数学分析与高等代数考研真题详解北大卷

博士家园考研丛书（2010版）全国重点名校数学专业考研真题及解答数学分析与高等代数考研真题详解北京大学数学专卷博士家园编著博士家园系列内部资料博士家园数学专业考研丛书编委会这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究生来进一步深造的同学来说，历年的各个院校的真题的重要性是显而易见的。为了帮助广大同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从2004年开始大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园WWWMATHORGCN,这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意国际数学大师陈省身先生提出“要把中国建成21世纪的数学大国。”每年有上万名数学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更多更新的信息与资源建立了专业网站博士家园网站。本站力图成为综合性全国数学信息交换的门户网站，旨在为科研人员和数学教师服务，提供与数学研究和数学教学有关的一切有价值的信息和国内外优秀数学资源检索，经过几年的不懈努力，成为国内领先、国际一流的数学科学信息交流中心之一。由于一般的院校可能提供一些往年试题，但是往往陈旧或者没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试题博士家园主页网址HTTP/WWWMATHORGCN博士数学论坛网址HTTP/BBSMATHORGCN数学资源库HTTP/DOWNMATHORGCN欢迎投稿，发布试题，对于本书疏漏之处欢迎来信交流，以促改正WWWBOSS163COM博士家园二零一零年二月2博士家园系列内部资料数学分析与高等代数考研真题详解北京大学考研数学专卷目录北京大学考研数学专卷22001年招收硕士研究生入学考试高等代数试题22001年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答42002年招收硕士研究生入学考试高等代数部分试题及解答82005年招收硕士研究生考试高等代数与解析几何试题及解答122005年招收硕士研究生考试数学分析试题及解答182006年招收硕士研究生入学考试高代解几试题及解答2006年招收硕士研究生入学考试数学分析试题2007年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2007年招收硕士研究生入学考试高代解几试题及解答2008年招收硕士研究生考试高等代数与解析几何试题及解答2008年招收硕士研究生考试数学分析试题及解答2008年北大复试概率统计试题与解答2009年招收硕士研究生入学考试高等代数试题2009年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2010年招收硕士研究生考试高等代数与解析几何试题2010年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答北京大学考研数学专卷2001年招收硕士研究生入学考试高等代数试题1（15分）在空间直角坐标系中，点,ABC的坐标依次为2,1,4,2,3,4,1,3,3求四面体OABC的体积；求三角形的面积ABC2（15分）在空间直角坐标系中，1123XAYLZ与2博士家园系列内部资料21212XYZL是一对相交直线求A；求绕旋转出的曲面的方程2L1L3（12分）设是复数域上的本原次单位根（即，CN1N，而当0时，），都是正整数，而且LNNULLNULL11NN1122NNEEE2EE,NULL证毕。6用R表示实数域,定义NR的映射F如下1112,TNRRRSNFXXXXXXXXXRNULLNULLNULL其中证明0RS1存在的一个NR维子空间W,使得0,FXXW2若是1,WW2NR的两个NR维子空间,且满足120,FXXWW则一定有12DIMWWNRS证明（1）只需构造NR个线性无关的向量满足方程。10博士家园系列内部资料,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,NRSNRSRSSRSRSNRSRRRRRNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL12S1SNRSNRS不妨设在中存在一组由S个线性无关的向量，构成的子空间满足方程,其中在中存在一组由NRS0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,2NRSNRSNRWNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL12NRS1NRSRSRS12S12NRS12S12NRS个线性无关的向量，构成的子空间满足方程,其中维的子空间，。依题意1212,0,00WWFXWWFXFXN满足方程显然是R的一个子空间也满足方程，所以只需证明满足方程的最小子空间的维数为NRS。7设V是数域K上的N维线性空间,1,SVNULLVV是V的S个真子空间,证明1存在12,SVVVNULL使得2存在V中的一组基1,NNULL使得112,NSVVVNULLNULL证明可以用数学归纳法。（1）12211111112,KKKKIISVVVVVVVVIIVVVVVVVNULLNULL12当时，且否则命题成立；若由于矛盾；同理可得；命题成立；设SK成立，对SK1时，至少如果则命题成立；如果取则，2，K1，共K1项，必有一个向量不属于否则有两K11,IISKVVVVVVVNULL12个向量属于同一个这两向量差为M矛盾；不妨设L则否则矛盾；所以命题成立。（2）11博士家园系列内部资料由（1）知，1112112212122121212,SSSSSISSVVVVVLVVVVVVLNVVVVVVV1,NULLNULLNULLNULLNULLNULL12N12N且，设再由（1）得且则线性无关，设同理，一直这样取值下去，个线性无关的即中的一组基，使得，（）证毕。2005年招收硕士研究生考试高等代数与解析几何试题及解答1在直角坐标系中，求直线到平面1202ZYXZYXL03ZBYX的正交投影轨迹的方程。其中B是常数解可以验证点1212,0,0,5555L，从而L把L写成参数方程1325XKYZKKK，任取其上一点P13,25,KK，设该点到上的投影为点P,XYZ1331031XKZKPPXZ30PXBYZ整理即知，L到上的正交投影轨迹满足方程31030XZXBYZ由于1131，上述方程表示一条直线，而2310B和32B0不同时成立，因此到L上的正交投影轨迹是一条直线12博士家园系列内部资料从而L到上的正交投影轨迹的方程就是31030XZXBYZ2在直角坐标系中对于参数的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状0222XYYX对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。解记11,2211,22T，容易验证TTE，因此直角坐标变换XXTYY是一个正交变换在这个变换下，曲线方程变为2211XY11，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为0,021时，曲线方程为212Y，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为，即0YYX310，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为0,040时，曲线方程为220XY，是一个点，是中心型曲线，对称点为0,0501时，10,10,01112131212223211121123|NNNNNNNNNABABABABABABABABAABABABABABABABNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNN112NNNNRR1112131212223212121211110NRRNNNNNNNNNNNNNNNABABABABABABABABAAAAAAAAAAAAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL2若，则2N111221212122|0ABABAAABABAB，方程组只有零解，其解空间维数为00AX若，则由1知道3NA的任意一个3级子式的行列式为0，而A的一个2级子式的行列式为11122122ABABABAB2121AABB0，从而2RANKA于是方程组解空间的维数是0AX2N，取向量组122,N，其中14博士家园系列内部资料12IIIINCCCNULLNULL，212121,1,21,0,NINIIJBBJBBBBJCBBJNI其他，1,2,2IN可知，其中1222,NNCE2NE是2N阶单位矩阵，是一个的矩阵，从而C22N122,2NRANKN并且对任意的1,2,2IN，有2121121122112211NNINININIIKIKINIKBBBBBBBBABCABBBBBBBBBBB0因此122,N都属于方程组0AX解空间，从而是方程组解空间的一组基0AX4（1）设数域K上级矩阵，对任意正整数，求NMMCC是什么（2）用表示数域KMNK上所有N级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上的线性空间。数域K上级矩阵N1432121321AAAAAAAAAAAAANNNNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL称为循环矩阵。用U表示K上所有级循环矩阵组成的集合。N证明U是的一个子空间，并求U的一个基和维数。KMN证对任意的1231212341NNAAAAAAAAAUAAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL，以及，有KK,1,2,IIAKKAKIN15博士家园系列内部资料因此12312312112123412341NNNNNAAAAKAKAKAKAAAAAKAKAKAKAKAKUAAAAKAKAKAKANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLN对任意的1231212341NNNAAAAAAAAAUAAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL，和1231212341NNNBBBBBBBBBUBBBBNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL，有,IIIIAKBKABK因此1231231122331211211122112341234122334411NNNNNNNNAAAABBBBABABABABAAAABBBBABABABABABUAAAABBBBABABABABNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL可知U是的一个子空间。KMN记1231212341IIIININIIINIIIIICCCCCCCCCCCCCNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL，其中0,1,IJJICJI，1,2,IN，对任意的1231212341NNNAAAAAAAAAUAAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL1NKKK，有AAC，即U所有向量都能用向量组线性表出12,NCCC设一组数，满足,1,2,IKKIN1NIINIKCO，亦即1231212341NNNNKKKKKKKKOKKKKNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL可得，向量组线性无关0,1,2,IKIN12,NCCC综上向量组是U的一组基12,NCCC16博士家园系列内部资料5（1）设实数域R上级矩阵NH的元为,JI11JI（）。在实数域上维线性空间1NNNR中，对于，令NR,HF,。试问是不是FNR上的一个内积，写出理由。（2）设A是级正定矩阵（），且N1NNR是非零列向量。令AB，求B的最大特征值以及B的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基解1F是NR上的一个内积，证明如下容易验证是FNR上的一个双线性函数对NR中任意的非零向量12NAAANULLNULL，11,1NNIJIJAAFHIJ令，是11NIIIGXAXR上的一个多项式函数，有22110NNIJIJIJGXAAX可得11221111000,1NNNNIJIJIJIJIJAAGXDXAAXDXFIJ若，由于在0上连续，则必有1200GXDX2GX1，20GX，0GX则，即0,1,2,IAIN0，与是NR中非零向量矛盾。所以，1200GXDX,0F所以是FNR上的一个内积2由于A正定，0，可得0A，0A，1RANKBRANK，由1RANKB知方程组0BX解空间的维数为0W1N，同时也是0WB的属于0特征值的特征子空间由0，0A和BAAAAAA，知是B的特征值，A是B的属于特征值的特征向量17博士家园系列内部资料设B的属于这个特征值的特征子空间为W，由0，所以00WW00DIMDIMDIMWWWWN即DIM1W，而0,AAW，DIM1W，W的一组基为A，因此0DIM1DIMDIMWWWNB没有其他特征值，0是B的唯一非零特征值，也是B最大的特征向量6设是数域AR上N维线性空间V上的一个线性变换，用I表示V上的恒等变换，证明NRANKRANK23AAIAIIA证明记321,1,1FXXGXXHXXX其中，,1GXHXFXGXHX因此KERFKERGKERHAAA，0KERGKERHAA于是20DIMDIMDIMFKERFVVKERGKERHVKERGKERHNNRANKGNRANKHNRANKRANK3AIAAAAAAIAIAA2005年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答1设XXXXXXFSINSIN1SIN22，试求和SUPLIMXFXINFLIMXFX解22SIN1SINSIN0,1SINXXFXXXXX首先我们注意到在的时候是单调增的18博士家园系列内部资料22SIN1SINSINSISIN11,LIMSUP1XXXXXXXXXXXXXFX2,并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以令2,2XKK这么一个子列得到2222SINLIM0,SINSINLIMINF0,LIMINF0SINXXXXFXXXXXFXXX对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令21,XKK这么个子列得到21设在开区间可微，且XF,BAXF在有界。证明在一致连续,BAXF,BA证明,FXXABMFXAB设在时上界为因为在开区间上可微12,XXAB对于由存在,LAGRANGE中值定理12121212,XXFXFXFXXMX使得X这显然就是12,LIPSCHITZXXFXAB条件所以由任意性易证明在上一致收敛2设在开区间XF,BA。显然这个函数在0XY的时候，有偏导20博士家园系列内部资料数存在2222222222,YXXXYFXYXYYYXFXYXY，而对于0XY的时候，有，此式在原点也成立。,0,0YXFXYFXY对于任意方向极限，有2200COSSINLIMCOS,SINLIMCOSSINFI。显然沿任意方向趋于原点。此函数的方向极限都存在。最后，因为沿不同方向趋向原点。不妨设，（0，），显然4有不同的极限COSSINCOSSIN与。且其都不为0。所以该函数在原点不连续。5计算其中LDSX2L是球面与平面1222ZYX0ZYX的交线。解首先，曲线L是球面与平面1222ZYX0ZYX的交线。因为平面过原点，球面中心为原点。0ZYX1222ZYX所以它们的交线是该球面上的极大圆。再由坐标的对称性。易知有22LLL2XDSYDSZDS。因此有2LXDS22213LXYZDS13LDS23。6设函数列满足下列条件（1）XFNN，在连续且有（）XFN,BA1XFXFNN,BAX（2）点点收敛于上的连续函数XFN,BAXS证明在上一致收敛于XFN,BAXS证法1首先，因为对任意00,N0XABFXSX有。且有01NN0FXFX，所以，对于任意，有KNKNN0003NSXFX，当00,X,XXX00,X,XXXNSXFX,XAB，有NSXFX，对于任意，有一NNX，使得0NNNFXSX又NX有界，由BOLZANOWEIERSTRASS定理，所以其必存在收敛子列KNX收敛于,AB中某值0X因为对任意00,N0XABFXSX有。且有01NN0FXFX，所以PKN，当PKKNN时，有000003KKPNNSXFXSXFXK，由与SX1KPNFX连续性存在一0，当00,XXXA22博士家园系列内部资料当时，KNNK0KNXX0K11110000KKKKKKKKKKKPPPPNNNNNNNNNNNSXFXSXFXSXSXSXFXFXFX0这与假设矛盾所以在,AB上，是一致收敛于证毕XFNXS23本试题解答由SCIBIRD提供2006年北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答说明本试题解答由SCIBIRD提供,继续在博士家园论坛首发若有转载,请注明转载自博士家园论坛未经本人许可,禁止用于商业用途如果对本解答某些内容不是很清楚,可参考一下蓝以中编著的高等代数简明教程和丘维声编著的高等代数这套证明写法上风格同08年北大高代解几试题解答,我尽量写的详细一些,在方法选择上起点比较低,尽量采用比较容易理解的证明方法不用或少用那些看起来不是很显然的结论,引用结论尽可能做到有理有据希望这套试题对促进大家的学习有所帮助还是那句话,一定要先做题,然后再看答案否则这套题至少失去了一半的价值高等代数部分（100分）116分1设,AB分别是数域K上,SNSM矩阵，叙述矩阵方程AXB有解的充要条件，并且给予证明。解方程AXB有解的充分必要条件是,RARAB令1,MB“,其中K为列向量则矩阵方程AXB有解方程组12,KKAYKM“有解A的列向量组构成的向量组与,AB的列向量组构成的向量组等价,RARAB注方程有解的一个等价含义是可由列向量线性表示,从而转化为等价向量组上来2设A是数域K上SN列满秩矩阵，试问方程NXAE是否有解有解，写出它的解集；无解，说明理由。解方程NXAE有解理由因为A列满秩,所以TRARAN又,TNRAEN,因此,TTNRARAE,从而TNAYE有解,两边取转置可知方程NXAE有解我个人觉得本题似乎考察的是广义逆矩阵方面的知识,如果大家对这部分知识不熟悉,建议大家去看看丘维声老先生编著的矩阵方程AXAA的解XA一般称为A的广义逆矩阵广义逆是存在的,对于本题因为A是列满秩的,故由相抵标准型知,存在可逆矩阵,PQ满足NEPAQO,则可以取,NAQEOP此时X的所有解为,NSNXAZEAAKZ本试题解答由SCIBIRD提供因为11,NNNEAQEOPPQAEO,所以A是矩阵方程NAAE的特解下面证明XAO的全部通解为,NSNXZEAAZK首先,由NZEAAAZAAO,知NZEAA是方程的解其次,任取XAO的一个解0X,则由0000NXEAAXXAAX,取0ZX即可由矩阵方程解的结构定理可知,NSNXZEAAZK3设A是数域K上SN列满秩矩阵，试问对于数域K上任意SM矩阵B,矩阵方程AXB是否一定有解当有解时，它有多少个解求出它的解集。要求说明理由。解不一定有解因为方程不一定满足条件,RARAB当方程有解时,同2取,NAQEOP,则方程组的全部解为|,NMNXXABEAKAZZ仿照2的证明过程可知,AB为AXB的一个特解而NEAAZ为AXO的全部通解注关于23问我想多说几句,在解诸如齐次方程AXO时,如果我们事先知道其通解形式,则可以直接写出通解但我们不知道通解形式,而要证明Y是AXO的全部通解,那么我们需要做两件事情1证明Y确实是AXO的解2AXO的任意解都能用Y表示前者为了说明Y是方程的解,这是前提后者说明我们不会漏掉部分解,即解是完备的需要提醒的是有些人可那会漏掉2,而使得解答不完整216分1设,AB分别是数域K上的,SNNS矩阵，证明NRANKAABARANKARANKEBAN证对分块矩阵做初等变换,得NNNNAOAOAAAABAOOEBABAEBABAEBAE因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,所以NRAREBARAABAN本试题解答由SCIBIRD提供移项得,NRANKAABARANKARANKEBAN注在处理有关矩阵秩的不等式或等式的问题中,分块矩阵和初等变换是常用的有效方法,平时要多加练习另外本题顺便又带出一个结论矩阵方程AXAA的解XA一般称为A的广义逆矩阵则矩阵B是A的广义逆矩阵NRAREBAN2设,AB分别是实数域上N阶矩阵。证明矩阵A与矩阵B的相似关系不随数域扩大而改变。证显然实方阵,AB在实数域上相似,则,AB在扩大数域上也相似下面证明反之也成立因为任何数域为F都包含在复数域中,以及复数域与实数域之间无中间数域所以我们只需要证明实方阵,AB复相似,则实方阵,AB也一定实相似设实方阵,AB复相似,即存在复矩阵T,使得1TATB记TPIQ,其中,PQ均为实矩阵则有APIQPIQB对比等式两边的实部与虚部,可知,APPBAQQB1因为非零多项式|FTPTQ在复数域上只有有限个根,所以必存在实数0T使得00|PTQ令0SPTQ,则S为可逆实矩阵由1式可得,0000ASAAPTPTQAQPBTQBPTQBSB所以1SASB,AB实相似注所谓相似或者标准型之类的东西是什么样的,在什么意义下的一般取决于你是在什么数域上考虑问题,也就是说与数域有关,这一点大家学习时要多加注意这其中的关键多与其特征多项式根的分布有关,有多少根在给定数域中,根的分布变化也会影响标准型的316分1设A是数域K上的N阶矩阵，证明如果矩阵A的各阶顺序主子式都不为0，那么A可以分惟一的分解成ABC,其中B是主对角元都为1的下三角矩阵，C是上三角阵。本题实际上是数值计算中常见的LU分解定理,证明过程要利用线性方程组中的GAUSS消元法来实现矩阵的三角分解如果GAUSS消元法能进行到底,可设想最终化成的行简化阶梯矩阵就应该是一个上三角矩阵,很可能就是C证分解的存在性通过分析GAUSS消元法,可以发现每做一次消元相当于左乘一个主对角本试题解答由SCIBIRD提供元都为1的下三角矩阵KL,如果GAUSS消元法能进行到底,相当于A左乘一系列主对角元都为1的下三角矩阵12,SLLL“,把这些下三角矩阵乘起来,令21SLLBL“仍是一个主对角元都为1的下三角矩阵记剩下的上三角矩阵记为C,则我们实现了LU分解ABC下面我们用数学归纳法证明如果矩阵A的各阶顺序主子式都不为0,则GAUSS消元法可进行到底当1K时,命题成立假设进行了1K次GAUSS消元,得到UQAOT或者121KUQALLLOT“这里U为1K阶上三角矩阵,T为1NK阶矩阵GAUSS消元法能否继续下去在于T的首元素11T是否为0如果110T,则可进行第K次GAUSS消元因为GAUSS消元法不交换行,及1|ML所以A的第K个顺序主子式等于UQOT的第K个顺序主子式,即11|KDUT由题中条件00,|KDU,所以110T故可进行第K次GAUSS消元由数学归纳法原理可知GAUSS消元法能进行到底从而可实现题中要求的ABC分解分解的唯一性假设有11ABCBC,由A可逆知,11BBCC左边为主对角线上都是1的下三角矩阵,右边为上三角矩阵两者相等则有1111NBBCCE,从而11,BBCC,唯一性得证注本题证明应该分为存在性和唯一性两部分LU分解是数值计算方法中一种常见方法,里面有一些高等代数里没有的东西,若有时间的话可以看看这方面的书,吸收一些新的数学思想2设A是数域K上的N阶可逆矩阵，试问A是否可以分解成ABC,其中B是主对角元都为1的下三角矩阵，C是上三角阵说明理由。解不一定能实现反例如下设A是数域K上的N阶可逆矩阵且满足110A,则A不能实现题目中要求的三角分解否则,设ABC满足题目要求因为A是可逆的,B和C均为上三角矩阵所以10|IINIABCCC,知110C但是,由矩阵乘法得到11110AC,矛盾本试题解答由SCIBIRD提供注当然你也可以构造一个具体例子,来否定这个命题410分1设A是实数域R上的N阶对称矩阵，它的特征多项式F的所有不同的复根为实数12,S把A的最小多项式M分解成R上不可约多项式的乘积。说明理由。解12SM“因为A是实数域上的N阶实对称矩阵,所以A一定能相似对角化,故A的最小多项式无重根又特征多项式F的所有不同的复根为实数12,S,因而A的最小多项式为12SM“,其满足题目要求2设A是N阶实对称矩阵，令A,RN根据第1问中M的因式分解，把RN分解成线性变换A的不变子空间的直和。说明理由。解12NSVVV“,其中0KER|NIIIVIIAA因为AA,所以线性变换A的特征值与矩阵A的特征值相同这里我们用到一个结论多项式,FGH满足FGH,且1,GH则对于线性变换A,有KERKERKERFGHAAA而对于线性变换A的最小多项式M,由1知M能分解成两两互素的不同一次因式的乘积,及KERNMA所以,12NSVVV“其中0KER|NIIIVIIAA为线性变换A的不变子空间522分设1,2,XN，用XC表示定义域为X的所有复值函数组成的集合，它对于函数的加法和数量乘法成为复数域C上的一个线性空间对于,XFXGXC，规定1,NJFXGXFJGJ，这个二元函数是复线性空间XC上的一个内积，从而XC成为一个酉空间。本试题解答由SCIBIRD提供设12,XNPXPXPXC，且满足1KJKPJN,JX其中,2INE1求复线性空间XC的维数；2证明12,NPXPXPX是酉空间XC的一个标准正交基；3令FXFX,XFXC其中FX在XK处的函数值FK是FX在标准正交基12,NPXPXPX下的坐标的第K个分量证明是酉空间XC上的一个线性变换，并且求在标准正交基12,NPXPXPX下的矩阵；4证明第3题中的是酉空间XC上的一个酉变换。证1从第2问就看出来了,DIMXCN证明可构造线性映射XNTCC,即12,TXFNCTFFFF“,TFGTFTG不难证明T既是单射又是满射,从而是同构映射,所以DIMDIMXNCCN2可以看出本题需要利用单位根的性质方程1N的解称为单位根,此方程无重根一些性质211|,|对本小问,考虑内积11,KJNJMJKMPPN共轭符号可以提到指数里面当KM时,因为21|所以11,KNKJKJPPN1111,NNKJKJJKPP当KM时,不妨设MK0,A247A118A8Y1,Y2A,B,|Y1Y2|0,A247A118A8A100X1,X2I,|X1X2|0,A247A118|FX|0,0,A247A118A8X,YI,|XY|0,A100A145PEANOA123A145A27TAYLORA208A109A183A130A26A20FXFF”2X2OX2A64A111A51A118A10A2A27A43A141A83A107FX0,A18Y10,FY20A167A216A148A23FY10A144A149A149A254A100A117A29A60A132A153A69A83A173A161A200A169A27A220A169,A249A135A75A56A183A107A152A88A107A44A21A27A42A108A101A17A191A140A177A152A137,A183A242A97A45A216A166A88A74A118A60A137,A64A31A183A172A137A10A183A152A189A117A41A53A175A757FX,YA180R2A254A235A89A188A234,A193A138A152A195A46A171A141D,A166FX,YA51DA254A27A50A194A200A169A194A241A342A41A137A196A107A18Y10A166A26D10,10,Y1A247A118|INTEGRALTEXTINTEGRALTEXTD1FX,YDXDY|12A50A192A18Y20A166A26D21,20,Y2A247A118|INTEGRALTEXTINTEGRALTEXTD2FX,YDXDY|122A157A103A192A18YN0A166A26DN1N1,N0,YNA247A118|INTEGRALTEXTINTEGRALTEXTDNFX,YDXDY|12NA18DI1DI,A140A177A8A121FX,YA51DA254A27A50A194A200A169A194A241A88A74A171A141A152A189A135A180A109A27A123,A64A111A140A177A192A18DA27A83A58A56SQUAREA175A758FXLN1SINXXP,A63A216A216A211A27PA233FXA511,A200A169A27A241A209A53A41A137A119A44A51P0A158FXA117A209A101A161A144A233P0A158A63A216,A100A117LIMX|LN1SINXXP|SINXXP|1,A13INTEGRALTEXT0|SINXXPDX|A51P1A27A158A255A194A241,A51P1A158A255A117A209,A25A8A133A61A8P1A158FXA511,A200A169A253A233A194A241A53A50A194A200A169INTEGRALTEXT1|SINXXP|DXA51P1A158A27A194A241A53A119A44,A51P1A27A117A209A53A180A207A143INTEGRALTEXT1|SINXXP|DXINTEGRALTEXT1|SINXX|DXINTEGRALTEXT1|SIN2XX|DXINTEGRALTEXT11COS2X2XDX,A13A99A246A117A209A0A246A194A241A177A101A53A41A251A94A135A194A241A27A171A109A175A75A8121A108A13A121A178A10A8121,A64A111FXLN1SINXXPSINXXPSIN2X2X2PSIN3X3X3P1K1SINKXKXKPOPARENLEFTBIGGPARENLEFTBIGGSINK1XXK1PPARENRIGHTBIGGPARENRIGHTBIGGA13INTEGRALTEXT1SINXXPDX,INTEGRALTEXT1SINK1XXK1PDXA194A241A2SIN2X2X2PSIN3X3X3P1K1SINKXKXKPSIN2X2X2PA133INTEGRALTEXT1SIN2X2X2PA117A209A53A191A249A1122P1,A210A31A211A117A254A161A53A112A161A27A83A78A10A108A13A183A130A121A178A10A5101A158,FXA511,A200A169A27A253A233A194A241SQUAREA175A759A80FX,YSUMMATIONTEXTN1NYENXY,A180A196A127A51A0A177A57A188A234HXA511A,1AA254A140A19,A133H10,FX,HX0A41A137A196A107A100A117A63A234SUMMATIONTEXTN1NYENXYA254A180XY0A83A180A152A151A194A241A27,A108A13FX,YA27A189A194A180A107A191A194A27A51A75A56A135A63A216A27A137A140A83A50A103A183A130A140A177A8A121F1,00A249A180A119A44A27A169A79A114FX,YA119A164YA27A188A234,A100A117A233X,YA197A145A19A234A0A27A47A170A143SUMMATIONTEXTN1PARENLEFTBIGN2YENXYPARENRIGHTBIGA218SUMMATIONTEXTN1PARENLEFTBIGNENXYN2YENXYPARENRIGHTBIGA252A246A209A51XYBBA143A63A191A140A1170A27A126A234A83A180A152A151A194A241A27,A108A13FX,YA140A511,0A27A44A135A43A141A27A160A19A209A140A177A197A145A166A19,A133A217A19A188A234A180A235A89A27A113A107A108A13FY|1,0SUMMATIONDISPLAYN1PARENLEFTBIGNENXYN2YENXYPARENRIGHTBIG|1,0SUMMATIONDISPLAYN1NEN03A175A162A254A140A177A166A209A53,A2A249A112A216A73A135A10A20A249A112A183A130A174A178A8A121A10A219A188A234A189A110A27A110A94A94A1351FX,YC1D,DA143A102A102A41A137A1651,0A27A44A135A43A1412F1,003FY|1,0NEGATIONSLASH0A108A13A138A226A219A188A234A189A110A140A127A127A51A249A24A27HXA247A118A75A56A165A27A94A135SQUAREA175A7510A23FX,GXA51A,BA105A249A140A200,A121A178FX,GXA27A70A225A147A208A109A170A107A131A211A88A234A27A191A135A94A135A180INTEGRALTEXTBA|FXGX|DX0A121A178A51A249A112A183A144A121A178API,BPIA27A156A185A233A117A152A132A27A156A185A144A180A171A109A27A178A163A218A46A27A80AN,BNA143FXA27A70A225A147A88A234,AN,BNA143GXA27A70A225A147A88A234A107A121A191A169A53A101INTEGRALTEXTPIPI|FXGX|DX0,A64A111A119A44|ANAN|1PIINTEGRALTEXTPIPI|FXCOSNXGXCOSNX|DX1PIINTEGRALTEXTPIPI|FXGX|DX0A108A13ANAN,A211A110BNBNA50A121A55A135A53A101FX,GXA27A70A225A147A208A109A170A107A131A211A88A234,A108A13FXGXA27A70A225A147A209A1430A64A111A207A143FX,GXA51A,BA105A249A140A200,A108A13FXGXA51A,BA105A249A140A200A100PARSEVALA31A170,A183A130A26A20INTEGRALTEXTPIPI|FXGX|2DX0,A13A113A100CAUCHYSCHWARZA216A31A170A26A20PARENLEFTBIGGINTEGRALDISPLAYPIPI|FXGX|DXPARENRIGHTBIGG22PIINTEGRALDISPLAYPIPI|FXGX|2DX0A108A13INTEGRALTEXTPIPI|FXGX|DX0,A249A210A121A178A10A55A135A53SQUARE4北京大学2007年高等代数与解析几何试题解答1北京大学2007年高等代数与解析几何试题解答1、回答下列问题（1）问是否存在N阶方阵,AB，满足ABBAE（单位矩阵）又，是否存在N维线性空间V上的线性变换A，B，满足ABBAE恒等变换若是，举出例子；若否，给出证明【解】否，下面给予证明对于任意N阶方阵,AB，若ABBAE，则两边取矩阵的迹，并注意到TRTRABBA，得0N，矛盾所以不存在方阵,AB，使ABBAE对于线性空间V的线性变换A，B，任取V的一个基，并设A，B在这个基下的矩阵分别为,AB，若ABBAE，则相应的有ABBAE，矛盾所以不存在N维线性空间V上的线性变换A，B，满足ABBAE【注】若线性空间V是无穷维的，则存在V的线性变换A，B，满足ABBAE例如，设VPX是数域P上多项式全体所构成的线性空间，定义FXFXA，FXXFXB，FXV，容易验证ABBAE（2）设N阶矩阵A的各行元素之和为常数C，则3A的各行元素之和是否为常数若是，是多少说明理由【解】是设T1,1,1NULL是N维列向量，则由A的各行元素之和为常数C，知AC，从而33AC所以3A的各行元素之和为常数3C（3）设MN矩阵A的秩为R，任取A的R个线性无关的行向量，再取A的R个线性无关的列向量，组成的R阶子式是否一定不为0若是，给出证明；若否，举出反例北京大学2007年高等代数与解析几何试题解答2【解】是不妨考虑A的后R个线性无关的行向量及后R个线性无关的列向量，所组成的R阶子式记为D假设0D，则仅对A的后R行施行初等行变换，可得0BCAH，其中B是1MNR矩阵，C是1MR矩阵，是NR维行向量根据初等行变换不改变矩阵的秩且不改变列向量之间的线性相关性，知RANKCR，且0于是有RANKRANKRANKRANK1AHCR，矛盾所以0D（4）设,AB都是MN矩阵，线性方程组0AX与0BX同解，则A与B的列向量组是否等价行向量组是否等价若是，给出证明；若否，举出反例【解】第1个结论不成立，反例如下若1000A，1010B，则线性方程组0AX与0BX同解，但A与B的列向量组显然不等价第2个结论成立，兹证明如下依题意，线性方程组0AX与0BX同解，所以RANKRANKAB记RANKRNA，任取0AX的一个基础解系当然也是0BX的基础解系构成NR矩阵C，则RANKCR，且ACO，BCO考虑齐次线性方程组T0CX，其解空间S的维数DIMRANKSNRA因为TTCAO，所以A的行向量都是T0CX的解，因此A的行空间AW是S的一个子空间，即AWS注意到DIMRANKDIMAWAS，故AWS同理可证，B的行空间BWS于是有ABWW，这就表明A与B的行向量组等价【注】若0AX与0BX都仅有零解，则RANKRANKABN，仍是第1个结论不成立反例从略，第