4设随机变量的分布函数为。试求,ARCTNXBAXF（1）系数；（2）落在（1，1）内的概率（3）的概率密度BA,XX5设随机变量服从的指数分布，试求（1）；0510P（2）若要，则应在什么范围内XPX6设随机变量的概率密度为，求的分布函数X其它01122XXFX7设随机变量的概率密度为求的分布函数X其它0212XXFX8设连续型随机变量的分布函数为102XKXF试求（1）系数；（2）的概率密度；（3）。KX30XP9设随机变量的分布函数为5102XXF试求（1）的概率密度；（2）落在（3，6）内的概率XX10随机变量的概率密度为,|XKEXFX试求（1）系数；（2）；（3）的分布函数K10P11某种电子管的使用寿命（单位小时）的概率密度为X102XXF设某仪器内装有三个这样的电子管。试求（1）试用的最初150小时内没有1个电子管损坏的概率；（2）这段时间内只有1个电子管损坏的概率12设随机变量的分布律为XX10123P1/121/41/61/125/12试求（1）的分布律；（2）的分布律1YXY13设的概率密度为，求的概率密度X其它02XXFXYSIN14设随机变量在（0，1）上服从均匀分布，试求（1）的概率密度；XE（2）的概率密度XYLN15设随机变量在区间上服从均匀分布。求随机变量的概率2,YCOS密度16设随机变量。试求的概率密度1,0NX|2XYEX17设随机变量。试求的概率密度,1218设电流是一个随机变量，它均匀分布在911安之间。若此电流通过2欧的电I阻，试求功率的概率密度2W19设随机变量的概率密度为，求的概率密度；若随机变量服从XXF3XYX参数为的指数分布，求的概率密度3Y20某种商品一周内的需要量是一个随机变量，其概率密度为，设各周的需要量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需0XEXF要量的概率密度21设是一个随机变量，在（1，1）上服从均匀分布，求的概率密度X|XY22设求（1）；（2）使的,45N3|XPCP注904,9870,970,830,023同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数。记为两颗骰子出现的最大点数，试求的分布律X24某批产品的次品率为1/4，现对这批产品进行测试，以表示首次测得正品的测X试次数，求的分布律25设连续型随机变量的概率密度为X其它012XXCF试求（1）常数；（2）；（3）的分布函数5PX26电话总机在1小时内平均接到60次呼唤，试问在30秒内1次呼唤也没有接到的概率有多大27对某一目标进行射击，直到击中时为止。若每次射击的命中率为，试求射击次P数的分布律28设盒中有5个球，其中3个黑球、2个白球，从中随机抽取3个球，求“抽得白球个数”的概率分布X29某射手每次射击打中目标的概率都是，现在他连续射击30次，求他至少打80中两次的概率30某射手每次打中目标的概率都是，现在他连续向一个目标射击，直到第一次击中目标为止。求他射击次数不超过5次就能把目标击中的概率31设随机变量的概率分布为X,321,ICIXP试求（1）常数（2）。C4132已知随机变量的分布律为X,210,21KXP试求的分布律COSY33设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月此种商品不脱销的概率为9034设随机变量服从参数为的二项分布，问当为何值时能使最大XPN,KKXP35同时投掷两颗骰子，直到至少有一颗骰子出现六点为止，试求投掷次数的分X布36一台仪器在10000个工作小时内平均发生10次故障，试求在100个工作小时内故障不多于两次的概率37设随机变量的概率密度函数为X102XAXP试求（1）系数；（2）落在的概率；（3）的分布函数。X,X38设随机变量的分布函数为210SINXAXF试求常数及。6XP39设随机变量服从正态分布，为使，问,1602N80210XP允许的最大值是多少40设测量两地间的距离时带有随机误差，其概率密度函数为X,2401302XEXPX试求（1）测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）接连测量三次，每次测量相互独立进行，求至少有一次误差不超过30的概率。41设随机变量分别服从与区间上的均匀分布，试求X,0的概率密度函数。YSIN42已知随机变量只取1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是，试求常数C6,8543,2143设连续型随机变量的分布函数为X0,1ARCSIN0AXBAXF试求（1）常数；（2）随机变量落在内的概率；（3）的概率密度,X2,X函数。44将三封信逐封随机地投入编号分别为1，2，3，4的四个空邮筒，设随机变量表示“不空邮筒中的最小号码”（例如，“”表示第1，2号邮筒中未投入信，而XX第3号邮筒中至少投入了一封信），试求（1）随机变量的分布律；（2）的分布函X数。XF45设随机变量的概率密度函数为XXXP0,12试证明随机变量与服从同一分布。XY46轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方铁路。如果炸弹落在铁路两旁40米内，就可以使铁路交通遭到破坏，已知在一定投弹准确度下炸弹落点与铁路距离的概率密度为X1001XXXP如果三颗炸弹全部投下去，问敌方铁路被破坏的概率是多少47设随机变量服从标准正态分布，试求的概率密度函数。XXY21Y第三章多维随机变量及其分布1袋中装有四个球，分别编号为1，2，2，3，现不放回地任取两次，每次抽取一个球，以分别记第一次和第二次所取球的编号，求的分布律YX,YX2设二维连续型随机变量的概率密度为,YX其它010,2,YXKYXF求（1）常数的值；（2）2YP3将一硬币连掷三次，以表示三次中出现正面的次数，表示在三次中出现正面XY的次数与出现反面的次数的差的绝对值，试求二维随机变量的分布律,X4已知二维随机变量的联合概率密度为其它00,32YXAEYXFY试求（1）常数的值；（2）；（3）的分布函数2,1YXP,YX5设在矩形区域内服从均匀分布。求的概率密度与,YX0,YX,分布函数6设的概率密度为,YX其它01,2YXCYXF求（1）常数；（2）CYP7设在由轴、轴及直线所围成的三角形区域上服从均匀分布。,YXXY2YX求关于及关于的边缘概率密度,8设的概率密度为,YX其它0,1,XYXAYXF求（1）常数；（2）关于及关于的边缘概率密度XY9设的联合分布律如表所示,YX0100560241014006判断与是否相互独立XY10一电子器件包含两个部分，分别以，记这两部分的寿命（单位小时），设XY的分布函数为,其它00,1,0110YXEEYXFYYX问（1）与是否相互独立（2）求XY2,YXP11设二维随机变量的概率密度为,其它0120,6,XYXYXF问（1）与是否相互独立（2）求XYYXP12设和是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率20,Y密度为，求（1）的联合概率密度；（2）05YEYFY,YXXP13设在三角形区域上服从均匀分布。,X1,0YXXD求的概率密度YZ14对某种电子装置的输出测量5次，设观察值是相互独立且服从5,4321IX同一分布，其概率密度为,0482IXEXFXXI求,MAX54321P15设是相互独立的随机变量，其分布律分别为YX,210,210JQJYPKP证明随机变量的分布律为ZILIJPZ0,10,16在一简单电路中，两电阻和串联联接。设和相互独立，它们的概率1R21R2密度分别为其它其它005,005121YYFXXFRR求总电阻的概率密度2117设的概率密度为,YX其它012,1,XYXYXF求的概率密度Z18设随机变量相互独立，在（0，1）上服从均匀分布，在（0，2）上服,XY从均匀分布。求和的概率密度MAX1Y,IN2YZ19将三个球随机地放入三个盒子内，每个球可放入任一盒子中，记分别为放YX,入第一个、第二个盒子中球的个数，求二维随机变量的分布律,YX20设随机变量的概率密度为,YX其它020,13,2YXYXYF求（1）；（2）的分布函数；（3）关于及关于的边YXP,YX,YXY缘概率密度；（4）判断与是否相互独立21设的概率密度为,其它01,|1,XYXF求关于及关于的边缘概率密度,YXY22设，是相互独立的随机变量，分别服从参数为的泊松分布，21,证明服从参数为的泊松分布。YZ2123设表示平面上的区域，它是由抛物线和直线所夹的区域。G2XYXY,YX服从上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率密度，并问与是否相互独立XY24离散型随机变量的概率分布如下表所示，试求边缘分布，并问与是,YXY否相互独立0123456XY0020201740113006200490023000410009900640040003100200006200003100250018001300083000000100020004001125设随机变量为连续型的，其联合概率密度为,YX其他0,2,XYXYXKYF试求（1）常数；（2）边缘密度函数；（3）问与是否相互独立XY26设与是两个相互独立的随机变量，服从0，2上均匀分布，服从参数为XYY2的指数分布，试求P27设与是两个相互独立的随机变量，服从0，1上均匀分布，服从参数为X1的指数分布，试求的概率密度函数。YZ28设二维随机变量的联合概率密度为,X2516,2YXAYXF试求（1）常数；（2）的联合分布函数。,Y29设随机变量与是相互独立，都服从标准正态分布，试求X1,0N3YP30设二维随机变量的联合概率密度为,Y其他010,32YXYCXF试求（1）常数；（2）证明与相互独立。XY31箱子里装有件正品和件次品，依次从箱子中任取一件，取两次，每次取后不AB放回。随机变量与如下定义XY品如果第一次取出的是正品如果第一次取出的是次01品如果第二次取出的是正品如果第二次取出的是次Y试写出随机变量的联合分布律，边缘分布律，并问与是否相互独立,XXY32随机地掷两颗骰子，设表示第一颗骰子出现的点数，表示这两颗骰子出现点数的最大值。试写出二维随机变量的联合分布，的边缘分布,YX33袋中有个球，其中个红球，个白球，个黑球。每次从袋NABCNCBA中任取一球，共取次。设分别表示取出的个球中红球与白球的个数，试求下列两NY,N种情况下的联合分布,YX（1）每次取出的球仍放回去（有放回抽样）；（2）每次取出的球不放回去（无放回抽样）。34已知随机变量的联合分布律为,Y,10,21,0,86147,MNMNENYMXPN试求边缘分布。35设二维随机变量的联合概率密度函数为，求的概率密度函,YX,YXFYXZ数36设二维随机变量的联合概率密度函数为，求的概率密度,YXF函数37设随机变量与相互独立，并且概率密度函数分别为XY0,21,21AEYFEAXFYYX试求的概率密度函数Z38随机变量与相互独立，且，1X2,2211NXX试证明,221NZ39设随机变量与相互独立，都服从0，1上的均匀分布，求的分YYZ布40设随机变量与相互独立，都服从上的均匀分布，求的概率X,AX密度函数41设随机变量与相互独立，都服从参数为1的指数分布，求的概率密YYZ度函数42若随机变量只取一个值，试证明与任何随机变量都相互独立。XX第四章数字特征、大数定律和中心极限定理1设随机变量的概率密度为2|0|COS2XAXF求（1）常数；（2）AXD2设随机变量的概率密度为其它0212XXF求及XD3设是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为Y,其它其它0,012YEYFXXFYX求YD4已知随机变量的数学期望与方差分别为和，令XXE0,XD，求DEXY,Y5已知，求1,2,0,3,12XYEEXYD6证明的充要条件是为常数。0DCP,17设在圆域内服从均匀分布，求，并判断是否,YX12YX,COVYXY,相互独立8设二维随机变量的分布律为,YXY1011818180011验证和不相关，但和不是相互独立的XYXY9设二维随机变量的概率密度为,其它01,|1,XYXF求，并判断是否相互独立,COVYXY,10设二维随机变量在平面区域上服从均匀分布，,YX1,0YXXG求XY,COV11设相互独立，且在（0，1）上服从均匀分布，试利用中心极限,2I定理计算的近似值106IIXP（注）932051,90321,86301,84312把三个球随机地放入三个盒子中去，每个球可投入任一盒子中，记为空盒子的X个数，求,XDE13设随机变量的分布律为，其中,21,KPQKXP是常数，则称服从参数为的几何分布，求PQ1,0,XDE14一本书500页中有100个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布（1）随机地取一页，求这一页上错误不少于2个的概率（2）随机地取4页，求这4页上错误不少于5个的概率（3）随机地取8页，求这8页上错误不少于5个的概率15共有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开上的锁。用它们去试开门N上的锁，设抽取钥匙是相互独立且等可能的，若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数的数学期望（1）写出的分布律；（2）不写出的分布律。XXX16设二维随机变量的概率密度为,Y其它01206,XYXYXF求,XYED17设二维随机变量的分布律为,X012310838303810081求XY,COV18设的概率密度为,其它020,81,YXYXYF求XY19对于随机变量，已知ZYX,1,ZEYXE，2,1,01ZZD求,E20某校报名选修心理学课的学生人数是服从均值为100的泊松分布的随机变量。教务部门决定，如报名人数不少于120人，就分成两个班讲授；如果少于120人，就集中在一个班讲授。试问此课程将分两个班讲授的概率是多少（注）98703,98052,9702,8413021对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在内，求圆面积的数学期望,BA22设随机变量的概率密度为，试求随机变量X其它02COSXXFX的方差2Y23一批零件中有9个合格品3个次品，在安装机器时从这批零件中任取一个。如果每次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已经取出的次品个数的期望及方差24由统计物理学知道，气体分子运动的速率服从麦克斯威尔分布，其概率密度函X数为0423XEAXFAX这里，是参数。试求分子运动速率的期望及方差0,AX25自动生产线在调整之后出现次品的概率为，生产中若出现次品时立即进行调整，P求两次调整之间生产的合格品数的数学期望及方差26已知连续型随机变量的概率密度函数为X12XEXF试求的数学期望及方差X27设为随机变量，为常数且，试证明CXE2CXED28设某校车上有50名职工，自校门开出，有10个停车点，如果某停车点没人下车，则不停车。设每位职工在每个停车点下车是等可能的，表示停车次数，试求的数学期望29设随机变量与相互独立，且，求XY,0,022NYX。,22DE30设随机变量相互独立，且都服从参数为1的泊松分布，试利用中1021,心极限定理计算01IIXP31船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于的概率为06，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇角度大于的概31P0率是多少32袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为，一大盒内装KG01200袋，求一大盒茶叶净重大于的概率KG52033电冰箱的寿命服从指数分布，每台电冰箱平均寿命是10年。现工厂生产了1000台电冰箱，问10年之内，这些电冰箱出现故障的台数小于600台的概率34设随机变量的概率密度函数为X其他012XCBAXF并且已知，求常数5,5XDECBA,35把4只球随机地投到4个盒子中去，求空盒子个数的期望及方差36掷两颗骰子，设表示第一颗出现的点数，表示两颗中出现的较大的点数，试Y求,YDEX37设随机变量与相互独立，且它们的概率密度分别为02,0222YEYFXEXFYX试求的均值2Z38设随机变量与相互独立，且它们的概率密度分别为XY50,015YEYFXXFX其他试求的数学期望ZE39已知随机变量与的方差及相关系数分别为XY,试求40,36,25DX,YXD40设随机变量与之间存在线性关系，这里为常数。试0,BABA,证明它们之间的相关系数为01BXY41将只球（分别标号为号）随机地放入只盒子（分别标号为号）。将NNNN1某号码球装入同号码的盒子中，称为一个配对，用表示配对的数目，求。XXE42设随机变量与相互独立，且XY1,0YDYE求2E43设随机变量与相互独立，并且都服从正态分布，XY,2N令,这里，为常数。试求与的相关系数BYAXBA,A,44设随机变量表示由四个数字1，2，3，4中任意选取的数字，随机变量表示由Y其中任意选的不小于的数字，试求XYDXYE,45独立试验序列中，设事件在各次试验中发生的概率为，求事件发生次时APAN已进行的试验次数的数学期望46一个工人负责台同类型机床的维修。这台机床从左到右排列在一条直线上。相NN邻两台之间的距离都等于，工人对某一台机床检修完毕，再到另一台先要求检修的机床A去进行检修。假定台机床中任何一台机床发生故障的概率相等，且相互独立。试计算这个工人检修一台机床要走的平均路程47有五个相互独立的电子装置，它们的寿命都服从参数为的指数5,21IX分布。（1）如果将它们串联成整机，则其中任一装置发生故障，整机就不能工作；（2）如果将它们并联成整机，则当所有装置都发生故障时，整机才不能工作。在上述两种情况下，分别求整机寿命的数学期望第五章样本、抽样分布及参数估计1设总体的概率密度为其中是未知参数。求的矩X其它011XXF估计量2设有总体，且存在，试求的矩估计量,XDE,XDE3设总体在上服从均匀分布，未知；为的样本值。求X,BAB,21NX的极大似然估计值B4对容量为的样本，求密度函数为中参数的N其它02XXF矩估计量5在密度函数为中，参数的极大似然估计量是什么10,XXF矩估计量是什么6设总体的概率密度为，求参数的极大似然XXEXFX,2|估计值7设总体的概率密度为,其中为已知常数，未知参数，试求的极大似CXECXF0100然估计量8设总体的均值为为的样本。试证和X,921X9,21IX都是的无偏估计量。95231619设是总体的样本。试证下列统计量都是的无偏估计量,21X1,N，并说明其中哪一个最有效13243X213X10设总体。证明的极大似然估计是一致无偏估计量11设总体在上服从均匀分布，未知；的样本值为X,0BBX，试求的矩估计值13,27,6031,DXE12设总体服从二点分布，为它的样本，试求成功的概率的矩,21NP估计量13随机地抽取7只轴承，测得它们直径（单位）为M，试求总体均值及方差的矩估计值，并023,19,032,501322求样本方差14设随机变量服从参数为的泊松分布，为未知，是样XNX,021本观测值，试求的矩法估计值15已知某种白炽灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位）为H1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948。设总体期望与方差均未知，试用最大似然估计来估计该星期生产灯泡能使用以上的概率H13016设随机变量服从参数为的01分布，为未知参数，为样本XPPNX,21观测值，试求参数的极大似然估计值P17设总体服从参数为的指数分布，为未知，是样本观NX,021测值，试求矩法估计值118设为来自正态总体的样本观测值，已知，试求NX,21,2NX的极大似然估计值219设总体服从参数为的二项分布，其中，已知而未知。X,PNN10P为样本观测值，求参数的极大似然估计值NX,2120设总体的概率密度函数为，又其他0,1XXF为来自的容量为的样本，试求未知参数的（1）矩估计，（2）极大NX,21N似然估计21设为来自总体的容量为的样本，是未知参数。N,21XN,XE试证明,都是的无偏IIX11,21,0,112NIAAIINI估计，哪个更有效22设是参数的两个相互独立的无偏估计量，且，试求常数21,21D使也是的无偏估计量，并且使它在所有这种形状的估计量中方差最,21KK小23设总体服从上的均匀分布，即，X,21NNKXP1其中是未知参数（正整数），试求的矩估计量,21NK24设服从标准正态分布，是来自总体的容量为5的样本。X54321,XX试求常数，使统计量服从分布，并问自由度是多少C25423T25设总体是来自的容量为2的样本，试求常数，使X21,0NXC02121CP26设总体的均值与方差都存在，为来自的容量为的样本，XNX,21N为样本均值。对于，试求JIJI27现有两批导线，从批导线中随机地抽取4根，从批导线中随机地抽取5根，AB测得它们的电阻（单位）为批导线0143,0142,0143,0137A批导线0140,0142,0136,0138,0140B设这两批导线的电阻分别服从正态分布，并且它们相互独立，,221N均未知，试求的95置信区间21,2128设总体，均未知。为来自的容量为的,2NX2,NX,21N样本，试求的极大似然估计，这里，是给定的数。NII1TPT29在正态总体中随机抽取一个容量为36的样本，试求样本均值36,52NX落在508到538之间的概率X30由正态总体分别得到容量为10与15的相互独立的样本，求其样本均值,0差的绝对值大于的概率3031设总体为未知。由总体得样本观测值，,1NX1021,X，试求总体数学期望的置信度为的置信区间510IX95032设总体，均未知。由得到容量为16的样本观测值,2NX2,X算得，试求总体标准差的置信度为的置,1621X067503S950信区间33设来自正态总体的一容量为15的样本均值，来自正态总体1,N614X的一容量为20的样本均值，并且两样本相互独立，试求的9,2N23X2190置信区间第六章假设检验1所生产的某零件重量，其中。采用新工艺后，,2NX05,12所生产的零件重量的方差不变，为考察均值是否变化，随机抽取6个样品，测得重量（单位）如下147,151,148,150,152,146KG问平均重量是否仍可以认为是15052正常人的脉搏平均为72次/分。某医生测得10例慢性中毒患者的脉搏为54，67，68，78，70，66，67，70，65，69（次/分）。已知中毒患者的脉搏仍服从正态分布，问中毒患者与正常人的脉搏有无显著差异3某轮胎厂宣称所生产的汽车轮胎的平均使用寿命不低于5万公里。假设轮胎的寿命服从正态分布，并随机地抽取12只轮胎试用，它们的寿命为（单位万公里）461,502,438,52,485,46,458,47,51,468,472,432问从中能得出什么结论054比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20个患者分成两组，每组10人。甲组病人服用甲种安眠药，乙组病人服用乙种安眠药。已知服药后延长睡眠时间近似服从正态分布，延长睡眠时间如表中所示，并且可以认为它们的方差相等。问这两种安眠药的疗效有无显著差异05序号12345678910安眠药甲19081101014455164634安眠药乙07160212013437080205某种作物有甲、乙两种品种。为了比较它们的优劣，两个品种各种10亩。假设亩产量服从正态分布。收获后测定甲品种亩产量（）均值为，标准差为KG9753726；乙品种亩产量均值为，标准差为，取显著性水平为7952112，问能否认为两种品种的产量没有显著差异016测定某溶液中的水份，得10个测定值，由它们得出1021,X，。设测定值总体服从正45201IX21037IIXS态分布，均未知。对于显著性水平,试检验,NX,20550501H7要求某种导线电阻标准差不超过（单位）。今在所生产的导线中随机抽05取9根，测得电阻为，经计算得921,X，1IX21227IIS设电阻总体服从正态分布。问在显著性水平下，能认为这批导线电阻的标准差显05著偏大吗8检查部门从甲乙两灯泡厂各取30个灯泡进行取检，甲厂灯泡平均寿命为1500H,样本标准差为80H；乙厂灯泡平均寿命为1450H，样本标准差为94H。设各厂灯泡寿命都服从正态分布。问是否可断定甲厂灯泡比乙厂的好059根据1963年的观察资料，某地每年夏季（59月）发生暴雨天数的记录如下暴雨天数0123456789年份数4814191042110问能否由此表明该地夏季发生暴雨的天数服从泊松分布510按孟德尔遗传定律，让开粉红花的豌豆随机交配，子代可分成开红花、粉红花和白花三类，比例为121，为检验这个理论进行了试验，结果是100株豌豆中开红花30株，开粉红花48株，开白花22株。问这些数据与孟德尔遗传定律是否符合05第七章填空题与选择题综合填空题1设二事件相互独立，且已知BA,40,6APB则。P2某射手在3次射击中至少命中1次的概率为0875，则此射手在1次射击中命中的概率为。3设10件产品中有4件不合格品，6件合格品，从中任取2件。已知所取2件产品中有1件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是。44个人独立地猜一谜语，他们能够猜破的概率都是，则此谜语被猜破的概率是41。5已知则。,30,70BAPAP6某市有50住户订日报，65住户订晚报，85住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的住户所占的百分比是。7甲，乙2人投蓝，命中率分别为07与06，每人投3次，则甲比乙进球数多的概率是。8设随机变量服从上的均匀分布，则方程有实根的概率是X6,1012XY。9某电路是由元件与两个并联元件串联而成，若断路与否相互独1A32,A321,A立，且它们断路的概率分别为，则此电路断路的概率是。,P10同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现三个正面的概率是，恰出现一个正面的概率是。11设某批电子元件的正品率为，次品率为。现从中任取一个对其测试，如果是5451次品，再取一个进行测试，直至测得正品为止，则测试次数的分布律是。12若随机变量的分布为,YXY1X23X1Y691823则应满足的条件是，若相互独立，则。,YX,。13设随机变量服从参数为的两点分布，随机变量，则的分布函数X3112XY为，的分布函数为。XFXYYFY14设随机变量的分布函数在数轴某区间的表达式为，而在其它部分为常数，X21X试写出此分布函数的下述完整表达式，当2XFX，当15已知随机变量的分布函数为，则，XXBAXARCTNA，概率密度。B1PF16已知随机变量且，则。9,2NCXP17设二维随机变量的联合概率密度为,YX其他0,YXEYXFY则的边缘密度，。XXF1YXP18已知服从正态分布，则。ZLN,LN2NZXE19若是正态总体的容量为的简单随机样本，则其均值为NX,21,2N服从。NIIX120设，则的协方差矩阵为,212NY,YX，相互独立当且仅当。X,21设随机变量相互独立，且，则YX,5,3YDX2YX。22设随机变量且与相互独立，则,12,3NYXXY72YXZ。Z23设二维随机变量的概率密度为,其他010,YXCYXF则，。C21XP24随机变量则此二项分布中参数,41,XDEPNB，。N25设与是两个相互独立的随机变量，且在上服从均匀分布，服从参XY2,0Y数为2的指数分布，则，。EYXD26投掷枚骰子，则出现的点数之和的数学期望是。N27设随机变量服从标准正态分布，为正整数，则与的相关系数XNXY2XY。XY28设随机变量与相互独立，且则Y,1,0YDYE。2YE29设随机变量且与相互独立，则,221NYXXY，。1YX30设随机变量与相互独立，则Y,221NY的概率密度函数是。YX31设随机变量与相互独立，其概率密度分别为X50,0125YEYFXXFYX其他则。XYE32设随机变量相互独立，其中服从上的均匀分布，服从正态321,X1X6,02X分布，服从参数为的泊松分布，令，则4,0N3321Y，。YEYD33设随机变量的数学期望与方差分别为与，则由契比雪夫不等式，有X2。3P34设是来自总体的容量为的简单随机样本，N,21XN,XE，则由契比雪夫不等式得到。IIXD1,84P35设每次试验中事件出现的概率为，现独立重复进行次试验，表示事件APNN出现的次数，利用中心极限定理得。ABAPN36设是来自正态总体的容量为的样本，为样本均值，NX,21,2NNX则服从。X37设是来自正态总体的容量为的样本，为样本均值，N,21,2则，。21NII21NIIX38设总体，且已知，设是来自的容量为的样,2NX2N,21XN本，为样本均值，总体均值的置信度为的置信区间是，则。N,39设是来自正态总体的容量为的样本，其中参数和NX,21,2NN均未知，设，则检验假设所用的统计量是，2II100H它服从分布，自由度是。40设是来自正态总体的容量为的样本，其中参数和NX,21,2NN均未知，设，为检验假设，则（1）所用的2II1201200H统计量是，（2）对于显著性水平相应的拒绝域是。41设随机变量且与相互独立，,221NYXXY且均未知。由的样本为，由得到的样本为221,121N，为检验假设，应选取2NY210H检验，相应的统计量是。选择题1设则（）,1|,10BAPBPA事件与互不相容事件与互相对立事件与互不独立事件与相互独立CD2设两个相互独立的随机变量和的方差分别是和，则随机XY4X2YD变量的方差是（）YX23816AB2844CD3设与是任意两个不相容的事件，且概率都不为0，则下列结论中肯定正确的是B（）与不相容与相容ABACPDP4对任意两个随机变量，若，则（）YEXAYDXBYDD与相互独立与相互不独立C5设与是任意两个事件，且，则下列结论肯定AB10,BPAB正确的是（）PPC|D|6设与是任意两个事件，且，下列结论中肯定正确AB10AP1|AB的是（）事件与互不相容0CD17设离散随机变量的分布律为X012P030502其分布函数为，则为XF3003AB081CD8设与为两个互斥事件，且，则结论正确的是（）AB0,BPA0|P|AC|D9设与为两个随机事件，且有则结论正确的是（）AB,1|ABCP1P1PCABPDBAPC习题解答第一章1RABPPRQRBAPRQPABP1,315|3|4095251MNMNNMN6设“收音机不受干扰”，记为两信号进入收音机的时刻。于是，样本空间为AYX,，有利于事件的区域为50,XYA8105/4,5,222PGLG7设“一船要等待空出码头”。记甲、乙两船一昼夜内到达码头的时刻分别为，YX,于是2,40,YXY有利于的区域为A2/3/4,1|,2GLXG1207P8总设“甲系统有效”，“乙系统有效”B则，150,93,AP1740,980BAPBAP93/,2/7/|BAP10设为木棍的两个分点，且记，于是CD,OYDCXO,能构成三角形，于是，样本空间为BALYXL,/8/3,2/,0,|,2LLLYXL8/,|2LGLXYYXLYXG3/1/LAP11设“第人射击命中飞机”，1（甲），2（乙），（丙）；JCJJ“恰有人命中”“飞机坠毁”。IIBI,2302534702/608|,30|IIIAPPABP12设“第门炮击中飞机”，；“飞机被击中”，II9,1I035,407601,69NNI故至少应有门炮同时射击才能有以上的把握击中飞机。13本题原是的重贝努里试验，在的转换下，将使用泊松分35/P471P布近似地完成计算。（）90,02BPA14由题设可知，个发动机下，飞机成功飞行的概率为，题设在个发动机下，飞机成功飞行的概率为43422411PCPPC3/2,0,222这就是说，当每个发动机不发生故障的概率不小于时，个发动机更为保险些。否则，当时，个发动机更保险些。3/P156250CBAP16设“甲市为雨天”，“乙市为雨天”。B于是，由题设可知1680,09,1BAP143|350|,042APAB1713/2,6/75775C18