《核反应堆物理分析谢仲生修订版部分习题

反应堆物理分析课后习题第一章、核反应堆的核物理基础1、某压水堆采用二氧化铀作燃料，其富集度为243（重量），密度为104公斤/米3，计算当中子能量为0025电子伏时，二氧化铀的宏观吸收截面和宏观裂变截面。02460102430198740111987401115C92622691621238235552CCMUO解第一章、核反应堆的核物理基础28234102302421002692622691010001000222AUOUOUONMN128428282828288555234310102102302422107210230242024601109680102302420246021222MNNCNCOAUOAUOAUOA128285013210558310230242024602MNCFUOF第一章、核反应堆的核物理基础2、某反应堆堆芯由铀235、水和铝组成，各元素所占的体积比分别为0002，0600和0398，计算堆芯的总吸收截面A（0025电子伏）162862862823665655555898266992103980102410016181106000106602359181000201096801002698261039800161810600023510002022222MNNNNALAALOHOAHAAALAALOHOAHAAALOAHAA第一章、核反应堆的核物理基础3、求热中子（0025电子伏）在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞次数。ASASASSANNT1566601032OHT1360000106132ODT31086224507CDT解设碰撞次数为T第一章、核反应堆的核物理基础8、某反应堆在额定功率500兆瓦下运行了31天后停堆，设每次裂变产生的裂变产物的放射性活度为1081016T12居里。此处T为裂变后的时间，单位为天，试估算停堆24小时堆内裂变产物的居里数JEDAY3600241050062419661961035110611020036002410500106110200DAYDAYENCIDTTA8311211624106231008110351解第一章、核反应堆的核物理基础12、设核燃料中铀235的浓缩度为32（重量），试求铀235与铀238的核子数之比。0324010320198740111987401115C033500324010324015585CCNN解第一章、核反应堆的核物理基础13、为了使铀的17，试求铀中铀235的富集度为多少（设中子能量为00253EV）。8855558555252AAFAAFNNN01524096807155835272715255885AFANN185858555119874011NNNNNNNC51代入（N5/N8001524得解第一章、核反应堆的核物理基础14、为了得到1千瓦时的能量，需要使多少铀235裂变。JE610633600100017196619651012511061102001063106110200ENGMNNMA423196655510430235100261061102001063解设单次裂变产生能量200MEVU235裂变数U235质量第一章、核反应堆的核物理基础15、反应堆的电功率为1000兆瓦，设电站的效率为32。问每秒有多少个铀235发生裂变问运行一年共需消耗多少公斤易裂变物质一座相同功率煤电厂在同样时间需要多少燃料已知标准煤的燃烧热为Q29兆焦/公斤。WPPETH96101253320101000SPNTHF/109770106110200101253106110200201969196解热功率裂变U235数第一章、核反应堆的核物理基础TGMNNMAFAFYEAR403110140323510026360024365558396801097703600243653232055TPMTHYEARC6610431029360024365年U235消耗量年标煤消耗量第一章、核反应堆的核物理基础7、有一座小型核电站，电功率为15万千瓦，设电站的效率为27，试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀235数量。TPEEEETH22196341965102561061102002703600101015106110200TPNEF1965106110200THFEN解热能裂变U235核数补充第一章、核反应堆的核物理基础GMNNMA52823510026103072322555222255103075583968010256FAFNN俘获加裂变U235核数消耗U235总质量量第一章、核反应堆的核物理基础16、某压水堆的电功率为990MW，设电站的效率为32，运行了三个月后停堆。试计算停堆后1分钟、1小时、10小时、1天、10天、1月后的衰变热。同样计算运行一年后停堆的情况。WPPETH9610133201099010121066/10142020820202202011WTWTPSMEVTPPTHTHD解热功率衰变热功率第一章、核反应堆的核物理基础分别代入1T13MONTHS778106S11MINUTES60S；2T23MONTHS778106S21HOUR3600S；3T33MONTHS778106S310HOURS36000S4T43MONTHS778106S41DAY864104S5T53MONTHS778106S510DAYS864105S6T63MONTHS778106S61MONTHS26106S得PD147107W47MWPD232107W32MWPD317107W17MWPD413107W13MWPD505107W5MWPD6003107W03MW第一章、核反应堆的核物理基础第一章、核反应堆的核物理基础衰变热功率随时间的关系核反应堆物理分析第二章习题1、有两束方向相反的平行热中子束射到U235的薄片上，设其上某点自左面入射的中子强度为1016中子/米2秒。自右面入射的中子束强度为21016中子/米2秒。计算（A）该点的中子通量密度；（B）该点的中子流密度。（C）设A192102米1，求该点的吸收率。解（A）中子通量密度为各方向中子束流强度值的总和10162101631016中子/米2秒（B）中子流强度为各方向中子束流强度的代数和（即中子净流量），取向右为正方向J1016210161016中子/米2秒（C）吸收反应率RAA310161921025761019中子/米3秒5、在某球形裸堆（R05米）内中子通量密度分布为秒米中子217/SIN105RRRR试求（A）（0）；（B）J（R）的表达式，设D08102米；（C）每秒从堆表面泄漏的总中子数（假设外推距离很小可略去不计）。解（A）由中子通量密度的物理意义可知，必须满足有限、连续的条件SIN105LIMLIM01700RRRRRRRRRR170105LIM秒米中子21817/10143105RB中子流密度DGRADRJERRD为径向单位矢量EERRRRRRRRJCOS105SIN1051080172172ERRRR2COS22SIN1104215（R）仅于R有关，是各向同性的24RRJL秒中子/1058150450104172215（C）泄漏中子量径向中子净流量球体表面积DSJL7、圆柱体裸堆内中子通量密度分布为秒米中子2016/4052COS10,RRJHZZR其中，H，R为反应堆的高度和半径（假设外推距离可略去不计）。试求（A）径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比；（B）每秒从堆侧表面和两个断面泄漏的中子数；（C）设H7米，R3米，反应堆功率为10兆瓦，F5410靶，求反应堆内U235的装载量。解（A）1径向中子通量密度平均值与径向中子通量密度最大值之比,10MAXRDRZRRRRRR为（R）的极大值点由0,RZR求出R（2）（1）0阶第一类BESSEL函数02014KKKKXXJ由于题中RRX4052取R的最大值R，并且足够大，这里取X2代入BESSEL函数中，得到0阶BESSEL函数的前4项的图像BESSEL函数前4项图像在图中可以看出当K3时，函数值已经非常的小了，并且后面的项很快收敛到0，因此我们取前4项即可（误差计算此处并不给出）因此4664321624116420XXXXJ查表或者自行计算得到（1，2，3，4）的值为（1，1，2，6）代入上式，并且令X（2405R/R）得到66442202304519364453347851RRRRRRRJ将J0代入（R,Z）并利用（2）求出极大值点R038451931645332785,65432RRRRRRCRZRHZCCOS1016解以上方程得到舍去无意义根和大于R的根（0RR），得0R（1）,10MAXRDRZRRRRR2304519364453347851230451936445334785116644220664422RRRRRRCDRRRRRRRRCR时，取极大值242765,093931,0RRR代入R并计算出积分值得到611016110MAXRR（A）2HZHCZZRSIN,（3）RRJC405210016令（3）0，得ZNH，N为整数Z只能取0，（R，Z）有极大值从的形式可以看出，原点是建在柱体的中心的同理，可得COS12/2/MAXCDZHZCHZZHH63702该堆芯中子通量密度的分布图轴向中子通量密度分布径向中子通量密度分布（B）RZRDJ,侧侧面中子流密度6543238451931645332785RRRRRRDCRRRHZD38451931645332785COS1016单位时间从侧面泄漏的中子数为RDZJLH20侧侧秒中子/102516HD上下面中子流密度ZZRJZ,HZHDCSIN分别代入ZH/2,ZH/2得2SIN4052100162/RRHDJJHZRRHDJ405210016负号表示中子流密度指向Z方向RRHDJJHZ4052100162/2/2/HHZLLLRRDRDRRHDJ0200164052102秒中子/1058162RHD（C）堆内的裂变反应率为DZRDRDNZRRFF53532030,DZRDRDNRRRZF664422535320301632304519336445333478517COS10DZRDRDNMRRRZFA23532304519336445333478517COS106644225353203016裂变功率为FFRP196106110200710由以上两式可以算出U235的装载量9设某石墨介质内，热中子的微观吸收和散射截面分别为A45102靶和S48靶。试计算石墨的热中子扩散长度L和吸收自由程A，比较两者数值大小，并说明其差异的原因。解单位体积内石墨的核数目为ANMN23610026121061328/108米个AAN28228101054108米/360AA13601米821310SALSSN28281084108米/4389444043836031米160AL解释堆内热中子的平均行为是先扩散最后被吸收，因此扩散长度P2的方向核反应堆物理分析第三章1、证明当中子被自由质子散射时，散射中子和反冲质子的实验室系速度之间的夹角总是90度解能量守恒222212121NNPPPPVMVMVM（1）X方向动量守恒COSCOSNNPPPPVMVMVM（2）Y方向动量守恒SINSINNNPPVMVM（3）令MPMN1（2）两边平方，得COSCOS2COSCOS22222NPNPPVVVVV（4）把（1）代入（4），消去VP，得COSCOS2COSCOS222222NPNPNPVVVVVV（5）将（3）代入（5）消去VN,并整理得0SINSINCOSCOS即0COS由于0VDV表示L系中速度V的中子弹性散射后速度在V附近DV内的几率。假定在C系中散射是各向同性的，求FVV的表达式，并求一次碰撞后的平均速度。解EEEDEDEEEF,1VVVVDVVDVVVF,122221MVEDVMVDE由得代入得VVDVVVFVV2/31132V3、氢和氧在1000电子伏到1电子伏能量范围内的散射截面近似为常数，分别为20靶和38靶。计算水的以及在水中中子从1000电子伏慢化到1电子伏所需要的平均碰撞次数。解11LN2112AAAA11LN211LIM21AAAAAH对中括号里面第二项用LHOSPITAL法则处理，得1H120322AO在水中散射的平均对数能降为OHHOHHOH22283202120831202920平均碰撞次数OHOHEEEEEEN22LNLNLNLN00次579201LN1000LN4、（A）证明一个中子依靠弹性散射从初始能量E0慢化到能量E所需的平均时间T（弹性慢化时间），可表示为02/32EESDEET（B）设S与中子速度无关，试分别计算在轻水中和石墨中裂变中子（取E02106电子伏）慢化到1电子伏所需要的慢化时间。解2EDTEEVDTNSS（A）能量为E的中子在DT系统内发生的平均散射次数为在DT时间内的对数能降增量为2EDTENDUSEEU0LNDEEDU1由得DEETEES02/32DEEEES02/32若散射自由程与能量无关，则（B）利用上题的结论DEETEES02/320112EES分别代入轻水和石墨的S和，得STOSH710492STSC510320112EES6、在讨论中子热化时，认为热中子源项QE是从某给定分界能EC以上能区的中子，经过弹性散射慢化而来的。设慢化能谱服从E0/E分布，试求在氢介质内每秒每立方米内有EC以上能区，（A）散射到能量EE化简方程RCCLRBCTGB1无限厚反射层临界方程RCDDTRATRARNL88883131临界时，芯部几何曲率221CCLKB对于纯U5组成的堆芯FFKTRATRACNL31312求出BC2RCCLRBCTGB1无限厚反射层临界方程求出R在以上的过程中，已经求出了堆芯尺寸R堆芯临界体积334RVCCCVM5堆芯临界质量数学知识补习1、空间立体角2、TAYLOR级数3、梯度、散度、旋度4、波动方程（亥姆霍兹方程）5、BESSEL函数1、TAYLOR级数引入逼近（APPROXIMATION）在某点X0附近用简单函数近似地代替一般函数F（X）一阶逼近利用微分的性质，在XA,用切线代替F（X）当XXA很小时，AXAFAFXF（11）FX在XA处的一阶TAYLOR展开式Y5X2和Y在X1处一阶逼近函数Y10（X1）的图像二阶逼近用P（X）C0C1XC2X2逼近F（X）P2（0）F（0）P2（0）F（0）P2（0）F（0）C0F（0）C1F（0）C2（1/2）F（0）2000XFXFFXF初值相等斜率相同凹凸相同二阶TAYLOR级数展开式YCOSX，与它的二阶TAYLOR展开式Y11/2X2的图像N阶多项式逼近多项式函数PN（X）C0C1XC2X2C3X3CNXN满足PN（0）F（0）PN（0）F（0）PN（N）F（N）（0）NNNXNFXFXFFXP0201002N阶麦克劳林展开式EX与它的5阶TAYLOR展开式图像在0附近两个函数的差别已经很小2、梯度、散度、旋度引入21梯度22YXZ偏导数表示沿坐标轴的变化不沿坐标轴方向的变化如何表示多元函数上某点的偏导数构成了沿坐标轴的变化，能否将沿某一给定方向的变化率看成是沿各坐标轴变化率的迭加呢从图上看是可以的沿某一方向的方向导数可以这样计算偏导数确定的导数向量单位方向向量22YXZ的等高线图由等高线图可以看出1、梯度方向是变化率最大方向2、任意方向的方向导数可以表示为偏导数的矢量和方向导数梯度方向|,LLJYFIXFLF对于二元函数，方向导数可以如此计算当|LL与JYFIXF,方向相同时，方向导数有最大值。方向导数去最大值的方向称为梯度方向JYFIXFYXFGRAD,FZYXFGRAD,对于三维变量函数梯度是针对标量场而言的，梯度的正方向高低22散度散度描述的是从无限小体积元表面流出的净流量。GAUSS定理的引出DVJDIVDSJ物理上如何解释将封闭空间分成无数个小体积元，从面S流出的流量各个小体积元流出量之和DVSDSJDSJDVJDIVJDVDIVGAUSS定理交界面上JDS大小相等方向相反，抵消23旋度STOKES公式的引入DSJROTDLJSWHY意义何在计算在流速场J（X，Y）中，环路中的流量把以环路为边界的面分成无数个面元通过环路的流量微小面元环流之和WHY交界处环流相互抵消DLJDLJDSSJDSROT格林公式（斯托克斯的二维形式旋度作为无限小面积内的环流。3波动方程的引入设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力影响。下面研究弦作微小横向振动的规律。（所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一阶次方都可以忽略不计。）设弦上具有横坐标为X的点在T时刻的位置为M，位移NM记作U。显然，在振动过程中位移U是变量X与T的函数U（X，T）。弦的振动（古典问题）首先，选取弦上长度为DS的质量元，研究该质量元的运动情况，如果每小段质量元运动情况研究清楚了，那么，显然整个弦的运动也就清楚了。如何用数学描述弦振动一维弦振动在弦上任取一段弧MM，长度为DS，设是弦的密度，弧MM两端的张力分别为T，T。考虑无刚性（张力沿切线方向），现考虑MM的受力情况。X轴方向受力COSCOSTT水平方向弦并没有发生移动将COS和COS进行TAYLOR展开得421COS42421COS42（31）得1COS1COS代入（31），得TT在U方向受力（取Y方向为参考方向）GDSTTSINSIN因为很小，所以SINTAN；SINTANGDSTTTANTANTAN和TAN分别是X和XDX处弦曲线的导数GDSXTDXXUTXTXUT,GDSXTDXXUTXTXUT,TT考虑微小振动和值很小，可以忽略高阶项。U方向，由牛顿第二定律，得22,TTXUDXGDXXTXUXTDXXUT22,TTXUDSGDSXTDXXUTXTXUT由于DSDX，替换整理上式中括号内可以看成是，U的一阶导数的微分，可以用U的二阶导数来表示2222,TTXUDXGDXDXXTXUT2222,TTXUDXDXGXTXUT合并整理2222,TTXUDXDXGXTXUT进一步简化方程，考虑具有理想刚性的弦，弦上的力变化远远大于重力影响2222,TTXUDXDXXTXUT22222,TTXUXTXUATA2令（12）一维无限长弦波动方程如何求解波动方程（12）31一维波动方程的求解思想观察一维弦振动，各点的振动不光和位置有关，并且对于某一个位置上的点随时间的运动的遵循简谐振动的。因此，考虑时空分离。令,TTXXTXU代入波动方程22222TTTXXXXXTTA222221DTTTDTTDXXXDXXA变量分离一般地，要使上式成立，等式左右必须均等于一个常数，设为。分离出时间方程和空间方程221DTTTDTT222DXXXDXXA（33）（34）首先求解波动方程的空间部分（33）0222XXKDXXXD22AK令（34）亥姆霍兹方程通常（34）成为亥姆霍兹方程，但是又因为它是波动方程的空间部分，所以也称作波动方程。工作小结古典弦振动偏微分方程（波动方程）常微分方程物理模型变量分离剩下的工作如何求解（33）和（34）这两个方程（34）就目前的知识而言，可以猜想到（34）的解具有指数或者正弦余弦函数的性质。0222XXKDXXXD由于三角函数可以通过欧拉公式与指数函数联系，因此，只考虑解具有指数函数形式是合适的两个特解KXEX1KXEX2X1，X2称为（34）的基础解系，由线性叠加可知，X1，X2的线性组合应当也满足方程（34）KXKXBEAEXX普遍解（35）WHYKXKXBEAEXX（35）考察普遍解（35）的最基本约束，振动应该在无限远处有限KXAEXX（36）非增殖介质中子扩散方程022L（37）显然，（37）和（34）具有同样的形式因此非增殖介质中子扩散方程是一个典型的亥姆霍兹方程（波动方程）考虑最简单情况（一维平板面源）扩散方程0,0222XLXDXXD（38）扩散方程与亥姆霍兹方程（波动方程）形式相同，故它们具有相同的解由一维的亥姆霍兹方程的通解（35）和约束条件得到的具有物理意义的解（36）也是同样满足反应堆中子扩散理论的所以，从物理的意义和数学的解上都可以得知，无限平板源扩散的中子通量密度应该遵循指数衰减规律。（39）回顾前面我们只求解了一维波动方程的空间部分（亥姆霍兹方程），但是我们说解完了空间部分X（X）就足够了，因为在反应堆物理分析中，我们所求的稳态中子扩散方程是跟时间无关的。为什么认为中子通量密度跟时间无关反应堆在给定功率条件下，运行足够长的时间，若没有扰动，那么各点的中子通量密度应该是确定的，即平衡的。对于反射层这样的非增殖介质，用稳态非增殖扩散方程描述是合适的。如果要用稳态非增殖扩散方程描述净堆启动过程，显然是不合适的，对于未达平衡的状态除了空间函数外还要加上时间函数T（T）来描述反应堆的动力学特性。另外一种情况无限大非增殖介质内点源的情况0,02222RLRDRRDRDRRD球坐标下，扩散方程（17）演变为（310）0,02222RLRDRRDRDRRD（310）RU222LUDRUD（311）波动方程（311）式是前面所讲的波动方程，不再详述4BESSEL函数的引入热传导过程冷热不均的物体，热量要从温度高的地方向温度低的地方转移，形象的用热的流动来描述。将整个物理的温度看成温度场U（R，T）（标量场）由高等数学的初等场论可知，标量场的梯度函数对应于矢量。结合热传导过程，温度场的梯度函数应该对应于热流矢量。而在反应堆中，中子密度为一个标量场，中子密度N标量的梯度函数应该对应于中子流密度J，但是对于单速中子而言，我们是可以用中子通量密度标量NV来代替中子密度N标量的。当然，用来替代N是考虑到物理的意义和计算的方便，你也完全可以不进行替代回到热传导问题，单位时间某体积内的温度变化TTRU,是否应该等于从该体积内向外流出的净热量呢（41）DEFINITELYTRUE并且从场论初步我们知道从封闭曲面流出的净热流热流场散度封闭曲面所围的体积（GAUSS定理）JDS而，热流矢量GRADUAJ（42）（44）DIVJDIVJDVJDSDV（43）单位时间穿出无限小面S的净热流为UAGRADUDIVA2A为表征热传导性质的参数由温度随时间的变化与单位时间穿出面S的净热流相等的关系，我们建立热传导方程,2TXUATTXU（45）三维热传导方程,22TXUATTXU（46）2AA令联想在一维弦振动求解时的变量分离,RXTTTXU（47）（26）22RXTTADTTDTRX122RXRXADTTDTTT（48）变量分离一般地，要使（28）两边相等，这两边必须都等于一个不含变量的常数DTTDTTT122RXRXA（49）（410）中子扩散理论研究是稳态后的中子通量密度分布，鉴于这样的考虑，我们还是只关心方程的空间部分（410）现在考虑无限薄圆片的热传导方程在圆柱体反应堆的径向中子