等价关系在不同数学分支中的若干应用

中国计量大学本科毕业设计（论文）等价关系在不同数学分支中的若干应用SOMEAPPLICATIONSOFEQUIVALENCERELATIONINDIFFERENTBRANCHESOFMATHEMATICS学生姓名仇锦波学号1200801210学生专业信息与计算科学班级12信算（2）班二级学院理学院指导教师陈琴讲师中国计量大学2016年5月郑重声明本人呈交的毕业设计论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。学生签名日期分类号G642密级公开UDC62学校代码10356中国计量大学本科毕业设计（论文）等价关系在不同数学分支中的若干应用SOMEAPPLICATIONSOFEQUIVALENCERELATIONINDIFFERENTBRANCHESOFMATHEMATICS作者仇锦波学号1200801210申请学位理学学士指导教师陈琴讲师学科专业信息与计算科学培养单位中国计量大学答辩委员会主席曹飞龙评阅人中国计量大学2016年5月致谢本论文是在中国计量大学研究完成的。在撰写学士学位论文期间，我要特别感谢我的导师陈琴老师。在我的论文写作过程中，从论文选题、论文的研究方向、文献和资料的收集、论文构架，直到论文的形成，陈老师慷慨的给予了我大量的指导和帮助。在初稿完成以后，陈老师对我的论文进行了通篇细致的审阅和修改，端正了我的学习态度，不断提高我的论文的质量。陈老师严谨的治学态度、渊博的专业知识和孜孜不倦的敬业精神深深的鞭策和鼓励着我，不仅使我能够顺利完成本论文，而且对我今后的学习和工作产生重要的影响。同时，我还要感谢在大学期间里，给予过我许多指导和帮助的中国计量大学理学院的老师，是他们把我引入了信息与计算科学的殿堂，提高了我的素养，初步培养了我数学的思维，教会了我信算的基本理论以及其他相关知识，本论文的完成离不开他们的指导和支持。还有，感谢我一起度过大学生活，在生活上、学习上给予我莫大帮助和支持的同学们，因为他们，我的大学生活丰富而充实，精彩而又意义，人生的记忆里将留下他们深深的印象。值此论文完成之际，谨向所有指导、关心和帮助过我的师长、朋友、同学和家人表示诚挚的感谢仇锦波2016年5月I等价关系在不同数学分支中的若干应用摘要等价关系作为集合元素之间的一种特殊的二元关系，在数学中占有很重要的地位，用它可对研究的客体进行分类，对各个部分的研究而达到对整体的研究，在多门数学分支中都有广泛应用，例如代数学中矩阵的相似定义、矩阵的等价定义、矩阵的合同概念；分析学中无穷小量的等价的概念；集合论中集合的分类；数理逻辑中的等价式等等。本文从等价关系的基本概念出发，以等价类为基础，总结与等价关系息息相关的一些概念，有助于对等价关系在这些数学分支中的不同应用的理解。并且可以深入认识等价关系以及种种不同的等价类，对等价关系的深入理解有所助益，为今后深入学习和掌握与等价关系相关的新概念、新应用打好基础。所以有必要深入研究一下等价关系。关键词等价关系；集合；等价类；等价式；模糊等价关系中图分类号G642IISOMEAPPLICATIONSOFEQUIVALENCERELATIONINDIFFERENTBRANCHESOFMATHEMATICSABSTRACTEQUIVALENCERELATION,ASASPECIALBINARYRELATIONBETWEENTHESETELEMENTS,PLAYSAVERYIMPORTANTROLEINMATHEMATICSWEUSEITTOCLASSIFYTHEOBJECTBEINGSTUDIED,ANDTHENSTUDYTHEWHOLEBYSTUDYINGVARIOUSPARTSOFOBJECT,WHICHISWIDELYUSEDINMANYBRANCHESOFMATHEMATICS,FOREXAMPLETHECONCEPTOFSIMILARITY,EQUIVALENCEANDCONTRACTOFMATRIXINALGEBRATHECONCEPTOFEQUIVALENTINFINITESIMALINANALYTICSTHECLASSIFICATIONOFSETSINTHESETTHEORYEQUIVALENCEINMATHEMATICALLOGIC,ETCTHISPAPERSTARTSFROMTHEDEFINITIONOFTHEEQUIVALENCERELATION,ANDSUMMARIZESSOMECONCEPTSRELATEDTOTHEEQUIVALENCERELATIONBYEQUIVALENCECLASSES,WHICHONONEHAND,HELPTOUNDERSTANDDIFFERENTAPPLICATIONSOFEQUIVALENCERELATIONINTHESEBRANCHESOFMATHEMATICS,ONTHEOTHERHAND,FURTHERUNDERSTANDINGOFTHEEQUIVALENCERELATIONANDVARIOUSKINDSOFCONCRETEEQUIVALENCECLASSESWILLHELPTOUNDERSTANDTHEEQUIVALENCERELATIONANDLAYAGOODFOUNDATIONFORFURTHERSTUDYANDMASTERNEWCONCEPTSRELATEDTOTHEEQUIVALENCERELATIONSOITISNECESSARYTOSTUDYTHEEQUIVALENCERELATIONKEYWORDSEQUIVALENCERELATIONSETEQUIVALENCECLASSEQUIVALENTFORMULAFUZZYEQUIVALENCERELATIONCLASSIFICATIONG642III目次摘要IIIABSTRACTIII目次III1绪论111研究背景及现状112研究目的与方法12基本概念23等价关系在不同数学分支中的应用331等价关系在集合论中的应用332等价关系在分析学中的应用533等价关系在代数学中的应用7331等价关系矩阵7332矩阵的等价8333矩阵的相似10334矩阵的合同11335等价关系下的矩阵分类及其意义1234等价关系在数理逻辑中的应用13341命题逻辑中的等价关系13342谓词逻辑中的等价关系1435等价关系在模糊数学中的应用154结论17参考文献18学位论文数据集19中国计量大学本科毕业设计（论文）11绪论11研究背景及现状等价关系作为集合元素间的一种特殊的二元关系，在数学中占有很重的地位，用它可对研究的客体进行分类，对各个部分的研究而达到对整体的研究，在多门数学分支中都有广泛应用，例如集合论中集合的分类；代数学中矩阵的相似定义、矩阵的等价定义以及矩阵的合同概念；分析学中无穷小量等价的定义；数理逻辑中的等价式等等。这些都是等价关系的不同数学分支中的具体应用，不仅运用到了等价关系的概念，还根据各自所属数学分支的特性，引伸出了很多不同的内容。目前，不管是国内还是国外都有专门研究等价关系的学者，当他们都主要专研其中的某一个内容，很少总结概括等价关系在各方各面的应用和作用。本文以作者自身的知识水平为基础，以大学四年期间接触到的数学内容为背景，简单地归纳介绍了等价关系在不同数学分支中的不同应用，是人们对等价关系的理解可以稍微全面点。12研究目的与方法本文从等价关系的基本概念出发，以等价类为基础，总结与等价关系息息相关的一些概念，有助于对等价关系在这些数学分支中的不同应用的理解。并且可以深入认识等价关系以及种种不同的等价类，对等价关系的深入理解有所助益，为今后深入学习和掌握与等价关系相关的新概念、新应用打好基础。本文首先介绍了等价关系的一些基本概念，由于集合论是现代数学的基础，可以说，现代数学的各个分支的几乎全部的成果都严格构筑在集合理论上。因此，在具体介绍等价关系在不同数学分支中的应用之前，本文先总结了等价关系在集合划分中的应用，为之后的内容作铺垫。之后就是分析了等价关系在分析学、代数学、数理逻辑等数学分支中的引伸概念和具体应用，最后是对于这些应用的总结与拓展，使大家对等价关系有更为透彻的把握。中国计量大学本科毕业设计（论文）22基本概念首先，本人整理了关于等价关系的一些基本概念，为之后的内容论述提供理论基础。定义211任设两个集合BA和，集合R称作从BA到的关系，如果直积BYAXYXBA|,的子集是R。集合R称为集合A上的一个二元关系，若BA。对AYX,，若X与Y满足关系R，记成XRY；若X与Y不满足关系R，记成YRX。定义222设非空集合A上的一个二元关系为R，那么R称为A上的等价关系当且仅当R满足自反性（反身性）、对称性和传递性。（1）自反性（反身性）对于AX，都有XRX；（2）对称性对于AYX,，若XRY,则YRX；（3）传递性对于AZYX,，若XRY，YRZ，则XRZ。定义22还可以写成以下这种形式定义23设一个非空集合A上的一个二元关系为R，若它满足以下条件（1）AX，都有XRX；（2）AYX,，若有XRY，则有YRX；（3）AZYX,，若有XRY，YRZ，则有XRZ。R就叫集合A的一个等价关系。数学中，等价关系有很多，下面可以举几个例子例1两个相似三角形之间的相似关系就是一种等价关系。这个很容易就能验证它满足自反性（每个三角形都与自身相似）、对称性（两个三角形互相相似）和传递性（与同一个三角形相似的两个三角形相似）。例2等于关系“”是一种最常见的等价关系，但是大于（或小于）关系就不是等价关系，容易验证大于（或小于）关系满足传递性，但却不满足自反性和对称性。中国计量大学本科毕业设计（论文）33等价关系在不同数学分支中的应用31等价关系在集合论中的应用现代数学中最基础、最根本的概念就是集合概念，而它也是现代数学各分支采用最普遍的一种描述工具。德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定了集合论的基础，由于大量卓越的数学家的不懈努力，到半个多世纪后已基本上确定了其在当代数学理论体系中的基础地位，甚至可以说，当代数学的各个分支的近乎全部成果都严格建立在集合理论上。因此，本文在总结等价关系在不同数学分支中的应用之前，先来讨论等价关系与集合的划分、分类之间的联系，为之后的内容进行铺垫。首先，给出集合划分的定义如下定义313设一个集合S的非空子集是M21A,A,A，如果满足下列条件（1）所有的IA都是分离的，即对全部的I和J（M,1,2,JM,1,2,I），有JIAA（JI）；（2）SAAAM21。则集合S的一个划分就是集合MAAAA,21。本文从等价关系确定的等价类出发，能够得出集合的划分与等价关系有逐一对应的关系，即集合的任一等价关系能够被其某个划分唯一的确定，反之，集合的任一划分可以被其某个等价关系唯一的确定。以下是相关定义与证明。定义324设集合A上的一个等价关系为R，对AA，集合ARXAXXAR,|称为一个R等价类（由元素A形成），A叫做RA的表示元素。由定义32可知RA是非空的，由于必有RAA，是以任给集合A和其上的一个等价关系R，都一定可以写出A上每个元素的等价类。定义335设集合A上的一个等价关系为R，那么其等价类的集合AAAR|就称作A关于R的商集，记作A/R。定理34设给定集合A上的一个等价关系为R，对于ABA,有ARB当且仅当中国计量大学本科毕业设计（论文）4RRBA。证明假定RRBA，因为RAA，所以RBA，即ARB。反之，若ARB，设RAC，则有ARC，再由R的对称性和传递性得到BRC，即RBC，所以有RRBA；同理可得RRAB。由此证明，若ARB，则RRBA。综上所述，定理34得证。证毕。定理355令集合A上的一个等价关系为R,则R决定A上的一个划分，商集A/R就是该划分。证明设关系R是集合A上的一个等价关系，且令集合RA为一个子集（与A的固定元A有等价关系的元素放在一起组成），则所有这样的子集组成商集A/R。（1）在AAR|AA/R中，AARAA；（2）对A的每个元素A，因为R是自反的，所以定有ARA成立，即RAA，故A的每一个元素的确分别属于一个分块；（3）A的每一个元素只能属于一个分块。反证若RBA，RCA且RRCB，则BRA，CRA成立，根据等价关系的对称性和传递性可得BRC，再根据定理34必有RRCB，这与题设矛盾。所以A/R是A上对应于R的一个划分。证毕。定理365集合A的元素间的一个等价关系被它的一个划分所确定。证明设集合A有一个划分MSSS,S21，如今定义一个关系R，ARB的充要条件是BA,在同一个分块中。可以证明这样规定的关系R是一个等价关系。因为（1）对于一个分块中的A，必有ARA，即R是自反的；（2）若A、B在同一分块中，则必有BRAARB，故R是对称的；（3）若A、B在同一分块中，且B、C也在同一分块中，那么根据定义31中的条件（1），我们可得出B属于且仅属于一个分块，所以A、B、C必在同一分块中，因此有ARCBRCARB，即R是传递的。综上所述，R满足反身性、对称性和传递性这三个性质，所以R是一个等价关系，由R的定义可知，S就是A/R。证毕。通过上述定理可知，集合的划分与集合的等价关系有逐一对应的关系，而本文正是基于这种对应关系，由集合的某一种等价关系确定的等价类诱导出等价关系在分析中国计量大学本科毕业设计（论文）5学、代数学、数理逻辑等数学分支中的引申概念和重要应用。以下通过几个实例来进一步了解等价关系与集合划分之间的关系。例1定义一个班级同学的性别关系R满足关系ARB的充要条件是BA,同性（BA,分别指同学A、B），显然R是一个等价关系。通过等价类的定义，容易得出两个等价类男生和女生，这两个等价类组成的商集显然是班级同学性别的一个划分。例2设EDCBA,A，其中一个划分EDCBA,S，试由S确定A上的一个等价关系R。解我们可以用如下方法产生一个等价关系R。,321321EEDEEDDDCCBBABBAAARRRREEDEEDDDEDEDRCCCCRBBABBAAABABAR从R的序偶表示式中，很容易验证R就是一个等价关系。32等价关系在分析学中的应用等价关系在分析学中的应用，主要是等价无穷小的相关概念和应用。这个概念是等价关系在求函数极限问题上的具体应用，给函数极限的求解提供了更为简洁的方法，在分析学占有重要地位。首先，给出无穷小量的定义如下定义321设F在某0UX上有定义。若0LIM0XFXX，则称F为当0XX时的无穷小量。等价无穷小的定义如下定义322设当0XX时，F与G都是无穷小量。称GF和是0XX时的等价无穷小量当且仅当1LIM0XGXFXX，记作中国计量大学本科毕业设计（论文）60XXXGXF。定义322可以简化成以下形式定义323若0LIM,0LIM00XGXFXXXX，则1LIM00XGXFXXXGXFXX。因为（1）0XXXFXF显然成立；（2）若有0XXXGXF，则必有0XXXFXG；（3）若有0XXXGXF且0XXXHXG，则0XXXHXF显然也成立。综上所述，等价无穷小关系就是一个等价关系。常见的具有等价无穷小关系的量有当0X时，01121COS111LNARCSINTANARCTANSIN2AAXXXXXEXXXXXXAX求函数极限时，等价无穷小量可以互相代换以达到简化表达式、方便求解的目的，最终结果不变。以下是几个求解函数极限的例题，利用等价无穷小关系能使解答时更方便，我们可以更直观的了解等价关系在求函数极限上的具体应用。例1求极限30SINSINTANLIMXXXX。解由于XXXXXCOS1COSSINSINTAN，而0SINXXX，02COS12XXX，0SIN33XXX，所以有2121COS1LIMSINSINTANLIM32030XXXXXXXXX。中国计量大学本科毕业设计（论文）7例2求XXX4SINARCTANLIM0。解由于0ARCTANXXX，044SINXXX，所以有414LIM4SINARCTANLIM00XXXXXX。例3求极限302SINSIN2LIMXXXX解由于XXXXCOS1SIN22SINSIN2，而XXSIN，221COS1XX，所以有1212LIM2SINSIN2LIM32030XXXXXXXX上述例子也可以用洛必达法则求解，但会带来较大的计算量，且也更容易出错，而用等价无穷小去求解只要了了几步，基本上没什么计算量，大大提高了求解的效率和正确率。33等价关系在代数学中的应用等价关系在代数学中的应用主要是围绕着矩阵展开的，具体有矩阵的相似、等价、合同三种这等价关系，下面我将逐个归纳分析。然而在介绍这三种关系之前，本文首先给出了等价关系的矩阵定义，作为等价关系定义的一个补充。331等价关系矩阵根据等价关系的基本概念，我们用矩阵来定义等价关系。定义3316给定集合MAAA,A21和NBBB,B21及一个A到B的关系R，令JJIJBRRBRIIA,0A,1如果如果，其中BBAAJI,，则称矩阵NMIJRRM就是关系R的关系矩阵。因为布尔矩阵的定义就是一个矩阵中的元素除了0就是1。显然，我们可以看出关系矩阵RM必定是布尔矩阵，反之也成立，即一个布尔矩阵可以确定某给定集合U到U上的一个关系R。中国计量大学本科毕业设计（论文）8定义3327若集合A到A（A中元素个数为N）的一个等价关系为R，则R的关系矩阵NNIJRRM被称作是R在A上的等价关系矩阵。由于关系R为等价关系当且仅当R满足反身性、对称性和传递性，由矩阵M表示则有以下定理定理333关系R为等价关系当且仅当R的关系矩阵IJRRM满足以下条件（1）自反性（反身性）NIRII,2,1,1；（2）对称性IJRRM是一个对称的布尔矩阵；（3）传递性若1,11JKIKIJRRR则且。所以等价关系R的关系矩阵IJRRM是一个等价关系矩阵。证明假设一个等价关系矩阵IJRRM，则根据等价关系R的三个性质显然可以得出IJRRM满足以上三个条件。如果矩阵IJRRM满足以上三个条件。则有（1）由于M是个布尔矩阵，所以M是某给定集合U到U上的一个关系R的关系矩阵RM；（2）通过上述三个条件，可以得出R是自反的（反身性）、对称的（对称性）和传递的（传递性）。所以IJRRM是等价关系R确定的等价关系矩阵。证毕。下面我们来讨论矩阵的相似、等价、合同这三种等价关系的具体概念和应用。332矩阵的等价定义3348设有数域P上的两个MN矩阵A和B，如果A经过有限次初等变换可以得到B，则称A与B等价，记为BA。初等变换指的就是以下三种运算（1）任意交换矩阵的某两列（行）；（2）令一个非零的常数乘到矩阵的某一列（行）；（3）令一个常数乘以矩阵的某一列（行），再与另一列（行）相加。中国计量大学本科毕业设计（论文）9根据定义424和初等变换，我们可以得出以下定理定理335任意一个NS的矩阵A都与一形式为00000000010000100001的矩阵等价，它称为矩阵A的标准形，其主对角线上1的个数就是A的秩（1的个数可以是0）。证明如果OA（O就是零矩阵），符合上述定理。假设OA，经过一定次数的初等变换，A定可变成一个左上角元素不为0的矩阵。当011A时，把其余的行加上第一行的S,2,3,I111AAI倍，其余的列加上第一列的N,2,3,J111AAJ倍。之后，用111A乘以第一行，A就变成0A000111A是一个11NS的矩阵。对1A再重复以上步骤，这样下去就能得到所要的标准形。显然，若两个矩阵等价，它们通过有限次初等变换必然能得到相同的标准形，反之亦然。因此，我们容易得出矩阵的等价满足等价关系的三个性质（反身、对称、传递），所以它是一个等价关系。同时，等价的两个矩阵因为有相同的标准形，因此他们的秩相等，反之拥有相等的秩的两个矩阵有相同的标准形，即两个矩阵等价。以下列举几个实例来具体了解一下矩阵的等价。例1设A是一个MN矩阵，其秩为R，则有OOOEAR。（O是零矩阵）例2求下列矩阵的等价标准形并写出一个除标准形以外的等价矩阵中国计量大学本科毕业设计（论文）106542362242311311A。解1000100000200001100010003120000141201000312000014120100031201311A00000100001000010000100000100001拥有相同标准形的矩阵都是A的等价矩阵，如6542762252311311B333矩阵的相似定义3369设两个N阶方阵A和B，称A和B相似，若存在可逆矩阵T,使得ATTB1，记为BA。通过定义336，我们能够得出以下结论都是成立的（1）自反性（反身性）AEEA1；（2）对称性由ATTB1即得1111TBTATBT；（3）传递性由111ATTB和212BTTC即得21121TTATTC。所以矩阵的相似是一个等价关系。相似矩阵还有以下性质（1）若两个矩阵相似，则它们的秩R必定相等（反之不一定）；（2）若两个矩阵相似，则它们的行列式和特征值以及特征多项式也都相等；中国计量大学本科毕业设计（论文）11（3）若两个矩阵相似，则它们的逆矩阵也相似。下面我们通过具体的例子来进一步了解矩阵的相似例1设DCBA，证明DOOBCOOA。证明由题设我们可以得知，存在可逆矩阵T和P，分别使得ATTB1，CPPD1。现令PTS，则S也是可逆的，所以可以推出DOOBCPPOOATTPTCOOAPTSCOOAS11111，即DOOBCOOA。334矩阵的合同定义33710设两个N阶方阵A和B，称A在P上合同于B，若存在可逆矩阵T,使得ATTB。通过定义，我们能够得出以下结论都是成立的（4）自反性（反身性）AEEA；（5）对称性由ATTB即得11BTTA；（6）传递性由11ATTB和22BTTC即得2121TTATTC。所以矩阵的合同是一个等价关系。矩阵合同也有以下性质（1）在实数域中，若两个对称矩阵合同，则它们的正、负惯性指数相同（即正、负特征值个数分别相等）；（2）在复数域中，若两个对称矩阵合同，它们的秩R相等。下面我们通过具体的例子来进一步了解矩阵的合同例1设矩阵211121112A，000010001B，试判断A与B是否合同解因为A与B都是实对称矩阵，且B的特征值为1，1，0，而A的特征值经计算中国计量大学本科毕业设计（论文）12是3，3，0，由于A与B的正、负特征值个数相等，所以二者合同。例2试判断1001A，0110B是否相似、等价、合同解首先容易看出A与B等价，由于B可以由A经过有限次初等变换得到。为判断是否相似或合同，先求得A具有二阶特征值1，而B具有一阶特征值1和1，因此A与B不相似（特征值不相等）也不合同（正、负特征值个数不相等）。总结矩阵的相似、等价与合同三种关系之间的关系如下（1）若两个矩阵相似，则他们必定等价（反之不一定）；（2）若两个矩阵合同，则他们必定等价（反之不一定）；（3）两个矩阵相似但不一定合同，两个矩阵合同但不一定相似（实对称相似矩阵必定合同）；（4）两个矩阵正交则必定合同，两份正交矩阵合同那么也必定相似；335等价关系下的矩阵分类及其意义矩阵的全体很复杂，如果要研究矩阵，我们就需要按照一定的规则将它们分门别类，然后再有目的去研究相应的矩阵，这样就会容易的多。本文通过等价关系来给矩阵进行分类，就是通过矩阵的相似、等价、合同这三种关系来分类。具体分类如下1、矩阵的等价NM的矩阵通过矩阵的等价关系可以分为1K类（其中NMK,MIN）。证明因为等价矩阵的秩R是相等的，即在矩阵的等价这种关系中，秩R是不变的，所以矩阵可以分为秩为0、秩为1，秩为NM,MIN的矩阵，共有1K类（其中NMK,MIN）。2、矩阵的相似所有的N阶方阵在矩阵的相似关系下有无穷多个等价类。证明设N阶复方阵A的初等因子组是KRKRR,2121，由矩阵的相似的性质可得K,1,2,I,IIR完全相同，而I为复数域上的任意数，有无穷多个，因此在矩阵的相似关系下N阶方阵有无穷多个等价类。3、矩阵的合同（1）N阶复对称矩阵通过矩阵的合同关系可分为1N类；中国计量大学本科毕业设计（论文）13（2）N阶实对称矩阵通过矩阵的合同关系可分为2121NN类。具体证明与之前两个分类的证明相似。略。34等价关系在数理逻辑中的应用等价关系在数理逻辑中的应用主要是一些等价式，本文主要讨论的是数理逻辑最基本的内容命题逻辑和谓词逻辑中的等价式。341命题逻辑中的等价关系命题逻辑中的命题公式的等值关系11就是一种等价关系，这种等价关系建立在由所有的命题公式构成的集合上，其等价类的划分是按照命题公式是否等值，因此等价类中的命题公式都是彼此等值的。定义341给定两个命题公式A和B，设出所有出现在A和B中的原子变元为N21P,P,P，若给N21P,P,P任意一组真值指派，A和B的真值都相同，则A和B是等价的，记作BA。我们可以通过真值表来直观的理解定义431，如以下示例例证明ABBABA。证明列出真值表如下ABBAABBAABBATTTTTTTFFTFFFTTFFFFFTTTT由上表可知BA与ABBA的真值相同，命题得证。显然，根据定义431和以上示例，我们可以得出如下结论（1）AA；（2）若BA，则有AB；（3）若BA，CB，则有CA。中国计量大学本科毕业设计（论文）14所以命题公式的等价满足等价关系的三个性质（自反、对称、传递），即它是一个等价关系。342谓词逻辑中的等价关系命题演算中的基本单位是原子命题，并认为不可再分解。但原子命题事实上还可作深入的分析，尤其是两个原子命题间常常有一些共同的特征，而谓词逻辑就是专门研究命题内在的逻辑构造。因此，谓词逻辑中的等价关系可以说是命题逻辑中等价关系的补充和细化。定义34211给定任意两个有共同的个体域E的谓词公式AWFF和BWFF，若无论A和B的任意一组变元如何赋值，所得到的命题的真值都相同，则称A和B在E上是等价的，并记作BA。显然，谓词公式的等价定义与命题公式的等价定义是差不多的，只是更加详细具体，有了更多限制条件，如添加了量词。因此，谓词演算中的等价公式表可以说是命题演算中的等价公式表的推广。首先，我们来通过具体的示例了解一下谓词公式。例1所有的人都要呼吸。解设XPX是人，XQX要呼吸。则上述谓词公式就是XQXPX。例2XQXPXXQXPX这个等价式中若通过真值表来验证，可以知道QP与QP的真值相同，因此添加了一个公共的全体全称量词后仍是等价的。谓词演算的等价式是建立在命题演算的等价公式表的基础上的等价关系，一般通过量词（全称量词X与存在量词X）与命题联结词之间的关系来确定等价关系，如量词与否定联结词就有如下关系XPXXPXXPXXPX下面我们通过具体的示例来了解谓词演算中的等价式例证明BXAXBXAX。中国计量大学本科毕业设计（论文）15证明BXAXBXAXBXAXBXAXBXAX35等价关系在模糊数学中的应用模糊数学又称FUZZY数学，是现代数学的重要分支之一。模糊数学是在区别于经典集合的模糊集合的基础上发展起来的，区别于经典集合的元素对集合的隶属关系必须是确定的（非此即彼），模糊集合中元素对集合的隶属关系是不确定的（亦此亦彼）。基于此，等价关系在模糊数学中引伸出了模糊等价关系的概念。首先，本文给出了模糊集的定义，方便之后介绍模糊等价关系定义35112设U是论域，称映射1,0X,1,0XUAA确定了U上的一个模糊子集A（模糊子集通常简称模糊集）。映射A称为A的隶属函数，而XA称为X对A的隶属程度，简称隶属度。XA越接近于0，表示X对A的隶属度越小；XA越接近于1，表示X对A的隶属度越大；XA05，最具有模糊点，称为过滤点。当XA的值域为集合1,0时，A就变成了普通子集。模糊幂集UF指的是论域U上的全部模糊子集所组成的集合1,0|AUFUA下面介绍基于模糊集的模糊关系以及模糊等价关系定义35212设论域VU,，称VU的一个模糊子集VUFR为从VU到的模糊关系，记为VUR，其隶属函数为中国计量大学本科毕业设计（论文）16YXRYXUR,YX,1,0VR且称隶属度YXR,为YX,关于模糊关系R的相关程度。特别地，模糊关系R称为U上的一个二元模糊关系（当VU时）。定义353设R为论域U上的一个模糊关系（1）若对于UU，都有1,UUR，则称R为自反模糊关系；（2）若对于UVU,，都有UVRVUR,，则称R为对称模糊关系；（3）若2RR，则称R为传递模糊关系。所以当R即是自反模糊关系和对称模糊关系又是传递模糊关系时，R就是U上的模糊等价关系。就像经典集合理论基础上的等价关系有一个矩阵定义，模糊等价关系的概念也可以定义一个模糊等价矩阵。定义35412设论域NXXXX,21，R为X上的模糊关系，则有N阶模糊矩阵NNIJRR，若满足（1）自反性（反身性）NIRII,2,1,1；（2）对称性JI,2,1,且NJIRRJIIJ（即R是一个对称矩阵）；（3）传递性IJKJIKNKRRR1（即RR2）。则称R为模糊等价矩阵。通过比较常见的经典等价关系的定义和建立于模糊二元关系基础上的模糊系等价关的定义，我们很容易看出，经典等价关系是模糊系等价关的特例，而模糊系等价关则是经典等价关系的推广，是更高层次上的抽象。而用模糊等价关系可以有效解决数据挖掘领域中的具有FUZZY性的聚类分析问题12。中国计量大学本科毕业设计（论文）174结论本文从等价关系的基本概念出发，以等价类为基础，总结与等价关系息息相关的一些概念，分别于集合论、分析学、代数学、数理逻辑、模糊数学等数学分支中分别归纳分析等价关系在其中的引伸概念和具体应用，不仅自我梳理了大学四年来学习的等价关系的相关内容和初步了解了自己没有学过的内容，拓宽了知识面，更能让读者更加系统的了解等价关系，为等价关系的继续发展贡献自己的绵薄之力。本文通过以上种种不同的等价关系的定义及应用的具体介绍可以得知，虽然这些具体的等价关系分别属于现代数学的各个不同的分支，所基于的集合中的对象的表示形式和描述方法不同，对象的性质也差别很大，但都是基于某一集合上的二元关系且都具有反身性、对称性和传递性这三个性质，把它们的这种共同的特性抽象出来便可以把这些具体的等价关系都统一到定义22上来，从而实现从特殊到一般的抽象。显而易见，等价关系本质上是对相应集合上的具有共同的特性、特征的对象的一种抽象，从认识论