相对运动为匀速圆周运动的径向光轨迹的两种解决方法的研究毕业论文

1毕业设计论文题目相对运动为匀速圆周运动的径向光轨迹的两种解决方法的研究系别数理系专业数学与应用数学姓名刘文帅学号171406148指导教师周树克2目录论文题目3前言4第一节5第二节5第三节14结束语17参考文献18致谢213相对运动为匀速圆周运动的径向光轨迹的两种解决方法的研究THETWOMETHODSOFRADIALDIRECTIONLIGHTPATHOFTHERELATIVEMOTIONWHICHISTHEUNIFORMCIRCULARMOTION【摘要】本文从相对运动为匀速圆周运动的运动状态来详细的介绍两物体之间对于观测同一事件所需要的时间段，再进一步说明这两个时间段之间的关系。【关键字】洛必达法则，相对时间差，相对运动ABSTRACTTHISARTICLEINTRODUCESTHETWOTIMESECTIONSNEEDEDWHENOBSERVEDBYTWOOBJECTSFROMRELATIVEMOTIONWHICHISUNIFORMCIRCULARMOTION,FURTHERINTRODUCESTHERELATIONSHIPBETWEENTHETWOTIMESECTIONSKEYWORDSPRINCIPLEOFLHOSPITAL,RELATIVETIMEDIFFERENCE,RELATIVEMOTION4前言相对论是20世纪物理学史上最重大的成就之一，它包括狭义相对论和广义相对论两个部分，狭义相对论变革了从牛顿以来形成的时空概念，提示了时间与空间的统一性和相对性，建立了新的时空观。广义相对论把相对原理推广到非惯性参照系和弯曲空间，从而建立了新的引力理论。在相对论的建立过程中，爱因斯坦起了主要的作用。爱因斯坦是美籍德国物理学家。1914年任德国威廉皇帝物理研究所所长和普鲁士科学院院士，1933年因遭纳粹政权迫害迁往美国，任普林斯顿高等研究院主任。1905年，在他26岁时，法文科学杂志物理年鉴刊登了他的一篇论文论运动物体的电动力学，这篇论文是关于相对论的第一篇论文，它相当全面地论述了狭义相对论，解决了从19世纪中期开始，许多物理学家都未能解决的有关电动力学以及力学和电动力学结合的问题。提起狭义相对论，很多人马上就想到钟表慢走和尺子缩短现象。许多科学幻想作品用它作题材，描写一个人坐火箭遨游太空回来以后，发现自己还很年轻，而孙子已经变成了老头。其实，钟表慢走和尺子缩短只是狭义相对论的几个结论之一，它是指物体高速运动的时候，运动物体上的时钟变慢了，尺子变短了。钟表慢走和尺子缩短现象就是时间和空间随物质运动而变化的结果。狭义相对论还有一个质量随运动速度而增加的结论。实验中发现，高速运动的电子的质量比静止的电子的质量大。狭义相对论最重要的结论是使质量守恒失去了独立性。它和能量守恒原理融合在一起，质量和能量可以互相转化。如果物质质量是M，光速是C，它所含有的能量是E，那么EMC2。这个公式只说明质量是M的物体所蕴藏的全部能量，并不等于都可以释放出来，在核反应中消失的质量就按这个公式转化成能量释放出来。按这个公式，1克质量相当于9X103焦耳的能量。这个质能转化和守恒原理就是利用原子能的理论基础。在狭义相对论中，虽然出现了用牛顿力学观点完全不能理解的结论空间和时间随物质运动而变化，质量随运动而变化，质量和能量的相互转化，但是狭义相对论并不是完全和牛顿力学割裂的，当运动速度远低于光速的时候，狭义相对论的结论和牛顿力学就不会有什么区别。自从爱因斯坦的相对论诞生后，很多里面的结论已被实验证实，本文就从一个特殊的研究对象来说明狭义相对论中时间相对性的一般情况及方法。5正文第一节研究对象的介绍文章的开始，我们先来介绍这个例子。如下图1，点A相对我们静止，点B图1相对点A以速度0V，半径为0R绕圆心O作匀速圆周运动。而本文所要讨论的话题是如果以OB为参照物的话，那么点A沿AO方向发射光束时，点B所观测到的光的轨迹是怎样的呢继而光束到达某一位置时点A点B所观测的时间段又是怎样的关系呢如果以OB为参照物的话，则情况变为图2，由于OA始终垂直于A的运动方向，所以由此可以知道在点B所观测到的OA的长度不发生变化，始终等于0R。图2第二节研究对象的第一种解决方法为解决本文所要讨论的问题，我们来介绍其算法。在运动过程中，我们先给出一个函数GT，其意义是在点B上所观测到光束运动到某一位置相对于点A的沿AO方向的径向距离大小，设光束在点A上刚发射时的时刻为零，经过T时6间后（在点B上所观测经过的时间），在点B上所观测的光束运动所到位置相对于点A沿AO方向的径向距离大小为GT，又此时此处在点B上所观测光束在该位置运动的速度大小为C（光速不变原理），又因此时此处的切向速度为0FTWRGT，其中W为点A运动的角速度，大小为00VWR，所以此时此处的切向速度为000VFTVGTR，则在点B上所观测到光束在此时此处径向AO的径向速度大小为22CFT，据此可列积分方程如下220TCFMDMGT因为000VFTVGTR，则方程变为220000TVCVGMDMGTR，在解该常微分方程之前，很明显知道00G。下面就来解此方程，由于000VFMVGMR，得000RGMRFMV，原常微分方程可化为220000TRCFMDMRFTV两边对T求导得2200RDFTCFTVDT所以有0220VDFTDTRCFT即0201FTDVCDTRFTC得000ARCSINVFTTCCR，0C为待定常数7所以000SINVFTCTCR又000000VFVGVR，得00ARCSINVCC所以000SINARCSINVVFTCTRC得000000SINARCSINRCVVGTRTVRC因为GT也就是光束相对于点A沿径向AO所运动的距离，由此可得GTCT。在上述算法中，T表示在B点观测点A从光束刚发射开始计时到光束运动到某位置所用的时间，T表示在点A观测从光束刚发射开始计时到光束运动该位置所用的时间。由方程可得0000000000000000ARCSINARCSINARCSINARCSINRVRVVTGTVCVCRCRVRVVTVCVCR当0R时，根据洛必达法则得80000000000000000000022000002020002011ARCSINARCSINLIMLIM111ARCSINARCSINLIM1111LIM11LIM111RRRRRVVVTVCVCRTRVVVTVCVCRRVTVRVVTCRRTVVTCRTVC由上述所得可以知道，当半径0R时，就是我们所熟悉的形式。当光束从A点发射后的任意一段B点所观测到的时间段T，都有A点所观测到的相应的时间段与之对应，并且有关系式000000000000000000000000ARCSINARCSINARCSINARCSINARCSINARCSINRVRVVTTVCVCRRVRVVRVRVVTTGTTTTVCVCRVCVCR所以有0000000000ARCSINARCSINRVVRVVTTTTVCRVCR当0R时，根据洛必达法则得900000000000000022000000000020200000011ARCSINARCSINLIMLIM1111111LIM1LIM11RRRRVVVVTTTVCRVCRTRVVTTTVRVRVVVVTTTCRCRRTTVVVVTTTCRCR2200020111TVVTTCRTVC由此可知，当0R时，光束从A点所发射后的以后任意一段B点所观测的时间段和与之对应的A点所观测到的相应的时间段T之间的关系都是2011TVC。当0R为有限大小时，因为B点观测的时间与A点观测的时间的关系是00000000ARCSINARCSINRVRVVTTVCVCR，两边取微分得200011TTVVTCR当T趋近于零时，TT趋近于2011VC，也就是我们所熟悉的2011TTVC。而光束从A点发射后的任意一段B点所观测到的时间段与A点所观测的与10之对应的相应的时间段T的关系可由下式得出0000000000000000ARCSINARCSINARCSINARCSINRVRVVTTVCVCRRVRVVTTTTVCVCR得00000000002200000000000000ARCSINARCSINARCSIN11RVVRVVTTTTVCRVCRRVVVVVVVVTTTTTTVCRCRCRCR点B在坐标中观测到的光的轨迹方程为00000000000000000000000000000COS,0ARCSINCOSCOSCOS,ARCSINSIN,0ARCSINSINSINSIN,VRVRGTTTRVCVXTRGTWTRGTTVRVRGTRTTRVCVRVRGTTTRVCVYTRGTWTRGTTVRGTRTR当当当当000ARCSINRVTVC又因为二维空间求曲线长度的公式为22XTYTDT，代入即得220TXMYMDM，而其意义为点B观测光束从A点发射经过T时间后所走的路程的大小，有根据光速不变原理得出该路程长度的大小是CT，所以220TXMYMDM必然等于CT，也可由下面的计算得到证明。为简单说明，这里只证明当0000,0ARCSINRVRGTTVC时即由已知的,XTYT，可得00000000000000000000COSARCSINCOSSINARCSINSINCOSARCSINSINSINARCSINCOSVVVVVVXTCTTCTTRCRRCRVVVVVVYTCTTCTTRCRRCR得222XTYTC11所以22200TTXMYMDMCDMCT当光束沿OA方向向外发射时，可得方程220000TVCVGMDMGTR，其解为000000SINARCSINRCVVGTTRVRC当光束垂直于圆周面向上发射时，可得方程2200TCVDMGT，其解为220GTCVT这两种情况的性质可以仿照第一个例子得出，这里不再详细说明了。由上面三个例子我们把它推广到更一般的情况，当光沿垂直于A点运动方向的平面且与AO成角时（这里规定沿运动方向上看，逆时针与AO夹角为）。设GT是点B观测光束运动到的位置相对于点A沿发射方向运动路程的大小，而此时此处的切向速度大小为000COSVFTVGTR，据此可列积分方程220000COSTVCVGMDMGTR，解得000000COSSINARCSINCOSCOSRRCVVGTTVRC所以当02，点B观测到的光束轨迹方程为120000000000000000000000000COSCOS,0ARCSINCOSCOSCOSCOSCOS,ARCSINCOSCOSSIN,0ARCSINCOSCOSSINCOSVRVRGTTTRVCVXTRGTTVRVRGTRTTRVCVRVRGTTTRVCVYTRGTTRGTR当当当00000SIN,ARCSINCOSSINVRVTTRVCZTGT当当2时，点B观测到的光束轨迹方程为000000COSCOSCOSSINSINVXTRGTTRVYTRGTTRZTGT又因为求三维空间曲线长度的公式为222XTYTZTDT，其意义也为点B观测光束从A点发射开始计时经过T时间后所走的路程的大小，因为光速不变，于是所走的路程的大小也为CT，所以2220TXMYMZMDM必然等于CT，它也可以由下面的计算证明，为简单起见，这里只证明当02，0000ARCSINCOSRVTVC时由已知的,XTYTZT可得出00000000000000000000000COSCOSCOSCOSARCSINCOSSINARCSINSINCOSCOSCOSCOSARCSINSINSINARCSINCOSCOSSINCOSARCSINVVVVVVXTCTTCTTRCRRCRVVVVVVYTCTTCTTRCRRCRVVZTCTRC13222200TTXMYMZMDMCDMCT所解GT以及与TT与的关系的性质这里就不详细说明了可以仿照第一个例子。以上就是本文所讨论的主要问题，在这里需要说明一点的是，更一般情况的000000COSSINARCSINCOSCOSRRCVVGTTVRC，当0,时，可以很明显的看出与前两个例子一样，但当2时第三个例子解为220GTCVT，更一般情况的解为，根据洛必达法则得200000020000002000000020002COS|SINARCSIN|COSCOSCOSSINARCSINLIMCOSCOSSINCOSARCSINLIMSINCOSLIMCOSARCSINCOSARCSINRRCVVGTTVRCRCVVRTVRCRCVVVTTVRCRVVCTTRCVCT0C令0ARCSINVC，则0SINVC，又00VC所以20COS1VC所以原式222001VCTCVTC，与第三个例子的解一样。我们再来介绍一下当更一般情况的切向速度FTC时会出现什么情况当FTC时，即000COSSINARCSINVVFTCTCRC14得000000000000COSCOSARCSINCOS0ARCSIN,022COSCOSARCSINCOS0ARCSIN,022VVVVTTRCCRVVVVTTRCCR当由于0当由于0所以0000000000ARCSINCOS0COS2COSARCSINCOS0COS2COSVRRCTVVVRRCTVV当当得000000COS0COSCOSCOS0COSCOSRCRVGTRRCV当当第三节研究对象的第二种解决方法为更清楚了解所列常微分方程的正确性，我们来用2220TXMYMZMDMCT成立的必然性来推导GT所满足的条件（GT与更一般情况的意义相同）。由此可得B点观测到的光的轨迹方程，同样为了简单起见，这里只介绍当0COSRGT，02时0000000000000000COSCOSCOSCOSCOSCOSSINSINCOSSINSINVVVXTRGTTRTGTTRRRVVVYTRGTTRTGTTRRRZTGT得000000000000000000SINCOSCOSSINCOSCOSSINCOSCOSCOSSINVTVTVVTXTVGTGTRRRRVTVTVVTYTVGTGTRRRRZTGT所以有152222222222000000000222000000000000000222200000SINCOSCOSSINCOS222SINCOSCOSSINCOSCOSCOSSINCOSSINVTVTVVTXTVGTGTRRRRVTVTVVTVVTVTVGTGTGTGTRRRRRRRVTVTYTVGTRR22222000022200000000000000022COSCOSCOS222SINCOSCOSCOSCOSCOSCOSSINSINVVTGTRRVTVTVVTVVTVTVGTGTGTGTRRRRRRRZTGT222222222000002COSCOSVVXTYTZTVGTGTGTRR22000COSVGTVGTR又2220TXMYMZMDMCT对其两边关于T求导得所以22000COSVGTVGTCR因为GT是随着时间T增加的所以可得22000COS,VGTCVGTR又因为根据GT的意义，所以GT在,0上为零，所以有220000COSTVGTCVGMDMR，由此说明更一般情况所列的常微分方程及所解GT正确。文章的最后，我们再来补充一个简单的例子，方法也是利用上面的方法16如图3，图3点B以半径为0R，速度为0V绕圆心O做匀速圆周运动，点O沿OX轴发射光线。当以点B为参照物时，点B所观测到的光的轨迹是怎样的此时坐标轴相对点B静止。同样设一个函数GT，其意义为在点B上所观测的光束运动所到位置相对与点O沿点O发射光束方向的距离的大小。所以可列积分方程220TCFMDMGT，其中00VFTGTR为切向速度的大小，解得0000SINRCVGTTVR所以可得点B观测到的光的轨迹为0000COSSINVXTGTTRVYTGTTR当为更一般情况时，可列积分方程如下220TCFMDMGT，其中00COSVFTGTR为切向速度的大小，解得0000COSSINCOSRCVGTTVR可得点B观测到的光的轨迹为0000COSCOSCOSSINSINVXTGTTRVYTGTTRZTGT17结束语通过上述的全面讨论，我们得出以OB为参照物时A点沿垂直于本身运动方向发射光束所历经的时间关系（T与T）及发射后任意关系时间差（T与T），并且也可得出在本文所讨论的以B点为参照物A点上的某事件发生总不脱离A点，则在点B观测任意时间段与A点所观测的相应的固有时间段的关系始终为2011TTVC，而本文所讨论的之所以会变化，是因为在B点观测到的光速的切向速度FT是变化的，并且随着的变化而有所不同的变化。18参考文献【1】爱因斯坦（EINSTEIN,A）狭义与广义相对论浅说第一版北京大学出版社200611【2】爱因斯坦相对论第一版重庆出版社2006111【3】爱因斯坦相对论第一版北京出版社2007101【4】RIESS,AG,ETALASTRONJ116,10091998【5】PERLMUTTER,S,ETALASTROPHYSJ517,5651999【6】SPERGEL,DN,ETALASTROPHYSJSUPPL148,1752003【7】TEGMARK,M,ETALPHYSREVD69,1035012004【8】CALDWELL,RR,DAVE,R,STEINHARDT,PJPHYSREVLETT80,15821998【9】SAHNI,V,STAROBINSKY,AAINTJMODPHYSD9,3732000【10】MAARTENS,RLIVINGREVRELAT7,72004【11】PIETRONI,MPHYSREVD67,1035232003【12】BENTO,MC,BERTOLAMI,O,SEN,AAPHYSREVD67,0630032003【13】BERTOTTI,B,IESS,L,TORTORA,PNATURE425,3742003【14】CAPOZZIELLO,SINTJMODPHYSD11,4832002【15】CARROLL,SM,DUVVURI,V,TRODDEN,M,TURNER,MSPHYSREVD70,0435282004【16】COGNOLA,G,ELIZALDE,E,NOJIRI,S,ODINTSOV,SD,ZERBINI,SJCAP0502,0102005【17】BREVIK,I,NOJIRI,S,ODINTSOV,SD,VANZO,LPHYSREVD70,0435202004【18】CARROLL,SM,ETALPHYSREVD71,0635132005【19】NOJIRI,S,ODINTSOV,SDPHYSREVD68,1235122003【20】NOJIRI,S,ODINTSOV,SDARXIV080706852007【21】CLIFTON,T,BARROW,JDPHYSREVD72,1030052005【22】NOJIRI,S,ODINTSOV,SDPHYSREVD74,0860052006【23】NOJIRI,S,ODINTSOV,SDPHYSLETTB657,2382007【24】NOJIRI,S,ODINTSOV,SDARXIV07101738【25】DOLGOV,AD,KAWASAKI,MPHYSLETTB573,12003【26】FARAONI,VPHYSREVD74,1040172006【27】SAWICKI,I,HU,WPHYSREVD75,1275022007【28】AMENDOLA,L,GANNOUJI,R,POLARSKI,D,TSUJIKAWA,SPHYSREVD75,0835042007【29】AMENDOLA,L,POLARSKI,D,TSUJIKAWA,SPHYSREVLETT98,1313022007【30】CAPOZZIELLO,S,NOJIRI,S,ODINTSOV,SD,TROISI,APHYSLETTB639,1352006【31】EVANS,JD,HALL,LMH,CAILLOL,PPHYSREVD77,0835142008【32】CHIBA,TPHYSLETTB575,12003【33】KHOURY,J,WELTMAN,APHYSREVD69,0440262004【34】CAPOZZIELLO,S,TSUJIKAWA,SPHYSREVD77,1075012008【35】FAULKNER,T,ETALPHYSREVD76,063505200719【36】CAPOZZIELLO,S,STABILE,A,TROISI,ACLASSQUANTGRAVIT25,0850042008【37】CAPOZZIELLO,S,STABILE,ACLASSQUANTGRAVIT26,0850192009【38】CHIBA,T,SMITH,TL,ERICKCEK,ALPHYSREVD75,1240142007【39】NOJIRI,S,ODINTSOV,SDARXIVHEPTH/06110712007【40】NOJIRI,S,ODINTSOV,SD,STEFANCIC,HPHYSREVD74,08660092006【41】NOJIRI,S,ODINTSOV,SDGENRELATGRAVIT36,17652004【42】KAGRAMANOVA,V,KUNZ,J,LAMMERZAHL,CPHYSLETTB634,4652006【43】STEPHANI,HRELATIVITYANINTRODUCTIONTOSPECIALANDGENERALRELATIVITYTHIRDENGLISHEDISIONCAMBRIDGEUNIVERSITYPRESS,CAMBRIDGE2004【44】DARWIN,CPROCRSOCLONDA249,1801959【45】WEINBERG,SGRAVITATIONANDCOSMOLOGYWILEY,NEWYORK1972【46】CLAUDEL,CM,VIRBHADRA,KS,ELLIS,GFRJMATHPHYS42,8182001【47】ATKINSON,RASTRONJ70,5171965【48】OHANIAN,HCAMJPHYS55,4281987【49】VIRBHADRA,KS,ELLIS,GFRPHYSREVD62,0840032000【50】BOZZA,V,CAPOZZIELLO,S,IOVANE,G,SCARPETTA,GGENRELATIVGRAVIT33,15352001【51】FRITTELLI,S,NEWMAN,ETPHYSREVD59,1240011999【52】FRITTELLI,S,KLING,TP,NEWMAN,ETPHYSREVD61,0640212000【53】PERLICK,VPHYSREVD69,0640172004【54】PERLICK,VLIVINGREVRELATIV7,92004【55】NEMIROFF,RAMJPHYS61,6191993【56】BOZZA,VPHYSREVD78,1030052008【57】LUMINET,JPAA75,2281979【58】HOLZ,DE,WHEELER,JAAPJ578