关于非线性双曲型偏微分方程数值解的研究1

合肥工业大学硕士学位论文关于非线性双曲型偏微分方程数值解的研究姓名吴强申请学位级别硕士专业计算数学指导教师朱功勤檀结庆20030501关于非线性双曲型偏微分方程数值解的研究摘要在航空、气象、海洋、石油勘探等方面的流体力学问题，在许多情况下都归结成解非线性双曲型偏微分方程国外文献称为守恒律。这类方程的基本困难是解出现了间断，当用高精度显式格式求解时，在问断处会产生振荡。本文首先介绍了弱解、熵条件、物理解等概念和一些基本定理，从理论上分析非线性双曲型微分方程产生间断解，以及高阶显式格式在问断处产生振荡的原因；其次介绍目前关于这类方程数值解的一些结果，包括显式人工粘性，隐式人工粘性和自动调节的混合格式；最后，介绍在已有研究结果的基础上，我们给出的一种新的数值解法，即“二选一”方法。与已有结果相比，“二选一”方法在保持精度高二阶精度的同时在间断处不会产生振荡，并用实例说明所给解法的优越性。关键词双曲方程，间断，振荡，高阶显式格式，“二选一”方法RESEAREHONNUMERICALMETHODSFORNONLINEARHYPERBOLICPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONSABSTRAETMANYFLUIDMECHANICSPROBLEMSSUCHASAVIATION，SCENE，ANDOILRECOVERY，ENDINNONLINEARHYPERBOLICPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONSALSOCALLCONSERVATION1AWSPREBLEMSTHEBASICDIFFICULTYWITHTHOSEPROBLEMSISTHATTHESOLUTIONSDEVELOPDISCONTINUITIES，INTHISPAPER，CHAPTER1ISDEVOTEDTOMATHEMATICALTHEORYWHICHINCLUDEWEEKLYSOLUTION，ENTROPYCONDITION，PHYSICALSOLUTION，ANDSOMEFUNDAMENTALTHEOREMTHEREASONFORDISCONTINUITIESARISINGINSOLUTIONOFHYPERBOLICEQUATIONSANDWHYHIGHRESOLUTIONEXPLICITSCHEMESGENERATEOSCILLATIONSNEARDISCONTINUITIES，ISTHEORETICALLYANALYZEDSOMECURRENTMETHODSAREGIVENINCHAPTERIITHESEINCLUDEEXPLICITARTIFICIALVISEOSITY，IMPLICITARTIFIEIALVISCOSITY，ANDSELFADJUSTINGHYBRIDSCHEMESINLASTCHAPTER，WECONSIDERAFLEWTECHNIAUE“ONEOFTWO”METHODTHATCANSMOOTH0SCILLATIONSNEARDISCONTINUITIES。ANDCOMPAREOURRESUITSWITHTHESEOFTHERELATEDMETHODSKEYWORDHYPERBOLICEQUATIONS，DISCONTINUITIES，OSCILLATIONSHIGHRESOLUTIONEXPLICITSCHEMES，“ONEOFTWOMETHODV独创性声溺本人声明所呈交的学饿谂文是本人在譬魉指导下进行的研究工及淑褥的研究成柴。据我所知，除了文中特别嬲以标注和致谢静地方外，论文中不包食其豫人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盒腿王、业丕坐溅其他教育机构的学位或证瞎而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何赏献均已在论文中作了明确的说明嚣表示溱意。学接论文撵者签名凳徭签字疆期2庐秽年7哆强学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解盒墅王壁太差有关保留、使用学位论文的规定，有权保留莠离国家商关部FL袋辊褥送交论文麓复秘箨和磁纛，允许论文搜查簇拳L僚阕。车夫攫投垒坦王、业本熬可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。镰寮豹学谴论文在瓣密惹透蠲本授裁二器学位论文臻者签名1奚殛签字日期ZO够年7月了日学位论文作者毕业厉去向笛等、掌赣作单位亏舻互多承劳通讯建戢吾静；多式劳曩噘疹黟；麓翕季IIL学9雨签名签字日期蹴D5卜2气EI争S，嚣编2，护矿护9日致谢本文是在导师朱功勤教授、檀结庆教授指导下完成的。朱功勤教授是位学识丰富，学术造诣颇深，他对问题的研究往往有着敏锐的洞察力，三年中他对我孜孜不倦的教诲使我深深感动并且受益终身；同时，我很感谢檀结庆教授，他治学严谨、平易近人，在学习上给了我很多帮助和启迪。我也衷心感谢苏化明教授、邬弘毅教授、黄有度教授、周永务教授、汪泉副教授在学习方面对我的指导以及给予我的关心和爱护。我要特别感谢林京博士给我的极大帮助，他在学术上帮助我解决了许多问题，馒我顺利地进入了研究方向。我还要感谢我的师兄李平和同学詹棠森、江平、芮义鹤，感谢他们在学习和生活上给予我的帮助。吴强二零零三年五月第一章绪论11问题的起源及介绍在航空、气象、海洋，石油勘探等方面的流体力学问题，在很多情况下都归结成双曲型偏微分方程国外文献称为守恒律的问题。由于这类方程的解中常常出现间断和振荡通常称为激波或振荡问题，所以有关它的数值解的研究直引起人们的关注。我们以一维问题为例，简要睨明间断和振荡产生的原因。考虑如下的双曲型方程导口罢O0是沿上轴正方向传播，当A022融AX满足初始条件UX，OPX，一0的半平面上与函数“Z，F的间断线只相交有限个点的任意迓段光滑闭回路R，UX，满足以下关系式L。UDX一触025F31设是具有紧致支集的实验函数集合，即如果X，FE甲，则妒是一个在F0的上半平面中某个有界区域D以外包括在区域D的边界OD上恒等于零的连续可微函数。区域D称为的支集，有时用E。表示。“X，满足关系式，蟥O型FDXDT_0V掣口犯6如果实验函数集合甲，内除了P中的函数外还包括这样的连续可微函数PX，F它在F0的某个有界区域D以及上除了和FO重合的一段以外恒等于零，则当UX，F满足关系式，纱警“芸FDX出胁，0贴舻。，V斛口就称工，F为方程22满足初始条件23的CAUCHY问题的弱解。对于一维守恒律组丝旦业O27AAO我们同样可以在分片光滑的向量函数类K中给出三种弱解的定义来，即如果1向量函数UX，TEK在其连续可微区满足微分方程27，而在UX，的间断线XF上满足关系式“L“一警_，_其中。和H一分别表示UX，F在间断线上两侧的右极限和左极限FFUF一FU一2对于T0的半平面上与向量函数“，F的间断线只相交于有限个点的任意逐段光滑闭回路11，“X，满足以下关系式，DXFET0293设是具有紧致支集的实验函数集合，Z，满足关系式，蟛“DX删，V。21。上面给出了弱解的定义。但是，需要指出的是这样定义的弱解是不唯一的。例如对于任意常数D1，定义在T0半平面上的单参数函数族妒工，FX妻。一I，中的每一个函数部是方程坐“坐03T出满足初始条件贴，书拦的CAUCHY问题的弱解。在这个例子中弱解有无穷多个。22熵条件与物理解上面指出了弱解是不唯一的，那么在这些弱解中，方程22、23是否存在类似于古典解的解，并且是否唯一ONENHHOA27提出了所谓的熵条件，并论证了一维单个守恒律满足熵条件的弱解的唯一性。设UX，T是定义在T0上半平面的，除了在有限条光滑曲线上间断外的连续可微的函数。将这样的函数集合记为K定理方程22满足初始条件23的弱解UX，T，如果在其间断线上满足FUFUFUFU竺2二生，V，211“一一CO“一“一“一出其中，MINU,“，MRX“,“，则这样的弱解在函数类K。中是唯一的。不等式211称为熵条件，以后用OE表示。我们以后将满足OE的弱解称为物理解或广义解。下面对熵条件OE作一些解释和分析。在“，Y平面上考察曲线Y“，当“O时，也可以顺序推出0物理解还可以用人工粘性消失法得到。如果在方程22的右端加上一个带小参数的二阶导数项人工粘性项就得到一个抛物型方程丝业垡，SO215OT积出定理如果当一0时，方程215满足初始条件“。X，O“OX2T16的解“，X，一致有界且几乎处处收敛到分片光滑的函数UX，F，则UX，F是22、23的物理解。其中对于多维双曲性方程詈嘻詈脚州列，炉吣础”，E0，R】口17堑坐生望坐生OFX,T,U一OU出良，孔缺，“X，0妒X工R“218的CAUCHY问题，CHKPYLCK。B28】在有界可测函数类中定义物理解为满足以下两个条件的函数“仁，砂1对于任意常数女和任意的非负的实验函数OX，甲，都有脚心，F卅UK缸X,I,U脚，纠詈一【主导，X,T,B1G列】吖揪0219其中积分区域仃为Z，KR”，OSF丁J，曲的支集EN。2在区间旧力上存在一个测度为零的集合R，当，EO，即S时，函数“肛在R”上几乎处处有定义，并对任意的球彭，搁OR233R234232一2丑对工一O，解UX，F也是X的单调函数。于是自然想到用差分格式解问题233、234时，如果初始值是单调TO的，差分方程的解也应该保持单调的性质。RONYHOBC，KF26就称这种保持单调性的格式为单调差分格式。定理差分格式“川口F“川月235，是单调差分格式的充要条件是所有的口，0。此外，ROYH0BCK在26】中特别证明了常系数单调差分格式的截断误差只能是一阶的。R、O且YHOHGODUNOV定理如果235是个和233N容的，并且极大范数有界以及至少有两个系数是非零的差分格式，那么格式235是一阶精确度的。OJENNINGS10将ROAYHOB的常系数差分格式的概念推广到非线型差分格式上。他称单个守恒律22的守恒型差分格式228是单调的，如果LJNI“川，“川，。对其每一个分量的导数都大于等于零，即盟OMT,T1，FOUM，236和常系数单调差分格式一样，HARTEN，HYMAN，LAX5等XIIE明了非线型单调差分格式的截断误差也只能是一阶的。定理设守恒律22的守恒型差分格式228是单调的，N228的截断误差是一阶的。在【5】中HARTEN等人还证明了一维当单个守恒律的单调守恒型差分格式的解，如果几乎处处有界收敛，则极限函数是物理解。CRAWL等人2证明了多维单个守恒律的单调守恒型差分格式的解一定收敛于物理解。正是由于保持单调的守恒型差分格式的截断误差只能是一阶的，所以当用二阶的LAXWENDROFF格式解方程229、230时，得到的是232，而不是物理解231。订三式山于高阶显试格式不能保持在间断解的单调性，因此它们必定会在间断处产生振荡，从231可以很明显地看出这一点。第三章数值解法概述上一章从理论上解释了无论双曲方程的初始条件多么光滑，它的解可能会产生问断，以及高阶显式格式在间断处产生振荡的原因。那么如何用数值方法计算双曲方程间断解，以及在间断处如何提高差分格式的精确度的同时又能够保持解的单调性，是人们面J|刍的首要任务。目前大多数采用的是激波捕捉法。激波问题创始人VONNEUMANN211提出了“捕捉”激波的思想，即无论双曲型方程是否有间断解，都不加区别地按统一的格式进行计算。后来人们把这类方法统称为激波捕捉法。采用激波捕捉法，间断是作为解的一部分进行计算的。问断解被表示为具有一定过渡层的连续解，这个连续解基本上能反映出本来的间断特征，这类方法的最大优点是简单。由于计算间断不作特别处理，所以程序编制容易，机时也省。其次，守恒型差分格式收敛性已有保证。当然这类方法也有缺点，主要是有时把间断的过渡区拉得过宽，有的虽然抹平了振荡，但精确度都是一阶的，而高阶的方法在间断的前或后都会产生不应有的振荡。激波捕捉法主要包括显式人工粘性、隐式人工粘性和自动调节的混合格式。31显式人工粘性显式人工粘性方法是在要求解的方程中另外加上一定的扩散项，比如A2T，等。在数值平滑计算中，这种人为引进的项起着粘性作用，所以称作“工人工粘性项。其效果是把间断解化为具有过渡层的连续解。上述R是一个小参数，它随步长R，H趋于零面趋于零。这种方法是“CONNEUMANN和RICHTMYER2I为求解气体动力学方程组最先使用的。在LAGRANGE坐标下气体动力学方程为堡一塑O西苏塑望O甜缸堡。丝0魂。瓠其中V为气体比容，“为速度，P为压力，E为比内能。VONNEUMANN和RICHTMYER引入人工粘性项G后，方程组为生一塑OET瓠丝旦盟O西AO宴PG娑O对于人工粘性Q，司选择如F形式一12L,_CAU，,2L,0U一,QJ2一L_，L一J其中参1，如果罢O肌瓦J川禾瓦UL是具有长度量纲的正常数。下面我们给出31的一个差分格式比L二坚。型二二坐FH堑塑堑型一业二坠FH031032生字啊忆。竿2O“14一“月01，一“M0R为网格时间步长，H为空间步长。引进人工粘性项是重要而技巧性很强的方法，它不应使间断强度过于减弱，也不应使过渡区拉得太宽。如何构造出好的KRA性，自VONNEUMANN和RICHTMYER的开创性工作以来很受人们的重视。32隐式人工粘性隐式人工粘性不是在微分方程中加一个另外的项来使间断具有光滑的过渡，而是对微分方程进行离散时，差分格式本身就带有类似于粘性这样的项。因此也称为隐式人工粘性为格式粘性。有了这样的项之后，就可去以使间断有一个光滑的过渡。下面我们通过一些例子来说明某些差分格式确实存在这样的项。首先我们考察逆风格式。为了简单，我们取常系数双曲方程竺口竺O，口OF331A孤其逆风差分格式是坠型二堑D二堑OFH34这个格式的截断误差是阶的。为了进行考察，我们把改写成34下面的形式坠坚口堕二垡F2丝堑二塾堑12H2上式右端项可以看作器2的离散，因此逆风差分格式可以看作微分方程A“A“A“A一S厅了A苏氖2显示格式。占窑称为隐式人工粘性项或格式粘性项。我们注意到，当0X。H斗O时一0。但在具体计算中，H0。因此格式粘性项是会起作用的。现在我们考察逼近守恒律塑型035甜出的I，AXFRJEDRICHS格式垫竺竺丑二红R2H036这个格式的截断误差对时问步长F是GRN，对空间步长H是二阶的。上式可以写成因EVA36和37可阻看作微分方程堑二弩竺坐37H2詈掣叫N，磐0XA反、。238的简单显式格式，其中S笔。S鲁就是格式粘性项。正因为有了ZR0霄。它，可以用LAXFRIEDRICHS格式计算间断解。需要注意的是，由于LAXFRIEDRICHS格式对时间步长R的截断误差是一阶的，精度不高，从一些实际例子可以看出，在解的间断处，连续的过渡区比较大。最后我们简单考察一下LAXWENDROFF格式。对于常系数对流方程组OUAOU0西融39的LAXWENDROFF格式是1厂爿去。叶O妄以一2MHJL,N这个格式的截断误差是二阶的，它相当于用高于二阶的精度逼近方程组坐4坐D“出揪一其中如一IIAH2_R2A2窘一扣112R2A2窘由此可知，利用LAXWENDROFF格式进行计算相当于逼近一个具有小参数项的微分方程。从而LAXWENDROFF格式也包含了隐式人工粘性项。由于LAXWENDROFF格式的截断误差是二阶的，因此它在间断解的计算中经常使用。需要注意的是，它的计算结果具有明显的振荡，比如23中的例子。33自动调节的混合格式我们从前面的讨论知道，利用阶精度格式如LAXFRIEDRICHS格式计算间断解，间断的过渡区比较宽。而在解的光滑区，计算精度不高。但是计算得到的解不会出现振荡。用高精度格式如LAXWENDROFF格式进行计算，在间断前后产生振荡，但间断的过渡区比较窄并且在光滑区精度高。AHARTEN6提出了一种自动调节的混合格式，这种格式是在解的光滑区用高精度格式以提高计算精度，而在解的间断处则用一阶精度格式以消除振荡。它们之F司的转换是使用丌关函数来自动完成的。设三和K是逼近方程组OU研掣O310品缸7两个差分格式，并且上，是一阶精度的，。是RR2阶精度的。令口，一一五辟，一碍，311工。“H一五，LJ2一厅J2312其中兄是时问步长与空间步长之比，即网格比。自动调节的混合格式定义如下工H“一AJL，2一H一I，2313其中H卜，O。，2矗J，21一嘭，2，LJ嚣20臼1。口就是自动开关，其构造方法如下在间断的过渡区取0；】，而在解的光滑区取0Z0。这样一来，在光滑区和间断的过渡区就分别用高精度格式和一阶精度格式进行计算。可以把混合格式313改写成工，工。厂五咿JL2螂，一2OJ。，J”I，2盘314我们看到，在解的光滑区取0OAX，PR一1，那么有上“，月J0船于是，在光滑区内L和。的截断误差是同阶的。从3，13我们还可以看出，混合格式可以看作L。加上了一个人工粘性项。作为例子我们取。为LAXWENDROFF格式，此时R2，L2U，旷兰“一几等4二。TTJ。TT一4MUT1_T315其中一A，OUI，正，爿毕取厶为LAXFRIEDRICHS格式“，百1“川“川一鲁一一，316为了便于比较，可以把上式改写为厶，U1一鲁I一一1I1“川一2“J“川317这样有去乃。一害爿二。“川一HJ，L丢厶，一鲁“，因此混合格式可以写作上H工2H，去【目PI，2J一2Q，2“，2HPL一1,11一OJTL2，一2爿卜2L，2“一UJI】其中，表示单位矩阵。于是，构造混合格式就相当于在LAXWENDROFF格式中加上了如下的人工粘性项垡墅呈一T2AZ当2DRCR可以看出，如果0D缸，那么和L2是有同样精度。下面我们考虑混合格式的稳定性。取0为常数，001，那么混合格式313就化为上OLL1一OLW由此可以得到OLLL。II1一OLLL。因此，如果厶和L。是稳定的，那么L也是稳定的。而且L的稳定性条件是和。中较严的一个。作为例子，考虑常系数线性方程组，即方程39，爿为PXP常数矩阵。K取LAXWENDROFF格式R2L2U，“一要R一，冬爿一“，一4JUI_,1我们知道，其稳定性条件是五P41L，取一阶精度格式工1HJ2“JI“卜L一2“H一L可以求得其稳定性条件是如爿塑2318对应于上述和厶的混合格式三是1LUJ2三2“吉臼卜1，2“JLUJ一8JI2“，I,I卜1】显然，上在条件318之下是稳定的。最后，我们考虑怎样来选取自动开关函数0，方便起见仅对标量情况进行讨论。设AU是“的一个具有间断的函数。令盯，GU，A，L，2盯盯，1一O，只卜。刮一卜。刮1晤。01K抛。1LOF01知和占令W爿叫知2CF占其中S是一个适当选取的常数。容易看出，当解光滑时，有色O缸。由百，的定义有O西J1，而且当AJL2盯O和I川，仃LS或者当IAI2盯LF和AL_F2TYO时有幺1。现在定义自动开关函数如下0，2MAX舀，亩川由此得出，00N，2蔓1，满足我们的要求。注1972年RICHTMYER241认为激波拟合法是解决一维问题的最好方法。MORETTI19】做出了在二维问题的网格上如何拟合一个单激波。激波拟合法的思想是在解的光滑区采用高阶格式，而在间断处采用熵条件28或RANKINEHUGONIOT关系式【14来连接间断两边的间断点。这类方法的困难在于首先要找到间断点，其次是该如何连接光滑区和间断区，而且得到的不是一个统一的格式，分柝该格式的稳定性是非常困难的。尽管如此，激波拟合法毕竟是对如何提高间断处的精确度、抹平振荡进行了可贵的探索，由于资料缺乏，这罨不作详细讨论了。9第四章一种新的数值解法一一“二选一”方法前一章给出了计算双曲方程间断解的些常用方法。然而，这些方法都无法解决高阶显式格式在间断处的振荡问题。为了解决这个问题，我们提出了一个“二选一”方法，这个方法是在每一网格点上用两个高阶格式分别进行计算，得到两个数值解然后根据给出的选取准则，选取其中之一作为该点的最后数值觯。这个方法可以在间断处不会产生振荡，保持了解的单调性。最后用些实例说明了它的优越性。41一维闯题考虑如下的一维对流方程塑口竺0一OJO，L，2N0I，24142其中H，表示X方向的空间步长，一为时间步长。用“。表示XJ，F。处的数值解。我们首先选取两个二阶显式格式格式I格式【采用LAXWENDROFF格式，即垡2H鸭。广“川簪ZJL,2UJ,NUJL格式格式II采用二阶逆风格式，但是要分两种情况，即R43、。巩，一半TDJ,“JT,N一等“川。一2BILL,NLLJ2NA，。0一4、。巩，竿11JL,NLDJ,A一等1一巾厂2”口J，。O选取网格如下XIJH。YKHYIF。门FJO1监KO12RL12其中，H。分别表示为X方向和Y方向的空间步长，T为时间步长。构造金字塔网格如图1J蚍I7，T23望；呈；312垒夺，JJ|，IT1TJ三驻L旦T工9T20TL二一一里L全卫J13J里LLJ5TT一蟹蟹受OR丑一瑶骡掣誓图44上各点坐标如下MX。，YO，OR图44金字塔网格TIXO2H，YO一2H。，ROT2XO2H，YOHY,TOT3XO2以，蜘，“T4XO2H，YOHY,，OT5XO2H，YO2Y，“T6XOH。，YO一2H，FOT7XO九，YOHY,TOT8XOA，YO，OT9XO，YOV，OT10XO。，YO2H，TOT1LXO，YO一2H，TOT12XO，YOHY,LOT14XO，YOH，TOT13XO，YO，TOT15XO，YO2，FOT16XO一，YO一2H，FOT17XO一以，YOHY,TOT18XO一。，YO，TOT19XO一，YO。，TOT21XO一2H，YO一2HY，ROT22XO一2K，YO一九，OT24XO一2H，YO，O，。25XO一2H，YO2H，TO格式I将方程46改写成如下形式害怕D讲XO磊U邶D出Y，O却U一。48在金字塔网MT7T9T17T19上分鄹沿侧棱MT7，MT9，MTL7，MTL9的中点将上式离散化，即鼍孚D一孚一半擘OY旷ORR僦FI7，9，17，1949“。表示M点的数值解，其余类同。AML,I表示A在MTI中点的值，其余类同。并且面DUK，。一事。采用中心差商，叭宰。丝二堕DF2TITF矿孚。一掣。业OR2ELLR然后在金字塔网格的中间层上对T13作TAYLOR展开，即掣，譬O一氏D2YY。叱RD5O向；O；R2OXF；，OCXZ410马，娑。O一南D4Y一虬吐三矾O留O彬2OY。5OOY411其中并取以竺，OXOL巩罢，口VD。妻，OYOT将410，411式代入49式得到D。娑。出圹ALRH，鲁小IHYD4D。宴。文钟B，RHY如H2XD。一HYD2D6。市。孵附。412旷A2ZHXM，等D2每D4十B2RHR黼等”铷D帕D衲”。413“。“。，口3Z“皿吐一H2D。H2YD。三D，B3R吩哦一H，RD。H，RD，十吾瓯OAQD孵O，O其中”A,RHXM，一了HX”等D4414B4R，如一等比H2ED，三畋D碟。孵。内。415驴等，扎一每，”争BIBC等旷知争“一铲一砂，D塑掰D旷吣。等幽等吾铲M。一了HX执一每，”吾铲M。一了HX砒号62。XOH。X砒知争小坼。一了HXM一等争”EX0等挑知如果A，B中含有IOU，IOU，则将410，411式代入A，B消去3U，O_U融砂出却即可。把412415式中余项略去，得到一个含有“。，D4,D，D。的方程组。解此方程组，求出“。，即为格式I在M点的数值解。其中取弘，击UT。91码，屿旷哪旷，0孵小旷击嘞。协S叶18叶170砖41164117咖C窘H，壶C地。M一也。坶一也。，删怕4118如C守H，击C也ZS吗，。也，一Z坶旷ZE，圳蜘419由余项可知，此格式的截断误差是二阶的。格式II如果口AX，YYO，O00，6，YYO，000，则在金字塔网N格GMMTTLLLLTTLL33TT2211TT2233上沿侧棱MMTTIIII111，13，21，23的中点将48式离散化，并对TTLL77作TATAYYLLOORR展开。如果口AX，虬F。00，6，Y“0，则在金字塔网格MTLT3T11T13上沿侧棱MTII1，3，1L，L3的中点将48式离散化，并对T19作TAYLOR展开。如果AXO，YO“O，6粕，Y。T。0为例作说明，其余类同。当AXO，YO,TO0，时6，YO“0，在金字塔网格MTLLTI3T21T23上沿侧棱MTII_11，L3,2L，23的中点将48式展开得到等粤M。一气与警M一半为一200XOYRRRILL，13，21，23420然后在该金字塔网格中间层上对T17作TAYLOR展式，即娑，罢，工一E2J，一Y。P。；岛OD；OFF2CW，O0X421娑，罢O一P。，一Y。岛三。O霹D；OF20V，FOY上422其中铲C瓢，铲C，铲C骞H，A2“、E52丽H并取孚。洲旷祟7，口VDF铲婴，唧将421，422代X420T蛰L“。UTLL口，RE，。EZ三ES如R一2H施D确D彬O，OR4，23其中“”UTI3HSRE一H，E2十“一EA考ESB6R。P。，巳互RD6O磁O彬DR3O“”“T21ATY2TGT2R_AS67F一2HYEO要吨。存亡。井OR3O“M一“RQA8F2H，EL，P4V_D5B8RHY勺委吨。EDOV30二口5日XO，YOHY,，O口6口XO，YO，“旷心。一丁3HX砒一知争8口工。一垃，YO，FOR424425R426B5BXO，YOHY,，OB6BXO，YO，TO”吣。一孚幽一孚，”争B8BXOHY,YO，FO同样如果A，B中含有罢，考贝|J双421I422式代入A，B消去娑，_ONTXCRY出即可。把423426式中余项略去，得到一个含有“。，E。，E51E。的方程组。解此方程组，求出“。，即为格式II在M点的数值解。其中取铲，击旷MS嘞，嘞0427铲缸，6暑_UTI3UT23均旷玛1。噬428旷萨02,B“壶，也”SMM喁地”，蚋Z坼2一一0霹429铲嘉717_士也。一。也。，坞162“。坞，。蜘430由余项可知，此格式的截断误差是二阶的。二选一由第二部分的两个格式，我们得到了M点的两个数值解。下面我们提供了一个准则来选取其中之一作为M点的晟后数值解，从而能够保证最终结果具有单调性，很好地光滑了间断处的振荡。X图45算子积分区域令方程45的算子工“孚型OX型AYOT在区域V及V的表面S上的平均值为，。“，即有肚DXDYDTT卜画3”我们选取图45中的长方体ABCDEFGH为V，其外表面为S，图上各点坐标为0、“以丁生执挑以丁吃I烈力订0O汀B一一一儿蜘以一九丁一爿CE_HX，Y。_HXY。知则由26式可得“咖赤俨圳2赤铲蛐扣“础6“黝F一了HX，蜘HX。_HX，Y。2击T髓姗，一壁出由融“咖卜辫“劬T2面1。丁HHY饥饥卜竽坼地竿刚一胁饥刚。一竽C刚一挑BDU，“日NTUFAGLLG“GBNUHBL；U6F即D噬FO以F3DO唧FD以F3O巧由TAYLOR展式可得I“日“D2U，L“C2UMEIO理DD贸O432433D贸DOF2434D向；D；OF2一2一姗俨|一出出胪P妒卜寸如了苦一砂钆一砂，L以一一加一缸抛一缸K以LL“。委“，。，“，O向。矗；“，寺“，“，O向O；“GI1“,DTL9OO砖435“一圭“R，“R，O向；DAJ将433435式代入432式的最后一个式子。可以得到“炉赤H，HYIAAABACAA地LBABNBCBOHYR卜竽I1吨飞帆拽RBEBFBGBNHVRK。小THXHY去吼砌瑚P去BAB。BE妒K，石1口。口。一D。凡R去8BABE6CBD，FH【_生争西1口。飞地膨”去BEBO3BHYR。嚎D。飞帆一”石1也也_6C也妒】畸1一吼口。一口。HXRLBA6。6。啪，咖，。一THXHYLANAC3ARHXRLB8BO3BFHYRTSAAAEACAO以去“”6CBO妒卜THXHYLAN3AG”去BA6C埘。以帆。OH436其中见MAXHX,HY,RJI直口果A，B中含有鲁，考，贝|将例对T13GTAYLOR展丌，然后将格式I中点T13的各阶偏导数值代入就可消去瓦OU，考。最后将第二部分得到的两个计算结果分别代入下式，取使下式最小的一个作为点的最终数值解。J也九三。口。一口。也FLBAB。BD以F甜“卜警扛嘶飞溉R扣。也6G地HCK。，卜警瓦1A。3九H瓦1山。一6CBEHYR4去A4ANACAO如去也地6C6D以咖，。卜竽LANACA。3AH地升去BBBO3BNM小，AAAACAO”去一6ABABC6D妒去飞飞妒去6。地6C6D妒。卜THTHY西I一口。一一3D，HJLBSBO3B，F去鸣吨嗨一以R去“也6C_6D妒K。卜下H,HY西1嘞嘞。如击BABC36GHER圳F4371数值例子为了更好地说明我们所给的方法的优越性，下面我们分别给出了初始条件分别是间断的和连续的两种情况的例子。并与有关方法进行了比较。例一初始条件间断，A,B相同。我们先给出AB相同的情况，在下面的例二中我们给出了AB不相同的情况，KWAK11等人曾经给出一个类似的方法，但是该方法只能解决A,B相同的情况，因此在这两个例子中，我们将“二选一”方法与KWAK等人的方法进行了比较。考虑如下方程罢R娑F譬0一。1图46“二选一“方法二维AB相同图47KWAK等人的方法二维，A，B相同取A，H。F005。T05，“二选一”方法计算结果见图46。KWAK等人的方法计算结果见图47。例二初始条件间断A，B不相同。考虑如下方程呈，呈妻，O_ZU0OOL取H，H，R005。TO5时，“二选一”方法计算结果见图48RKWAK等人的方法计算结果见图49。从图46图49可以看出，当A,B相同时，两个方法效果几乎一样。当A，B不相同时，KWAK等人的方法在间断线上产生了振荡。而采用本文的“二选一”方法，无论A,B是否相同，都能很好地光滑高阶显式格式在间断处的振荡，保持了在间断处的解的单调性。图48“二选一“方法二维，A，B不相同图49KWAK等人的方法二维，A，B不相同例三初始条件连续考虑如下二维对流方程丝8T。OOSX丝8XO004Y考。一。X，Y懈。FR“X，Y，。ELOO丽X巧YI而100而XY时间步长FO1，空间步长以H，O1。R。1时，用LAXWENDROFF格式计算结果见图410，从图上可以看出，有明显的振荡。用“二选一”方法计算结采觅圈411，可以看国已经没鹰了振荡。方耧的精确解觅图41L。图410LAXWENDROFF格式二维图41L“二选一”方法二维圈412精确解二二维注需要说明的是，我们在运算过程中发现，在拟线形的情况下在每一网格煮要保证。8丝LF否则我们的格式将是不稳定的。6生L参考文献阻PHILTIPCOLELTAANDELBRLDGEG窑FRYPUCKETT,MODEMNUMERICALMETHODSFOFFLUIDFLOW楚垫蛩魁至宝照蛰鼗邀受照Y量夔塑2氢蹩立壁垒盟塑鲢啜蹙I蠡签L匝曼I魏Q焦鱼E堑鹜廷L盥，DRAFTOFNOVEMBER8，1994。【2CRADALLM，G，ANDMAJAA，MONOTONEDIFFERENCEAPPROXIMATIONSFORCONSERVATIONLAWS，NTUMERMATH。COMP，VOL。34，1，1980【3】BENGQUISTAND13SJOGREEN，HIGHORDERSHOCKCAPTURINGMETHODSCOMPUTATIONALFLUIDDYNAMICSREVIEW1995，M，HAFEZANDKOSHIMAEDITORSWILEY,NEWL滟旅，T995F4】嚣GODLEWSKYANDPA。RAVIART，NUMERICALAPPROXIMATIONOFHYPERBOLICSYSTEMSOFCONSERVATIONLAWS，APPLIEDMATHEMATICALSCIENCEIL8。SPRINGEVERLAG，NEWYORK，1996F霹HARTENA，ANDHYMANJ。M，ANDLAX疑釜，ONFINITEDIFFERENCEAPPROXIMATIONSANDENTROPYCONDITIONSFORSHOCK，COMMPUREAPPLMATH。，VOL，29，P。297，L976【6】HARTENA，THEARTIFIDALCOMPRESSIONMETHODFORCOMPUTATIONOFSHOCKSANDCONTACTDISCONTINUITIESHTSELFADJUSTINGHYBRIDSCHEMES，MATHCOMP，V0132，P363，1978，F7】HARTENAANDLAX曼D，ARANDOMCHOICEFINITEDIFFERENCESCHEMEFORHYPERBOLICCONSERVATIONLAWS，SIAMJ。NUMERANAL，VOL18，P，289，1L疆JHARTENA，HIGHRESOLUTIONSCHEMESFORHYPERBOLICCONSERVATIONLAWS，J，COMPPHYS，V0149，P357，1983【9】HARTENA。ANDOSHERS，UNIFORMLYHI曲ORDERACCURATENONOSCILLATORYSCHEMESI，J，APPLNUM；MATH。，V017，P279，T987【10】JENNINGS13，DISCRETESHOCK，COMMPUREAPPLMATHV0127，P25，1974【LL】DOYOUNGKWAK，MIKHAILLEVINANDSUNGYUNLEE，INDECOMPOSABLEQUASICHARACTERISTICSSCHEMEOILPYRAMIDALSTENCILANDITSAPPLICATIONFORNUMERICALSIMULATIONOFTWOPHASETHROU馥HETEMGENEOUSPOROUSMEDIUM，NUMERICALMETHODSFORPARTIALDIFFERENCEEQUATION，V0118，P44，2002【T2】LAXPD，WEAKSOLUTIONSOFNONLINEARHYPERBOLICEQUATIONSANDTHEIRNUMERICAICOMPUTATION，COMM。PUREAPPLMATH7，VOL。159，954FL3】LAX我D。，HYPERBOLICSYSTEMSOFCONSERVATIONIAWSII，COMMPUREAPPLMATH。，VOL。10,P，537，1957【莓LAXPD，ANDWENDROFFB，SYSTEMSOFCONSERVATIONLAWS，COMMPURE、APPLMATH，V0113，P267，196015LAXPDANDWENDROFFB，DIFFERENCESCHEMESFORHYPERBOLICEQUATIONSWITHHIGHORDEROFACCURACY，COMMPUREAPPLMATH，V0117，P381，1964【16】LAXPD，SHOCKWAVESANDENTROPY,IN”CONTRIBUTIONSTONONLINEARFUNCTIONALANALYSIS”，EHZARANTONELLO，ED，ACADEMICPRESSNEWYORK，197117LAXP，D，HYPERBOLICSYSTEMSOFCONSERVATIONLAWSANDTHEMATHEMATICALTHEORYOFSHOCKWAVES，SIAMREGIONALCONFSERIESLECTURESINAPPLMATH，V0111，P1，197218MORETTIGANDSALASMD，NUMERICALANALYSISOFVISCOUSONEDIMENSIONALFLOES，JCOMPPHYS，V015，P487，197019】MORETTIG，FLOATINGSHOCKFITTINGTECHNIQUEFORIMBEDDEDSHOCKINUNSTEADYMULTIDIMENSIONALFLOWS，PROC1974HE