x届高考数学总复习基础知识名师讲义学案x章第十一《节函数模型及其应用》文

第十一节函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用知识梳理1几类函数模型及其增长差异1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型FXAXBA，B为常数，A0二次函数模型FXAX2BXCA，B，C为常数，A0指数函数模型FXBAXCA，B，C为常数，A0且A1，B0对数函数模型FXBLOGAXCA，B，C为常数，A0且A1，B0幂函数模型FXAXNBA，B为常数，A02三种增长型函数之间增长速度的比较YAXA1YLOGAXA1YXNN0在0，上的单调性单调_函数单调_函数单调_函数图象的变化随X值增大，图象与_轴接近平行随X值增大，图象与X轴接近_随N值变化而不同2解函数应用问题的步骤1审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；2建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3求模求解数学模型，得出数学结论；4还原将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下12递增递增递增或递减Y平行基础自测1FXX2，GX2X，HXLOG2X，当X4，时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是AFXGXHXBGXFXHXCGXHXFXDFXHXGX解析根据三种函数模型的增长速度可知，选项B正确答案B2在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据X20100102030Y0240511202398802则X，Y的函数关系与下列哪类函数最接近其中A，B为待定系数AYABXBYABXCYAX2BDYABX解析由表格数据逐个验证知，模拟函数为YABX故选B答案B3某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，KQ40QQ2，则总利润LQ的最大值120是_万元解析LQ40QQ2200010QQ30022500LQMAX2500120120答案25004某种动物繁殖数量Y只与时间X年的关系为YALOG2X1，设这种动物第1年有100只，到第7年它们的繁殖数量为_只解析当X1，Y100时，由YALOG2X1得A100，所以Y100LOG2X1，当X7时，Y300答案3001提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度V单位千米/小时是车流密度X单位辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明当20X200时，车流速度V是车流密度X的一次函数1当0X200时，求函数VX的表达式2当车流密度X为多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位辆/小时FXXVX可以达到最大并求出最大值精确到1辆/小时解析1由题意，当0X20时，VX60；当20X200时，设VXAXB，再由已知得ERROR解得ERROR故函数VX的表达式为VXERROR2依题意并由1可得FXERROR当0X20时，FX为增函数，故当X20时，其最大值为60201200；当20X200时，FXX200X2，当且仅当X200X，1313X200X2100003即X100时，等号成立所以，当X100时，FX在区间20,200上取得最大值100003综上所述，当X100时，FX在区间0,200上取得最大值3333，即当车流密100003度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时2请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60CM的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBXCM1若广告商要求包装盒的侧面积S单位CM2最大，试问X应取何值2若厂商要求包装盒的容积V单位CM3最大，试问X应取何值并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析1根据题意有S6024X2602X2240X8X28X1521800010，所以315X5832，解得XX千米3当行程为3千米时，平均每千米为元，比较三种计费方程知，当行程为10千米113时，费用最省，即行程10千米时下车，重新上车计费，故当行程为28千米时，两次分别行程10千米时下车，重新上车计费，其费用为2X721X521729元2X徐州调研据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例系数为KK0现已知相距18KM的A，B两家化工厂污染源的污染强度分别为A，B，它们连线上任意一点C处的污染指数Y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACXKM1试将Y表示为X的函数；2若A1，且当X6时，Y取得最小值，试求B的值解析1设点C处受A污染源污染程度为，点C处受B污染源污染程度为，KAX2KB18X2其中K为比例系数，且K0从而点C处受污染程度为YKAX2KB18X22因为A1，所以Y，YK，令Y0，得X，又此时KX2KB18X22X32B18X31813BX6，解得B8，经验证符合题意所以，污染源B的污染强度B的值为8第十三节导数在研究函数中的应用一1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次知识梳理一、函数的导数与函数的单调性的关系1函数单调性的充分条件设函数YFX在某个区间内有导数，如果在这个区间内Y0，那么函数YFX在这个区间内为_；如果在这个区间内Y0，则FX在相应区间内为增函数；若FX1时，FX0，FXXEX为增函数，所以X1为FX的极小值点故选D答案D2X北京卷已知函数FXX2XSINXCOSX1若曲线YFX在点A，FA处与直线YB相切，求A与B的值；2若曲线YFX与直线YB有两个不同交点，求B的取值范围解析1由FXX2XSINXCOSX，得FXX2COSX，因为YFX在点A，FA处与直线YB相切所以FAA2COSA0且BFA，则A0，BF012令FX0，得X0所以当X0时，FX0，FX在0，递增当X1时曲线YFX与直线YB有且仅有两个不同交点所以B的取值范围是1，1已知函数FXERROR1判断函数FX的奇偶性；2求FX的单调区间；3若关于X的方程FXK恰有三个不同的根，求实数K的取值范围解析1当X0时，X0，FXXLNX，FXXLNX，FXFX，FX是奇函数2当X0时，FXXLNX，FXLNXXLNX1，1X令FX0，得X，1E当X时，FX是增函数，1E，又FX是奇函数，当X时，FX是减函数，1E，0X时，FX是增函数，1EFX的单调递减区间为，单调递增区间为，1E，00，1E，1E1E，3考查FX的图象变化，由2知，当X时，FX由0递减到F，0，1E1E1E当X时，FX由F递增到，1E，1E当X时，FX由递增到F，1E1E1E当X时，FX由F递减到0，1E，01E方程FXK恰有三个不同的根，FX的图象与YK的图象应有3个不同的交点，0X时，FX取得极小值，又2222F0，且X时，FX0在X时取得最小值所以当X时，函数有最2222小值答案24X南宁联考已知函数FXX33AXA在0,1内有最小值，则A的取值范围是_解析FX3X23A3X2A，显然A0，FX3XX，由已知条件AA01，解得0A1A答案0,11XX卷设A0，B0，A若2A2A2B3B，则ABB若2A2A2B3B，则ABD若2A2A2B3B，则A2B2B构造函数FX2X2X，则FX2XLN220恒成立，故有函数FX2X2X在0，上单调递增，即AB成立其余选项用同样方法排除故选A答案A2XX卷设函数FXX1EXKX2其中KR1当K1时，求函数FX的单调区间；2当K时，求函数FX在0，K上的最大值M12，1解析1当K1时，FXX1EXX2，FXEXX1EX2XXEX2XXEX2，令FX0，得X10，X2LN2，当X变化时，FX，FX的变化如下表X，000，LN2LN2LN2，FX00FX极大值极小值上表可知，函数FX的递减区间为0，LN2，递增区间为，0，LN2，2FXEXX1EX2KXXEX2KXXEX2K，令FX0，得X10，X2LN2K，令GKLN2KK，则GK10，所以GK在上递增，1K1KK12，1所以GKLN21LN2LNE0，从而LN2KK，所以LN2K0，K所以当X0，LN2K时，FX0；当XLN2K，时，FX0；所以MMAXF0，FKMAX1，K1EKK3；令HKK1EKK31，则HKKEK3K令KEK3K，则KEK3E30，所以K在上递减，而1E30，12，112E32所以存在X0使得X00，且当K时，K0，当KX0,1时，K12，112，X00，所以K在上单调递增，在X0,1上单调递减12，X0因为H0，H10，所以HK0在上恒成立，当且仅当K1时1212E7812，1取得“”综上，函数FX在0，K上的最大值MK1EKK31XX金山一中等三校考前测试函数Y在区间0,1上XLNXA是减函数B是增函数C有极小值D有极大值解析FX，X0,1和X1，E时，FX0在区间X0,1，FX是减函数，XE时有极小值FEE故选A答案A2X东莞二模已知函数FXAX22XLNX1若FX无极值点，但其导函数FX有零点，求A的值；2若FX有两个极值点，求A的取值范围，并证明FX的极小值小于32解析1首先，X0时，FX2AX2，1X2AX22X1XFX有零点而FX无极值点，表明该零点左右FX同号，故A0，且2AX22X10的0由此可得A122由题意，2AX22X10有两个不同的正根，故0，A0解得0A；12设2AX22X10的两根为X1，