乘数加速数模型的数学分析

本科生毕业论文（设计）题目乘数加速数模型的数学分析系部数学系学科门类理学专业数学与应用数学学号0807110115姓名董耀平指导教师李美蓉2012年2月28日装订线合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）I乘数加速数模型的数学分析摘要乘数加速数模型就是运用乘数原理和加速原理相互作用的机制，分析经济周期性波动的理论模型。对于从数学角度来分析乘数加速数模型的解和稳定性以及对其进行相关拓展是一个难点。本文首先引入乘数加速数模型的一个产生和发展背景；然后，对萨缪尔森乘数加速数模型从经济控制论角度去求解，并通过差分方程的知识来研究其周期性和稳定性；最后，将模型进行拓展和改进，凯恩斯消费函数变为弗里德曼永久收入假说，投资函数变为希克斯经济周期模型中的投资函数，证明改进的乘数加速数模型是希克斯经济周期模型的延伸。关键词乘数加速数模型；希克斯经济周期模型；永久收入假说；经济控制合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）IIABSTRACTMULTIPLIERACCELERATORMODELISAMODELWHICHISDESIGNEDTOANALYSISTHECYCLICFLUCTUATIONOFECONOMYBYUSINGTHEMECHANISMOFMULTIPLIERACCELERATORINTERACTIONBUTITISADIFFICULTPOINTTOANALYSISTHESOLUTIONANDSTABILITYOFMULTIPLIERACCELERATORMODEL,ALONGWITHDOINGSOMERELATEDEXPANSIONFROMTHEASPECTOFMATHEMATICSFIRSTLY,THEPAPERINTRODUCESTHEMODELSGENERATEDANDDEVELOPMENTALBACKGROUNDSTHEN,THEPAPERWILLSOLVEMULTIPLIERACCELERATORMODELBYECONOMICCYBERNETICSANDDISCUSSITSPERIODICITYASWELLASSTABILITYBYMEANSOFDIFFERENTIALEQUATIONSATLAST,THEPAPEREXPANDSANDMODIFIESTHEMODELKEYNESSCONSUMPTIONFUNCTIONISINSTEADOFFRIEDMANSPERMANENTINCOMEHYPOTHESIS,THEINVESTMENTFUNCTIONINHICKSECONOMICCYCLEMODELTAKESTHEPLACEOFTHEINVESTMENTFUNCTIONWHICHISACKNOWLEDGEDBYSCHOLARS,THEPURPOSEISTOPROVETHATTHEMODIFIEDMULTIPLIERACCELERATORMODELISTHEEXTENDINGOFHICKSECONOMICCYCLEMODELKEYWORDSMULTIPLIERACCELERATORMODEL；HICKSECONOMICCYCLEMODEL；PERMANENTINCOMEHYPOTHESIS；ECONOMICCYBERNETICS装订线合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）III目录摘要ABSTRACT1引言12乘数加速数模型的解321状态空间模型的建立322齐次方程组的通解323状态方程的特解63乘数加速数模型的稳定性分析731理论准备732乘数加速数模型的稳定性分析74改进的乘数加速数模型的稳定性分析1041改进的乘数加速数模型的建立1142改进的乘数加速数模型的稳定性的参数解1143改进的乘数加速数模型的稳定性强弱判断12附录14参考文献15合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）11引言乘数加速数理论最初由法国经济学家阿夫塔里翁1（AFTALION,1909）和美国经济学家克拉克（CLARK,1917）提出，后经英国经济学家哈罗德（HARROD，1936）发展，他将英国经济学家凯恩斯（KEYNES，1936）的乘数原理与克拉克的加速数原理结合起来研究宏观经济的周期性波动，但哈罗德只是对宏观经济的一种表面性的解释，即定性分析；美国经济学家萨缪尔森（SAMUELSON，1939）在乘数和加速原理的相互作用2一文中提出的乘数加速数模型则是与之相对应的一种对经济波动进行定量分析的方法。该模型为TTTTYCIG11,01TTCY21,0TTTICC3其中TY、TC、TI和TG分别为T其国民收入、个人消费、个人投资和政府支出；、为正的常数，为边际消费倾向，为投资加速数例如通货膨胀率，表明消费量增加时投资将相应增加。目前，国内外对于乘数加速数模型的研究主要集中在以下方面梅茨勒3（MITCHELL,1946）将国民产出或收入视为一种“综合性产品”，提出著名的存货加速数模型。该模型考虑的生产活动方式比萨缪尔森的更切合实际。其模型为0TTTYUSI11,01TTTUCY1212,0TTTTSYCC其中TU为T时期生产者预期向消费者出售的部分，TS为T时期存货生产部分，0I为自主投资，为边际消费倾向，为存货加速数。英国经济学家希克斯（HICKS,1950）在乘数加速数模型的基础上作了适当修改，建立起了希克斯经济周期模型。他认为投资函数不应该是投资是当期与上期消费的函数，而是前两期收入之差的函数，即合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）2TTTTYCIG1,01TTCY12,0TTTIYY史密斯（SMITH）在希克斯模型的基础上，引入了货币政策因素，得到如下“经济增长与货币政策综合模型”TTTTYCIG1,01TTCY121,0,0TTTTIYYCRCTT1T1T1RRHHMH0，TT1THDYEJRD,E,J0，其中TY、TC、TI和TG分别为T其国民收入、个人消费、个人投资和政府支出；TR为T期利率，TH为T期货币需求量，TM为T期货币供给量，、HDEJC、均为正的常数。夏国忠41999在乘数加速数模型中加入了外贸部门，并利用模型测定主要经济模型内生波动的周期长度。黄国石51999通过对模型的修正，利用我国统计数据，建立投资模型，在此基础上应用最优控制的方法，设计出了投资的最优策略。张华嘉61999将实际固定资产投资按资金来源细分为五个部分，研究实际国内生产总值和实际固定资产投资对外来冲击的传导机制。刘纪芹72000，2001，2004改进了乘数加速数模型，并围绕模型的性质、能观性、能控性和反馈控制进行了分析。合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）32乘数加速数模型的解21状态空间模型的建立将（2）、（3）式代入（1）式并化简得GYY1YT2T1TT（4）令TCTX1，TITX2，TGTU，TYTY，则由此可得状态空间模型11TUTXTX（状态方程）5111TUTXTY（输出方程）52其中令A1，B，C11，21TXTXTX模型的框图如下图所示图1乘数加速数模型的控制论框图22齐次方程组的的通解8状态方程（51）的对应齐次方程为11TXTX（6）（6）式的特征方程为F|EA|121其判别式为4122当0或214时，特征方程有两个实根合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）421,212121,的特征向量分别为11，22所以齐次方程（6）的通解为222111TTAATX222111TTAA当0或214时，特征方程只有一个重特征根1221的特征向量为1212142114222所以齐次方程（6）有一特解121221TTTX假设齐次方程（6）有第二个特解2TTXT将上式代入齐次方程（6），得11TATTT化简，得ATAT上式对任意的T恒成立的条件是AA因是A的特征值，由第二式知，为A的特征向量，即有将其代入第一式，得合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）5A所以AE即121解得21所以，齐次方程（6）的第二个特解为TTXT2显然，1TX与2TX是线性无关的，故（6）式的通解为TTAATXATXATXTT1212211TAAAAAAT222121当0，所以第二式恒成立。故乘数加速数模型渐进稳定的充要条件为100下面讨论解的运动特征当0或214时，由上面的分析知，（8）式的齐次方程的通解为TTTAAY2211，其中21,AA为任意常数在方程8中令BYYY2T1TT,则0GBB1B）（即方程（8）的一个特解为10GBY故方程（8）的通解为102211GAAYYYTTTT，其中21,AA为任意常数又0,012121，所以0,021，即TY是非震荡的又因为0111111212121所以，21,只能有以下两种情况若1,121（即1）,则当T时,TY,即TY是发散的；若10,1021（即1）,则当T时,10GYYT,即TY是阻尼振荡且收敛于Y当0或214时,方程（8）式的通解为1043GTAAYTT，其中43,AA为任意常数合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）9）若10（即1）,则当T时,10GYYT,即TY是阻尼振荡且收敛于Y；）若1（即1），则当T时,TY,即TY是振荡的发散当0或214时,方程（8）的通解为1COSSIN065GTATARYTT，其中65,AA为任意常数）若1R（即1）,则当T时,10GYYT,即TY是有阻尼的单调递减；）若1R（即1）,则当T时,TY是振荡的单一和不收敛的；）若1R（即1）,则当T时,TY,即TY是振荡的和发散的由以上三种情况的稳定性分析可知TY的特性取决于边际消费倾向和投资加速数及它们之间的相互作用。为了形象描述乘数加速数模型周期波动的特点，现总结如下表1经济总量的特性与对应参数条件分类表10类型参数关系周期性稳定性特点014121无无单调递增发散1无有单调递减收敛114021无无递增发散1无有递减收敛114021有无增幅震荡发散1有无等幅震荡发散1有有减幅震荡收敛按照附录中的程序设计，对乘数加速数模型稳定性进行仿真，结果如图2所示11合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）10资料来源美蒋中一数理经济学的基本方法，767页，北京，商务印书馆，1999图2乘数加速数模型运动特征区域示意图表1的区域类型在图2中均一一对应，其收敛区域为、又10，故收敛区域为、在实际宏观经济中，资本主义经济呈现出周期波动的特征，故区域更加符合西方资本主义世界。在乘数加速数模型中，经济周期是由于内生机制导致的，但要使之产生经济周期，必须假定一开始的收入变化，内生和外生在模型中得到了统一。在萨缪尔森看来，乘数加速数模型“显示了一种类似钟摆运动的机制，外部冲击通过一定循环方式在经济内部延绵传递”，外部冲击和内在机制同样重要。合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）114改进的乘数加速数模型的稳定性分析41改进的乘数加速数模型的建立自从20世纪40年代末，库兹涅茨等人根据历史消费与收入的数据提出“消费之谜”以来，经济学者构建了各种各样的消费函数，其中以莫迪利安尼的生命周期假说和弗里德曼的永久收入消费假说最为著名。其中莫迪利安尼的生命周期假说的消费函数TTTYTWWTC1其中W为初始财富，T为某人还要生活的年数，R为从现在到预期退休的年数。在进行稳定性分析时与萨缪尔森乘数加速数模型一样，在此不作论述。现对乘数加速数模型进行改进，消费函数为弗里德曼的永久收入消费函数，即10,10,11TTTYYC其中为权重。这说明当期消费不仅与当期收入有关，还与上一期收入有关。投资函数是希克斯提出的投资函数，即投资与前两期收入之差相关0,21TTTYYI故改进后的乘数加速数模型为TTTGICYT10,10,11TTTYYC0,21TTTYYI42改进的乘数加速数模型的稳定性的参数解将TC和TI代入到TY中并化简得01,111121TTTTGYYY（9）方程（9）齐次方程的特征方程为01112由定理1知，（9）式渐进稳定的充要条件为111111合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）12由第一式得1，第二式得1若01，即1，则01，与0矛盾；若01，即10，此时又可分为两种情况）当11，即11，的取值范围为10；）当11，即10，的取值范围为10将上述结论在图像上表示出来，如图3阴影部分所示图3图443改进的乘数加速数模型的稳定性强弱判断定义2以加速数为横轴，边际消费倾向为纵轴，使得乘数加速数模型的经济总量TY收敛的与之间的函数关系及它们各自的取值范围所确定的面积S称为稳定面积。通过稳定面积的大小我们就可以判断模型的稳定性大小。稳定面积越大，则加速数与边际消费倾向取值范围越大，即稳定性就越强；稳定面积小，则加速数与边际消费倾向取值范围越小，即稳定性就越弱。由此，从图3中阴影部分我们可以得到其改进的模型稳定面积为1,21211121111S同样，在图4中，萨缪尔森乘数加速数模型的稳定面积为110211DDS因为12SS,所以改进后的乘数加速数模型比萨缪尔森乘数加速数模型的稳定性要合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）13弱，即改进后的模型的经济周期更难趋向于稳定。值得注意的是，当0时，11S，上面的消费函数变为1TTYC，这时改进后的模型就完全变为希克斯经济周期模型。也就是说，改进后的乘数加速数模型是希克斯经济周期模型的推广和延伸。合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）14附录在图2中采用MATLAB70软件对乘数加速数模型进行系统仿真,MATLAB仿真程序如下X00012PIXXEPSY14X/1X2Y21/XPLOTX,Y1,X,Y2合肥师范学院2012届本科生毕业论文（设计）15参考文献1唐绍欣评哈罗德乘数加速数的经济周期理论J社会科学，1997，1070712SAMUELSONPAINTERACTIONSBETWEENTHEMULTIPLIERANALYSISANDTHEPRINCIPLEOFA