微分学中值定理毕业论文

I摘要微分学中值定理是微分学的核心内容，是数学分析中一个重要部分，占有举足轻重的地位，作为学习数学的我们，学习微分学是学习数学的基础，可以使我们更好的掌握和学好数学分析微分学中值定理包括四个定理，即罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理，本文讲述了各定理的概念以及各定理之间的内在联系，中值定理的认识和学习尤为重要，通过我们认真学习掌握了微分中值定理的本质和意义与此同时，微分中值定理的应用也至关重要，一般来说，微分学中值定理的基础应用主要有四个方面讨论方程根（零点）的存在性，近似值，不等式的证明，等式的证明，通过这四个方面的应用，我们可以深层次的挖掘微分中值定理的意义，再次研究微分中值定理的性质，对研究生的学术研究颇为重要关键词等式证明不等式证明方程根（零点）存在性近似值IIABSTRACTVALUETHEOREMINDIFFERENTIALCALCULUSISTHECORECONTENTOFDIFFERENTIALCALCULUS,ISANIMPORTANTPARTINMATHEMATICALANALYSIS,OCCUPIESANESSENTIALPOSITION,ASWEWILLLEARNMATH,LEARNINGMIDVALUETHEOREMISTHEBASISOFLEARNINGMATHEMATICS,DIFFERENTIALCALCULUSENABLESUSTOBETTERGRASPANDLEARNMATHEMATICSANALYSISTHISTHESISHASBEENINTRODUCEDFOURDIFFERENTTHEOREMS,INCLUDINGLAGRANGETHEOREMANDCAUCHYMIDVALUETHEOREMTAYLORMEANVALUETHEOREMANDTHEINTERNALRELATIONSBETWEENTHETHEOREMBYTHEUNDERSTANDINGOFVALUETHEOREMINDIFFERENTIALCALCULUSANDSTUDYING,WEHAVEMASTEREDDIFFERENTIALMEANVALUETHEOREMANDINALLASPECTSOFTHEAPPLICATION,THEAPPLICATIONOFVALUETHEOREMINDIFFERENTIALCALCULUSAREFOREXAMPLE,PROVEDTHATWHENANINEQUATIONDISCUSSTHEEXISTENCEOFTHEEQUATIONROOTZEROPOINTANDTHEAPPLICATIONOFAPPROXIMATIONANDSOFORTHTHROUGHTHESEFOURASPECTSOFAPPLICATION,WECANDEEPLYDIGTHEMEANINGOFTHEDIFFERENTIALMEANVALUETHEOREM,TOLEARNTHEPROPERTIESOFDIFFERENTIALMEANVALUETHEOREM,AGAINFORTHEGRADUATESTUDENTSACADEMICSTUDIESARESIGNIFICANTKEYWORDSEQUATIONTOPROVEINEQUATIONTOPROVETHEDISCUSSIONOFTHEROOTSZEROINEXISTENCEAPPROXIMATEVALUEIII目录摘要IABSTRACTII1引言12微分学中值定理的定义121预备知识122费马引理223罗尔中值定理324拉格朗日中值定理425柯西中值定理626泰勒中值定理103微分学中值定理之间的关系104微分学中值定理的应用1141罗尔定理的应用1142拉格朗日中值定理的应用1343柯西中值定理的应用1644泰勒中值定理的应用18结束语20参考文献21致谢22咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）11引言微分学中值定理的研究开始于17世纪初期，起初由著名数学家费马提出了费马引理，那时候人们已经对微分学中值定理有了初步的了解，逐渐地，人们对费马引理不断的探索和研究，由著名数学家罗尔，柯西，拉格朗日和泰勒将微分学中值定理推向高潮，继而出现了罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理和泰勒中值定理，这几位著名的数学家为数学的发展奠定了坚实的基础，贡献了他们毕生的心血，同时也在数学领域占有优越的地位，为人类创造了不可估量的前景和趋势所以，探索和研究微分学中值定理是学习数学的基础，微分学中值定理是微分学的核心内容，乃至是数学中的一个重要部分现如今，人们对微分学中值定理问题的研究特别感兴趣，并且研究的结果令人非常满意，成果充实丰富，中值定理在不同方面有着不同的应用不仅仅是数学分析，我们学习的高等数学中也有微分中值定理的相关知识，而且无论是对数学专业还是非数学专业的学子,或者是研究生入学考试还是更深层次的学术型研究都会涉及到微分中值定理，微分中值定理不可忽视因此，我们有必要研究有关微分学中值定理,作为数学专业的学子，学习微分学是学习其他相关数学专业知识的新起点，可以让我们更好的掌握和学好数学分析，研究和探索微分中值定理，它揭示了函数的本质，函数的整体和局部相互联系，相辅相成此外,微分中值定理就像一座桥梁把函数和导数密切联系在一起，正如闭区间上的实函数与其导函数，微分中值定理是微分学不可分割的一部分，我们将四个基本的中值定理统称为微分学中值定理本文按照三大部分来写，主要讲述了四个定理的定义及证明过程，四个定理之间的内在关系，四个定理在不同方面的不同应用，利用微分中值定理来讨论一些方程根（零点）的存在性,对极限的求解问题，等式的证明，不等式的证明和近似值求解，通过这样的学习，我们才能真正理解微分中值定理，才可以将数学与生活联系在一起，达到人生的更高境界2微分学中值定理的定义21预备知识在学习微分学中值定理之前，我们先了解一些闭区间上连续函数的性质和相关定理微分学中值定理及其应用2最大最小值定理闭区间,BA，若函数XF在此区间上是连续的，则函数XF在此闭区间,BA上有最大值与最小值介值性定理在闭区间,BA上连续的函数XF,有BFAF，若为介于AF与BF之间的任意一个实数BFAF或AFBF，则在开区间,BA上至少存在一个点，使得F根的存在性定理在闭区间,BA上，函数XF是连续的，有AF与BF异号即0BFAF，则在开区间,BA上至少存在一个点，使得0F，即方程XF在开区间,BA内至少有一个实数根引理22（费马引理）在点0X的某个邻域内，设函数有定义，且在点0X处函数XF可以求导，若对于任意一点XV，使得0XFXF都成立，（或0XFXF），那么00XF证明设0X为函数XF的一个极小值点，那么就存在0，在开区间,00XX上，对于任意的一个点0X，使得0XFXF是成立的如果0XX，则000XXXFXF,如果0XX，则000XXXFXF取极限00LIM0XXXFXFMXX00LIM0XXXFXFNXX因为XF在点0X处可导，所以00LIM0XXXFXFNMXX根据极限的局部保号性有0,0NM，因此0NM故有0LIM000XXXFXFXX即00XF证毕费马引理的几何意义在平面直角坐标系XOY中，函数XF的曲线如图所示，在曲线XF上，若有一点,FA,在这一点存在一条切线，且为它的一个极值点，则这一点的切线与X轴是相互平行的咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）3YAB12X定理23（罗尔中值定理）如果函数XF满足以下三个条件（1）XF在闭区间,BA上连续；（2）XF在开区间,BA上可导；（3）BFAF，则在开区间,BA内，至少存在一个点，使得0F证明因为在闭区间,BA上，函数XF是连续的，根据最大值与最小值定理，此函数有最大值和最小值，分别用MM,表示，现在讨论分两种情况（1）当MM时，则函数XF在闭区间,BA上必为一个常数，此结论是成立的（2）当MM时,则因为BFAF，有最大值M与最小值M至少有一个在开区间,BA内某一点处取得，因此是XF的一个极值点，又因为条件（2），函数XF在点处可以求导，所以，根据费马引理我们可以知道0F证毕罗尔中值定理的几何意义在平面直角坐标系XOY中，连续函数XF的曲线如图所示，若XF满足罗尔中值定理的三个条件，则连续函数曲线XFY上至少存在一个点,FP，使得在点P处的一条切线与X轴相互平行，其,BFBBAFAA微分学中值定理及其应用4YPABX定理24（拉格朗日中值定理如果函数XF满足以下两个条件（1）XF在闭区间,BA上连续；（2）XF在开区间,BA上可导，则在开区间,BA内至少存在一个点，使得ABAFBFF证明法一（构造函数法）构造辅助函数令KXXFXF，其中ABAFBFK因为,函数XF在闭区间,BA上是连续的，在开区间,BA上是可以求导的，所以,我们可以知道函数XF也满足连续和可导这两个条件，且我们还知道BFAF，因此，函数XF也满足罗尔中值定理的三个不同的条件，即函数XF在开区间,BA内至少存在一个点，使得0KFF即咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）5ABAFBFF证毕法二（行列式法）构造辅助函数令111XBAXFBFAF，则有XBXFBFXAXFAFBABFAFXFXBFBXFXAFAXFBAFABFBAFABFBFAFXXFBA由此可知，XF在闭区间A,B上是连续的111111111XBAXFBFAFXBAXFBFAFXBAXFBFAFXF00111XBAXFBFAF11AXFAFBXFBFXFAAFXFBBFBFAFXFBA由此可知，XF在开区间,BA上是可以求导的又由0111ABAAFBFAFAF，0111BBABFBFAFBF可知0BFAF由此根据罗尔中值定理可知函数XF满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一个点,AB，使得微分学中值定理及其应用60FABFFAFB故FBFAFBA证毕拉格朗日中值定理的几何意义在平面直角坐标系XOY中，函数XFY的曲线如图所示，函数XFY上至少存在一个点,PF，曲线在该点处的一条切线与曲线两个端点BA,的连线是相互平行的Y,PFBAXFYAFXFYABAFBFYXAB定理25（柯西中值定理）如果函数XF和XG满足以下条件（1）XF，XG在闭区间,BA上连续；（2）XF，XG在开区间,BA上可导；（3）FX，GX不同时为零；（4）BGAG，则存在一个点,AB，使得咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）7FFBFAGGBGA证明法一（构造函数法）构造辅助函数XKGXFXH，其中AGBGAFBFK已知XF，XG是连续且可导的函数，因此函数XH也在区间BA,上连续且可以求导，此外有BHAH，因此我们根据罗尔中值定理的条件可以推知，至少有一个点,AB，有0GKFXH即FKG故得FFBFAGGBGA证毕法二（行列式法）构造辅助函数令111XBAXFBFAFXGXGBGXFBFXGAGXFAFBGAGBFAFXGBGXFXGBFAGXFXGAFAGBFBGAFAGBFBGAFXGBFAFXFBGAG由此可知XG在闭区间,BA上是连续的微分学中值定理及其应用8111111111XGBGAGXFBFAFXGBGAGXFBFAFXGBGAGXFBFAFXG00111XGBGAGXFBFAFXFAGXGAFXFBGXGBFXGBFAFXFBGAG由此可知XG在开区间,BA上可以求导的因为0111AGBGAGAFBFAFAG0111BGBGAGBFBFAFBG所以0BGAG由此可知，根据罗尔中值定理XG满足罗尔中值定理的三个条件，那么至少有一个点,AB，使得0GGAGBFFAFBG使得FFBFAGGBGA证毕柯西中值定理的几何意义在平面直角坐标系UOV中，函数图像如图所示，把函数XF和XG写作以X为参数的两个参数方程，即XGU，XFV其中X为U，V的参数，且BXA，在UOV平面上表示一段连续曲线，存在一个点,CFCGC在这条曲线上，使得曲线过这一点的一条切线与过曲线两端点咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）9,AFAGA和,BFBGB的连线是相互平行的YCBAX定理26（泰勒中值定理）如果函数XF在0X的某个邻域U内存在1N阶导数，对任意的一个数0XUX，则函数TG在以X与0X为端点的闭曲线I上是连续的，在其开区间内导函数是存在的，并且有0TG，则在X与0X之间至少存在一个点，使得00100000XGXGXXGNFXXNXFXXXFXFXFNNN其中001XGXGXXGNFXRNNN证明XF的泰勒多项式XTN可表示为NNNXXNXFXXXFXXXFXFXT200200000NNTXNTFTXTFTXTFTFTF22NNNNTXNTFTXNTFTXTFTXTFTFTFTF111微分学中值定理及其应用10NNTXNTF1根据已知条件我们可以看出函数TF与TG在闭区间I上是连续的，在其开区间内导函数是存在的，又知道0TG，并且我们可以得出XFXF根据柯西中值定理有在X与0X之间至少存在一个点，使得00100000XGXGXXGNFXXNXFXXXFXFXFNNN其中001XGXGXXGNFXRNNN证毕以后学习中用的较多的是泰勒公式在00X时的特殊形式,即020002NNNXOXNFXFXFFXF称为麦克劳林公式3微分学中值定理之间的关系我们已经学习和掌握了微分学四大中值定理，对各中值定理已经有了一定的了解，并且知道各中值定理的定义，证明过程和方法，各定理所表示的几何意义，通过对中值定理的学习，我们不难发现各中值定理之间是相互联系的，那它们之间具体有什么样的关系呢我们又该如何来探讨呢我们要解决这个问题必须通过一定的方法和手段，在此我们借用推广和收缩的手段进行探讨，这有利于我们深层次学习微分中值定理通过仔细观察和类比，我们从中可以观察到，罗尔中值定理与拉格朗日中值定理只差一个条件，即BFAF，拉格朗日中值定理加上条件BFAF就变成了罗尔中值定理相反地，如果在罗尔中值定理中减掉条件BFAF的话，显然该定理就变成为了拉格朗日中值定理通过这一发现，可以得到这样的一个结论罗尔中值定理通过推广变成了拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理通过收缩变成了罗尔中值定理，两者咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）11之间的关系如同特殊与一般的关系，即由特殊到一般，又由一般到特殊我们再来观察拉格朗日中值定理与柯西中值定理，用同样的观点来探讨两者之间的关系，先来观察柯西中值定理，假设柯西中值定理中的XXG的话，这样一来，拉格朗日中值定理与柯西中值定理的关系显而易见，两者之间的关系也是一般与特殊的关系，借用推广与收缩的手段，即柯西中值定理通过收缩变成了拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理通过推广变成了柯西中值定理，两者关系密切而对于比较复杂的函数，为了便于探索和研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达因此，用多项式逼近函数已成为近似计算和理论分析的一个重要内容，泰勒中值定理是这一定理理论的基础，由柯西中值定理可以推出泰勒中值定理，泰勒中值定理在一阶导数的情况下就是拉格朗日中值定理总的来说，四个中值定理共同形成微分学的核心内容，它们之间相辅相成，关系密切，不可分割我们从上面的讨论中可以总结出罗尔中值定理为微分学奠定坚实了的基础，而拉格朗日中值定理也同样重要，是微分学的核心知识，那么柯西中值定理是这一部分内容的推广再应用，柯西中值定理在求极限时的可以利用罗比达法则如果我们从几何意义上来看微分学中值定理的话，那么它们之间又是如何的呢若用几何解释即“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，并且存在的切线于X轴相交的夹角不为直角；总而言之，这一类曲线具有共同的性质，即在曲线上有一个点，在这一点的一条切线与曲线端点的连线是相互平行的”4微分学中值定理的应用四大中值定理的应用尤为广泛，在我们的平时学习中，主要有等式证明、不等式证明、讨论方程根（零点）的存在性、求解近似值等方面的应用下面通过具体的例题来学习中值定理，更好地应用微分中值定理，为我们的学习奠定良好的基础41罗尔定理的应用罗尔中值定理是微分学中值定理的基础，学习罗尔中值定理有利于我们学习其它中值定理，同样也是解决各类中值问题的依据和工具,利用罗尔中值定理微分学中值定理及其应用12解决问题步骤如下1,0AB是标准形式，通过变形解决问题2构造辅助函数法，函数XF使得等式,0AB正如0F一般情况下,将,0AB看作的函数求其原函数,就可以得出所需的函数XF3验证BFAF（或BFAF）,这一步很简单,在构造辅助函数XF时就已经考虑到了例4,11设函数XF在,A上是连续的，在,A内导函数存在，且LIMXFXFA，则至少存在一个点,AX，有0F证明令TAX11，则11ATX即可得到关于T参数的方程11ATT当,XA时，则1,0T即01,LIMTAT再令TGTFXF所以00LIMLIMLIM11TTXGTFTFXFAFG又因为00LIMTGGT,所以10GG由此可知在1,0上连续，在1,0内可导，并且10GG则根据罗尔中值定理可知，至少存在一个点1,0，有0G令，有0F，而012因此至少存在一点,A，使得0F例412（等式证明）设函数XF在,BA上连续，在,BA内可导，且有0BFAF，求证在0,ABA内至少存在一个点，有FF证明作辅助函数令XEXFXF则函数XF在,BA上连续，在,BA内可导,又知0BFAF，满足罗尔咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）13中值定理的条件，则至少存在一点,BA，有0EFFEFEFF又因0E所以0FF即FF例413（根的存在性证明）设4,3,2,1NIRBI，且满足以下这个程0132210NBBBBN，证明方程010NNXBXBB在1,0内至少有一个实根证明作辅助函数132210132NNXNBXBXBXBXF则01,00FF,在1,0上连续，在1,0内可导，故由罗尔中值定理可知，那么存在一个点1,0，有0F又010NNXBXBBXF由此即知原方程在1,0内有一个实数根例414设343123211211XXXXXXXF，证明存在一点1,0，使得0F证明由于XF在闭区间,BA上是连续的，且在开区间,BA内导函数存在又有03312211110F，01211111011F根据罗尔中值定理的三个条件，故存在一个点,BA，有0F42拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理应用也很广泛，因为它对函数的要求不是很高，应微分学中值定理及其应用14用拉格朗日中值定理与罗尔中值定理证明问题的方法类似，只是拉格朗日中值定理的应用变形稍微多样一点例421设函数XF在闭区间,BA上是连续的，在开区间,BA内导函数存在，且有1BFAF，证明存在两点,BA，有1FFE证明将要证明的式子变形为EFFE设XFEXFX，根据拉格朗日中值定理，则在,BA内存在一个点，有FABAFBF又因AAEAFEAF，BBEBFEBFFEFEF所以BAEEEFEFEFFBA设XEXG，根据拉格朗日中值定理，则存在一点,BA，使得EABEEAB即FFEE故证得1FFE例422设函数XF在闭区间,BA上存在二阶导函数，有0BFAF，并且存在一个点,BAH，有0HF，试证至少存在一个点,BA，使得0F证明因为函数XF在,BA上存在二阶导函数，则可知在闭区间,HA，,BH上均存在二阶导函数，根据拉格朗日中值定理得咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）15存在一个点,1HA，使得01AHAFHFF存在一个点,2BH，使得02HBHFBFF而导函数XF在,21BA，同样可得01212FFF故0F例423（近似值求解）求解近似值970解设函数XXF，令10X，XXX0即970X，030X根据拉格朗日中值定理可得，存在一个点1,970有0309701FFF则9850030211970例424（根的存在性证明）设函数XF在区间,A上连续，且AX时，0MXF，M为一常数，又有0AF，试证明方程0XF在区间,MAFAA内有唯一的实根证明根据题目条件和连续函数的性质，对函数XF在闭区间,MAFAA上应用拉格朗日中值定理，则AFMMAFMAFAFMAFAFMAFAF因而0MAFAF,又知0AF，根据连续函数介值性定理可知，存在一个点,MAFAA，有0F又因,0XAXF故函数XF在闭区间,MAFAA上严格单调递增，从而方程0XF在区间微分学中值定理及其应用16,MAFAA内有唯一实根43柯西中值定理的应用柯西中值定理中包含两个不同的函数,因此柯西中值定理的应用要比罗尔定理与拉格朗日中值定理的应用复杂一些,需要强调的一点是，我们如何才能找出这两个不同的函数，使得这两个不同函数满足柯西中值定理的几个已知条件,并且证明过程相对来说比较简单，柯西中值定理的应用要与其他定理联系在一起，所以解决问题时要分层次去进行若待证公式0,BA明显地可表示为ABAFBF,则很可能就是GF,因而可应用柯西中值定理431（等式证明）设BA0，函数XF在闭区间,BA上连续，导函数存在，则存在一个点,BA，有ABFAFBFLN证明令XXGLN，则0XG，并且XF，XG在闭区间,BA上连续，在开区间,BA上存在导函数，由柯西中值定理可知，即存在一个点,BA，有ABAFBFGFLNLN即ABFAFBFLN例432（不等式证明）设0X，对10的情况，求证1XX分析做商法，做差法是证明不等式的常用方法，对于该题目，我们观察可知如果直接应用做差或做商的显然是不行的我们是否可以通过变形，再应用做商或做差呢通过分析这个不等式，不难发现当1X时，等式两边就相等了，因此，我们需要分类讨论用构造辅助函数法去解决该问题行之有效证明当1X时结论显然成立当1X时，取1,X或,1X，在该区间设XXF，XXF咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）17根据柯西中值定理，有11FFFXFFXF1,X或,1X即111XX当1X时1,X，11即11XX又01XX故XX1即11X当1X时,1X，11则01XX故XX1即证得11X例433（等式证明）设NM,均大于零，且NM，证明存在一点,NM，使得1NMENEMEMN证明把要证明的式子变形为MNNMEMNNEMEMN1,有EMNMENEMN111从而有EMNMENEMN111令XEXFX，XXG1微分学中值定理及其应用18根据柯西中值定理，我们知道存在一个点,NM，有EEMNMENEMN1111故证得1NMENEMEMN44泰勒中值定理的应用例441设（1）XF，XF在闭区间,BA上连续；（2）XF在开区间,BA内存在；（3）0BFAF；（4）在开区间,BA内存在一个点N，有0NF，求证在开区间,BA内存在一个点，有0F证明根据题目的已知条件可知，存在一个点,0BAX，使得函数XF在0XX处取得最大值，并且根据条件4可知，00XF，那么0XX也是极大值点所以00XF由泰勒公式有20002FXAXFXFAF，,0XA故0F例442求XEXF的麦克劳林公式解因为XKEXF（NK,3,2,1,0）10000EFFFNXNEXF1则121211NXNXXNENXXXE10近似公式2112NXXXENX咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文（设计）19又11NXNXNEXR另外，我们有函数XEY的一些近似表达式XY1，2211XXY例443用泰勒多项式逼近正弦函数XSIN，其误差不超过310，以1M和2M两种情况分别讨论X的取值范围解（1）当1M时，XSIN，使其误差满足33321063COSXXXXR得18170X（弧度）（2）当2M时，6SIN3XXX，使其误差满足35541055COSXXXXR得65430X（弧度微分学中值定理及其应用20结束语学习了微分学中值定理,我们了解了四大中值定理的基本内容,即罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西