概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案完整版

概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编课后习题答案鹤鹤答案工作室随机事件及其概率11随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点12随机事件的概率13古典概型与几何概型14条件概率15事件的独立性复习总结与总习题解答习题3证明下列等式习题5习题6习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布21随机变量习题1随机变量的特征是什么解答随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值随机变量取特定值的概率大小是确定的习题2试述随机变量的分类解答若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率解答分别用1,2,3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S1,2,3,定义随机变量X如下XX0,11,2,2,3则X取每个值的概率为PX0P取出球的号码小于55/10,PX1P取出球的号码等于51/10,PX2P取出球的号码大于54/1022离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为的泊松分布，且PX1PX2,求解答由PX1PX2,得E2/2E,解得2习题2设随机变量X的分布律为PXKK15,K1,2,3,4,5,试求1P123解答1P123PX4PX541551535习题3已知随机变量X只能取1,0,1,2四个值，相应概率依次为12C,34C,58C,716C,试确定常数C,并计算PX60,即PX20,PX20PX30PX4006就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为06习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为P01,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求1X的概率分布；2PX53在两次调整之间能以06的概率保证生产的合格品数不少于多少解答1PXK1PKP09K01,K0,1,2,2PX5K5PXKK509K010953设以06的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于M件，则M应满足PXM06,即PXM104由于PXM1K0M109K01109M,故上式化为109M04,解上式得M4855,因此，以06的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5习题7设某运动员投篮命中的概率为06,求他一次投篮时，投篮命中的概率分布解答此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为X,它可能的值只有两个，即0和1X0表示未投中，其概率为P1PX010604,X1表示投中一次，其概率为P2PX106则随机变量的分布律为X01P0406习题8某种产品共10件，其中有3件次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中次品的概率分布解答设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3对应概率分布为PX0C73C10335120,PX1C73C31C10336120,PX2C71C32C10321120,PX3C33C1031120X的分布律为X0123P3512036120211201120习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布解答由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,K,设第K次才取到正品前K1次都取到次品,则随机变量X的分布律为PXK310310310710310K1710,K1,2,习题10设随机变量XB2,P,YB3,P,若PX159,求PY1解答因为XB2,P,PX01P21PX115/94/9,所以P1/3因为YB3,P,所以PY11PY012/3319/27习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间内断头的概率为0005,在这段时间内断头次数不大于2的概率解答以X记纺锭断头数,N800,P0005,NP4,应用泊松定理，所求概率为P0X2P0XI2XXIK02BK800,0005K02PK4E414142202381习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率解答BECAUSEPX1PX2,即11E22E2,PX0E2,PE24E823随机变量的分布函数习题1FX0,X05,P17051PX051F05105/2075,P1700,X0,试求1A,B的值；2P100,X0习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度FXAEX,求系数A及分布函数FX解答由概率密度函数的性质知，FXDX1,即AEXDX1,而AEXDX0AEXDX0AEXDXAEX0AEX0AA2A或AEXDX20AEXDX2AEX02A,所以2A1,即A1/2从而FX12EX,150150FXDX150100X2DX100从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为P2/338/27习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率解答设X为每位乘客的候车时间，则X服从0,5上的均匀分布设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数由于每人到达时间是相互独立的这是10重伯努力概型Y服从二项分布，其参数N10,PPX41502,所以PY1C101020890268习题7设XN3,221确定C,使得PXCPXC2设D满足PXD09,问D至多为多少解答因为XN3,22,所以X32ZN0,11欲使PXCPXC,必有1PXCPXC,即PXC1/2,亦即C3212,所以C320,故C32由PXD09可得1PXD09,即PXD01于是D3201,3D209查表得3D21282,所以D0436习题8设测量误差XN0,102,先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过196的次数不小于3的概率解答先求任意误差的绝对值超过196的概率P,PPX1961PX1961PX10196119619612196112097511095005设Y为100次测量中误差绝对值超过196的次数，则YB100,005因为N很大，P很小，可用泊松分布近似，NP5,所以PY3150E5051E5152E52137225087习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N4000,3600假定车间主任希望10的工人获得超产奖，求工人每月需完成多少件产品才能获奖解答用X表示工人每月需装配的产品数，则XN4000,3600设工人每月需完成X件产品才能获奖，依题意得PXX01,即1PXX0005解答已知血压XN110,1221PX105PX11012512104203372,P100X005,求X,即1PXX005,亦即X11012095,查表得X100121645,从而X12974习题11设某城市男子身高XN170,36,问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于001解答XN170,36,则X1706N0,1设公共汽车门的高度为XCM，由题意PXXX1PXX1X1706099,查标准正态表得X1706233,故X18398CM因此，车门的高度超过18398CM时，男子与车门碰头的机会小于001习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间单位分钟服从正态分布N40,102第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N50,42,求1若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线2若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线解答设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则XN40,102,YN50,42哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线1因为PX0时，FYY1CBA,CADYCBD0,其它,当C1时PY12XY12Y12Y1212EX2DX,所以FYYFYY22E12Y12122Y1,Y1,于是FYY12Y1EY14,Y10,Y1习题6设连续型随机变量X的概率密度为FX,分布函数为FX,求下列随机变量Y的概率密度1Y1X2YX解答1FYYPYYP1/XY当Y0时，FYYP1/X0P00时，FYYPYXYFYFY这时FYYFYFY当Y00,Y0习题7某物体的温度TF是一个随机变量,且有TN986,2,已知5T32/9,试求F的概率密度解答已知TN986,259T32,反函数为T5932,是单调函数，所以FYFT95Y3295122E95Y329862495910E81100Y372习题8设随机变量X在任一区间A,B上的概率均大于0,其分布函数为FYX,又Y在0,1上服从均匀分布，证明ZFX1Y的分布函数与X的分布函数相同解答因X在任一有限区间A,B上的概率均大于0,故FXX是单调增加函数，其反函数FX1Y存在，又Y在0,1上服从均匀分布，故Y的分布函数为FYYPYY0,Y0,于是，Z的分布函数为FZZPZZPFX1YZPYFXZ0,FXZ1由于FXZ为X的分布函数，故0FXZ1FXZ1均匀不可能，故上式仅有FZZFXZ,因此，Z与X的分布函数相同总习题解答习题1从120的整数中取一个数，若取到整数K的概率与K成正比，求取到偶数的概率解答设AK为取到整数K,PAKCK,K1,2,20因为PK120AKK120PAKCK120K1，所以C1210,P取到偶数PA2A4A20121024201121习题2若每次射击中靶的概率为07,求射击10炮,1命中3炮的概率2至少命中3炮的概率3最可能命中几炮解答若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为N10,P07,故1PX3C10307303700092PX31PX300000即X15人因此，P保险公司亏本PX15K162500C2500K0002K09982500K1K015E55KK0000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的2P保险公司获利不少于100000元P300000200000X100000PX10K010C2500K000209982500KK010E55KK0986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98以上P保险公司获利不少于200000元P300000200000X200000PX5K05C2500K0002K09982500KK05E55KK0615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3,试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数解答设分机向总机要到外线的台数为X,300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线设要到外线的事件为A,则PA003,显然XB300,003,即PXKC300K003K097300KK0,1,2,300,因N300很大，P003又很小,NP3000039,可用泊松近似公式计算上面的概率因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故PX13K0139KKE909265,查泊松分布表且同时向总机要外线的分机的最可能台数K0N1P3010039习题5在长度为T的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数T2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关时间以小时计,求1某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；2某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率解答1T3,3/2,PX0E3/202232T5,5/2,PX11PX01E5/20918习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X101PI1/212QQ2试求1Q的值；2X的分布函数解答1BECAUSE离散型随机变量的概率函数PXXIPI,满足IPI1,且0PI1,1/212QQ21012Q1Q21,解得Q11/2从而X的分布律为下表所示X101PI1/2213/222由FXPXX计算X的分布函数FX0,1/2,21/2,1,X/2则A,PX0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数FX，并求电子管在T小时内损坏的概率解答因X的可能取值充满区间0,故应分段求FXPXX当X0时，FXPXXP0当X0时，由题设知PXXPXXPX0,0,故X的分布函数为FX0,X01EX,X00,从而电子管在T小时内损坏的概率为PXTFT1ET习题9设连续型随机变量X的分布密度为FXX,02时，FX00DT01TDT122TDT2X0DT1,故FX0,X212X2,02习题10某城市饮用水的日消费量X单位百万升是随机变量，其密度函数为FX19XEX3,X00,其它,试求1该城市的水日消费量不低于600万升的概率；2水日消费量介于600万升到900万升的概率解答先求X的分布函数FX显然，当XA0,其它0,求常数C及PA10,分布函数FX满足1FA1FA2PXA21FA解答1FAAXDXATDTAXDX1AXDX1FA2PXAPXAFAPXAFA1FA21FA习题15设K在0,5上服从均匀分布，求X的方程4X24KXK20有实根的概率解答因为KU0,5,所以FKK1/5,09012/52600228,PX901PX9010022809772又因为PX90PX90,所以有9009772,反查标准正态表得902同理PX6083/52601578又因为PX60PX60,故6001578因为01578781PX781PX701078701010810788102119,因为02119TPNT0E01T,FTPXT1PXT1E01T当T00,X0I1,I0,1,2,PB0C902C1002,PB1C901C102C1002,PB2C102C1002,PAB01EXDXE1,PAB112E2XDXE2,PAB213E3XDXE3,由全概率公式PAI02PBIPABI0322由贝叶斯公式PB0APB0PAB0PA093习题19设随机变量X的分布律为X21013PI1/51/61/51/1511/30试求YX2的分布律解答PI1/51/61/51/1511/30X21013X241019所以X20149PI1/57/301/511/30注随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和习题20设随机变量X的密度为FXX0,X00,其它,求YEX的概率密度解答因为MINY0,YMIN1,1,MAXY0,YMAX1,类似上题可得FYYFXHYHY,1A,YB解答PXA,YBF,BFA,B习题313设二维离散型随机变量的联合分布如下表试求1P12Y1，且由正态分布图形的对称性，知PXYPXY,故PXY12习题7设随机变量X,Y的概率密度为FX,YK6XY,01,有FX,YPX1,YY40XUDU01YDYX2最后，设X1,0Y1,有FX,YPX1,YY401XDX0YVDVY2函数FX,Y在平面各区域的表达式FX,Y0,X0或Y0X2,0X1,Y1X2Y2,0X1,0Y1Y2,X习题9设二维随机变量X,Y的概率密度为FX,Y48Y2X,0X1,XY10,其它,求边缘概率密度FYY解答FXXFX,YDY0X48Y2XDY,0X10,其它24X22X,0X10,其它FYYFX,YDX0Y48Y2XDX,0Y10,其它24Y4YY2,0Y10,其它习题10设X,Y在曲线YX2,YX所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度解答区域G的面积A01XX2DX16,由题设知X,Y的联合分布密度为FX,Y6,0X1,X2YX0,其它,从而FXXFX,YDY6X2XDY6XX2,0X1,即FXX6XX2,0X10,其它FYYFX,YDX6YYDX6YY,0Y1,即FYY6YY,0Y10,其它32条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量X,Y的分布律为XY01017/157/307/301/151求Y的边缘分布律；2求PY0X0,PY1X03判定X与Y是否独立解答1由X,Y的分布律知，Y只取0及1两个值PY0PX0,Y0PX1,Y071573007PY1I01PXI,Y1130115032PY0X0PX0,Y0PX023,PY1X0133已知PX0,Y0715,由1知PY007,类似可得PX007因为PX0,Y0PX0PY0,所以X与Y不独立习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为XY515253545551525354550060050050010010070050010010010050100100050050050020010010030050060050010031求边缘分布律2求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律解答1边缘分布律为X5152535455PK018015035012020对应X的值,将每行的概率相加,可得PXI对应Y的值最上边的一行,将每列的概率相加，可得PYJY5152535455PK0280280220090132当Y51时,X的条件分布律为PXKY51PXK,Y51PY51PK,51028,K51,52,53,54,55列表如下K5152535455PXKY516/287/285/285/285/28习题3已知X,Y的分布律如下表所示，试求1在Y1的条件下,X的条件分布律2在X2的条件下,Y的条件分布律XY0120121/41/8001/301/601/8解答由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为X012PK3/81/37/24Y012PK5/1211/241/8故1在Y1条件下，X的条件分布律为XY1012PK3/118/1102在X2的条件下，Y的条件分布律为YX2012PK4/703/7习题4已知X,Y的概率密度函数为FX,Y3X,0X05X525Y125DYDX13习题7设随机变量X与Y都服从N0,1分布，且X与Y相互独立，求X,Y的联合概率密度函数解答由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是FXX12EX22，FYY12EY22因为X与Y相互独立，所以X,Y的联合概率密度函数是FX,Y12E12XY2习题8设随机变量X的概率密度FX12EX0,各有PXA,XAPXAPXA,而事件XAXA,故由上式有PXAPXAPXA,PXA1PXA0PXA0或1PXAA0但当A0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与X不独立习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在0,1上服从均匀分布，Y的概率密度为FYY12EY2,Y00,Y0,1求X与Y的联合概率密度；2设有A的二次方程A22XAY0,求它有实根的概率解答1由题设易知FXX1,000,其它2因A有实根判别式24X24Y0X2Y,故如图所示得到PA有实根PX2YX2YFX,YDXDY01DX0X212EY2DY01EX22DX11EX22DX0EX22DX12121EX22DX120EX22DX1210,又108413,005,于是1003413,所以PA有实根12101251034130143333二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量UMAXX,Y和VMINX,Y的联合分布解答由于UV,可见PUI,VJ0IJ,于是，随机变量U和V的联合概率分布为V概率U12311/92/92/9201/92/93001/9习题2设X,Y的分布律为XY112121/101/53/101/51/101/10试求1ZXY2ZXY3ZX/Y4ZMAXX,Y的分布律解答与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则注意，Z的相同值的概率要合并概率1/101/53/101/51/101/10X,YXYXYX/YMAXX,Y1,11,11,22,12,12,2201134112224111/2221112222于是12XY20134PI1/101/51/21/101/1034X/Y211/212PI1/51/53/101/51/10习题3设二维随机向量X,Y服从矩形区域DX,Y0X2,0Y1的均匀分布，且U0,XY1,XY,V0,X2Y1,X2Y,求U与V的联合概率分布解答依题U,V的概率分布为PU0,V0PXY,X2YPXY01DXX112DY14,PU0,V1PXY,X2Y0,PU1,V0PXY,X2YPY00,Z0习题5设随机变量X,Y的概率密度为FX,Y12XYEXY,X0,Y00,其它,1问X和Y是否相互独立2求ZXY的概率密度解答1FXXFX,YDY012XYEXYDY,X00,X0UNDER2LINE令XYTX12TETDT12X1EX,X00,X0,由对称性知FYY12Y1EY,Y00,Y0,显然FX,YFXXFYY,X0,Y0,所以X与Y不独立2用卷积公式求FZZFX,ZXDXXY20134PI1/21/51/101/101/10MAXX,Y112PI1/101/57/10当X0ZX0即X0X0时，FZZ0Z12XEXDX12Z2EZ于是，ZXY的概率密度为FZZ12Z2EZ,Z00,Z0习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从0,1上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量ZXY的概率密度解答据题意，X,Y的概率密度分布为FXX1,00时，FZZ0FXZYEYDYMAX0,Z1ZEYDYEMAX0,Z1EZ,即FZZ0,Z01EZ,01习题7设随机变量X,Y的概率密度为FX,YBEXY,000,X0,2YEY,Y00,Y0,其中0,0,试求系统L的寿命Z的概率密度解答设ZMINX,Y,则FZPZZPMINX,YZ1PMINX,YZ1PXZ,YZ11PX00,Z0习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试明PAA2PXB2解答设MINX,YZ,则PAZ1PXZ,YZ1PXZPYZ1PXZ2,代入得PAB21PXA2PXA2PXB2证毕复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验1放回抽样；2不放回抽样我们定义随机变量X,Y如下X0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品,Y0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就1,2两种情况，写出X和Y的联合分布律解答1有放回抽样，X,Y分布律如下PX0,Y0101012122536PX1,Y02101212536,PX0,Y11021212536,PX1,Y1221212136,2不放回抽样，X,Y的分布律如下PX0,Y010912114566,PX0,Y110212111066,PX1,Y021012111066,PX1,Y1211211166,YX010145/6610/6610/661/66习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量XK0,若YK1,若YKK1,2,求X1,X2的联合分布率与边缘分布率解答因为Y服从参数为1的指数分布，X10,若Y11,若Y1,所以有PX11PY11EYDYE1,PX101E1,同理PX21PY22EYDYE2,PX201E2,因为PX11,X21PY2E2，PX11,X20PX11PX11,X21E1E2,PX10,X20PY11E1,PX10,X21PX10PX10,X200,故X1,X2联合分布率与边缘分布率如下表所示X1SLASHX201PX1I01E101E11E1E2E2E1PX2J1E2E2习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求X,Y的联合分布解答X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2PX0,Y0P0,PX0,Y1C30C21C33/C842/70,PX0,Y2C30C22C32/C843/70,PX1,Y0C31C20C33/C843/70,PX1,Y1C31C21C32/C8418/70,PX1,Y2C31C22C31/C849/70,PX2,Y0C32C20C32/C849/70,PX2,Y1C32C21C31/C8418/70,PX2,Y2C32C22C30/C843/70,PX3,Y0C33C20C31/C843/70,PX3,Y1C33C21C30/C842/70,PX3,Y2P0,所以，X,Y的联合分布如下XY012301203/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量X,Y的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处XYY1Y2Y3PIX11/8X21/8PJ1/61解答由题设X与Y相互独立，即有PIJPIPJI1,2J1,2,3,P1P21P111618124,又由独立性，有P11P1P1P116故P114从而P131412418,又由P12P1P2,即1814P2从而P212类似的有P313,P1314,P234将上述数值填入表中有XYY1Y2Y3PIX11/241/81/121/4X21/83/81/43/4PJ1/61/21/31习题5设随机变量X,Y的联合分布如下表求1A值；2X,Y的联合分布函数FX,Y；3X,Y关于X,Y的边缘分布函数FXX与FYY解答1BECAUSE由分布律的性质可知IJPIJ1,故141416A1,A132因FX,YPXX,YY当X0时，FX,YPX1,Y1PX1,Y01/2当X2,Y0时，FX,YPX1,Y1PX2,Y1PX1,Y0PX2,Y01综上所述，得X,Y联合分布函数为FX,Y0,X0,Y00,其它,1确定常数C2求X,Y的边缘概率密度函数；3求联合分布函数FX,Y4求PYX5求条件概率密度函数FXYXY6求PX00,X02E2X,X00,X0,FYYFX,YDX02E2XEYDX,Y00,其它EY,Y00,Y03FX,YXYFU,VDVDU0X0Y2E2UEVDVDU,X0,Y00,其它1E2X1EY,X0,Y00,其它4PYX0DX0X2E2XEYDY02E2X1EXDX135当Y0时，FXYXYFX,YFYY2E2XEYEY,X00,X02E2X,X00,X06PXR时，FXXFX,YDY0DY0当RXR时，FXXFX,YDY1R2R2X2R2X2DY2R2R2X2于是FXX2R2X2R2,RXR0,其它由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是FYY2R2Y2R2,RYR0,其它2FXYXYFX,YFYY注意在Y处X值位于XR2Y2这个范围内，FX,Y才有非零值，故在此范围内，有FXYXY1R22R2R2Y212R2Y2,即YY时X的条件概率密度为FXYXY12R2Y2,XR2Y20,其它同法可得XX时Y的条件概率密度为FYXYX12R2X2,YR2X20,其它由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立习题15设X,Y的分布律如下表所示XY112121/102/103/102/101/101/10求1ZXY2ZMAXX,Y的分布律解答与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则注意，Z的相同值的概率要合并概率X,YXYXYX/YMAXX,Y1/102/103/102/101/101/101,11,11,22,12,12,2201134112224111/2221112222于是1XY20134PI1/102/105/101/101/102MAXX,Y112PI1/102/107/10习题16设X,Y的概率密度为FX,Y1,00,Y00,其它,求随机变量ZX2Y的分布函数解答按FZZPX2YZ,当Z0时，FZZX2YZFX,YDXDYX2YZ0DXDY0当Z0时，FZZX2YZFX,YDXDY0ZDX0ZX/22EX2YDY0ZEX1EXZDX0ZEXEZDXEX0ZZEZ1EZZEZ,故分布函数为FZZ0,Z01EZZEZ,Z0习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为FXX1,0X10,其它,FYYAEY,Y00,Y0,求1常数A2随机变量Z2XY的概率密度函数解答11FYYDY0AEYDYA2因X与Y相互独立，故X,Y的联合概率密度为FX,YEY,0X1,Y00,其它于是当Z2时，有FZP2XY201DX0Z2XEYDY011E2XZDX利用分布函数法求得Z2XY的概率密度函数为FZZ0,ZA,应如何确定B才能使公司可期望获益，若有M人参加保险，公司可期望从中收益多少解答令X“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为EXAPAB1PAB1P0,即A0,又已知EX075,求K,A的值解答BECAUSEFXDX1,XFXDX075,01KXADX1,01XKXADX075,即KA1XA1011,KA2XA201075,即KA11KA2075,K3,A2习题8设随机变量X的概率密度为FX11X,000,X0,工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望解答先求出利润函数LXLX100,X1300100200,X00,X0,求1Y2X的数学期望；2YE2X的数学期望解答1EYE2X2XFXDX02XEXDX22EE2XE2XFXDX0E3XDX13习题11设X,Y的分布律为YX1231010201000100030101011求EX,EY2设ZY/X,求EZ3设ZXY2,求EZ解答1先求X与Y的边缘分布律，然后求EX,EYX123PK040204Y101PK030403所以EX10420230420,EY10300410302可以利用X,Y的联合分布先求出Z的分布律，然后求EZ,也可以利用定理直接求EZ,下面采取直接求法EZEYXIJYJXIPIJ1021011201120113013011153EZEXY2IJXIYJ2PIJ1120210201112013201220012014200320322015也可以利用期望的性质求EZ,得EXY2EX22XYY2EX22EXYEY21204220232042102101201201300301120312035习题12设X,Y的概率密度为FX,Y12Y2,0YX10,其它,求EX,EY,EXY,EX2Y2解答如右图所示EXXFX,YDXDY01DX0XX12Y2DY45,EYYFX,YDXDY01DX0XY12Y2DY35,EXYXYFX,YDXDY01DX0XXY12Y2DY12,EX2Y2X2Y2FX,YDXDY01DX0XX2Y212Y2DY236151615习题13设X和Y相互独立，概率密度分别为1X2X,0X10,其它,2YEY5,Y50,其它,求EXY解答解法一由独立性EXYEXEY01X2XDX0YEY5DY2364解法二令ZY5,则EXYEXEY01X2XDXEZ52315442方差习题1设随机变量X服从泊松分布，且PX1PX2,求EX,DX解答由题设知，X的分布律为PXKKKE0由PX1PX2,得11E22E，即0舍去,2所以EX2,DX2习题2下列命题中错误的是A若XP,则EXDXB若X服从参数为的指数分布，则EXDX1C若XB1,则EX,DX1D若X服从区间A,B上的均匀分布，则EX2A2ABB23解答应选BEX1,DX12习题3设X1,X2,XN是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N,20,则1NI1NI服从的分布是解答由多维随机变量函数的分布知有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且EX,DX2N习题4若XINI,I2I1,2,N,且X1,X2,XN相互独立，则YI1NAIXIBI服从的分布是解答应填NI1NAIIBI,I1NAI2I2由多维随机变量函数的分布知有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且EYI1NAIIBI,DYI1NAI2I2习题5设随机变量X服从泊松分布，且3PX12PX24PX0,求X的期望与方差解答X的分布律为PXKKKE,K0,1,2,于是由已知条件得311E222E400E,即2340,解之得4舍,1,故EX1,DX1习题6设甲，乙两家灯泡厂生产的寿命单位小时X和Y的分布律分别为X90010001100PI010801Y95010001050PI030403试问哪家工厂生产的灯泡质量较好解答哪家工厂的灯泡寿命期望值大，哪家的灯泡质量就好由期望的定义有EX900011000081100011000,EY950031000041050031000今两厂灯泡的期望值相等EXEY1000,即甲，乙两厂的生产水平相当这就需要进一步考察哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即看哪家工厂的灯泡寿命取值更集中一些，这就需要比较其方差方差小的，寿命值较稳定，灯泡质量较好，则方差的定义式得DX900100020110001000208110010002012200,DY950100020310001000204105010002031500因DXDY,故乙厂生产的灯泡质量较甲厂稳定习题7已知XBN,P,且EX3,DX2,试求X的全部可能取值，并计算PX8解答BECAUSEEXNP,DXNP1P,NP3NP1P2,即N9P13,X的取值为0,1,2,9,PX81PX91139习题8设XN1,2,Y服从参数为3的泊松分布，且X与Y独立，求DXY解答BECAUSEDXYEXY2E2XYEX2Y2E2X2Y又BECAUSEEX2Y2X2Y2FX,YDXDYX2FXXDXY2FYYDYEX2EY2,DXYEX2EY2E2XE2YDXE2XDYE2YE2XE2YDXDYDXE2YDYE2X2323231227习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有EXII,DXI5I,I1,2,3,4,又设Y2X1X23X312X4,求EY,DY解答EYE2X1X23X312X42EX1EX23EX312EX4212331247,DY4DX1DX29DX314DX4443921413725习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量以KG计分别为X1,X2,X3,X4,X5已知X1N200,225,X2N240,240,X3N180,225,X4N260,265,X5N320,270,X1,X2,X3,X4,X5相互独立1求5家商店两周的总销售量的均值和方差；2商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于099，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克解答1设总销售量为X,由题设条件知XX1X2X3X4X5,于是EXI15EXI2002401802603201200,DXI15DXI22524022526527012252设商店的仓库应至少储存Y千克该产品，为使PXY099,求Y由1易知，XN1200,1225,PXYPX12001225Y12001225Y12001225099查标准正态分布表得Y12001225233,Y233122512001282KG习题11设随机变量X1,X2,XN相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求ZMINX1,X2,XN的数学期望和方差解答XII1,2,N的分布函数为FX1EX,X00,其它,ZMINX1,X2,XN的分布函数为FZZ11FZN1ENZ,Z00,其它,于是EZ0ZNENZDZZENZ0ENZDZ1N,而EZ20Z2NENZDZ2N2,于是DZEZ2EZ21N243协方差与相关系数习题1设X,Y服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是AX,Y不相关；BEXYEXEYCCOVX,Y0DEXEY0解答应选（D）。当X,Y服从二维正态分布时，不相关性独立性若X,Y服从一般的分布，则X,Y相互独立X,Y不相关反之未必习题2设X服从参数为2的泊松分布，Y3X2,试求EY,DY,COVX,Y及XY解答EYE3X23EX23224DYD3X29DX9218,COVX,YCOVX,3X23DX6,XYCOVX,YDXDY62181习题3设随机变量X的方差DX16,随机变量Y的方差DY25,又X与Y的相关系数XY05,求DXY与DXY解答DXYDXDY2COVX,YDXDY2DXDYXY16252450561,DXYDXDY2COVX,YDXDY2DXDYXY16252450521习题4设X,Y服从单位圆域GX2Y21上的均匀分布，证明X,Y不相关解答EXYX2Y211XYDXDY111DXDY1X21X2YDY0,又EXX2Y211XDXDY111XDX1X21X2DY1112X1X2DX0,同理，EY0,故COVX,YEXYEXEY0,即X,Y不相关习题5设100件产品中的一，二，三等品率分别为08,01和01现从中随机地取1件，并记XI1,取得I等品0,其它I1,2,3,求X1X2解答首先求X1,X2的联合分布PX10,X20PX3101,PX10,X21PX2101,PX11,X20PX1108,PX11,X21P0关于X1和X2的边缘分布律为PX1108,PX1002,PX2101,PX2009于是EX108,DX1016EX201,DX2009从而X1X2COVX1,X2DX1DX2EX1X2EX1EX2DX1DX210008001001008040323习题6设XN,2,YN,2,且X,Y相互独立，试求Z1XY和Z2XY的相关系数其中,是不为零的常数解答COVZ1,Z2COVXY,XY2COVX,X2COVY,Y2DX2DY222,DZ1DXY2DX2DY2COVX,Y,DZ2DXY2DX2DY2COVX,Y因为X,Y相互独立，所以COVX,Y0,故DZ1222,DZ2222,相关系数COVZ1,Z2DZ1DZ22222习题7设随机变量X,Y具有概率密度FX,Y18XY,0X2,0Y20,其它,求EX,EY,COVX,Y,XY,DXY解答EXXFX,YDYDX0202X18XYDYDX76由对称性知，EY76,EXYXYFX,YDXDY0202XY18XYDXDY021883Y2Y2DY43,于是COVX,YEXYEXEY437676136，EX20202X218XYDYDX1402X3X2DX53由对称性知，EY253,故DXEX2EX2537621136,DY1136,XYCOVX,YDXDY1361136111,DXYDXDY2COVX,Y11361136213659习题8设随机变X,Y的分布律为YX1011011/81/