兰州商学院毕业设计希尔伯特变换的分析与应用毕业论文

兰州商学院本科生毕业论文（设计）论文（设计）题目希尔伯特变换的分析与应用学院、系信息工程学院计算机科学与技术系专业方向电子信息工程年级、班2007级电子信息工程学生姓名贾金花指导教师路永华_2011年5月28日声明本人郑重声明所呈交的毕业论文（设计）是本人在导师的指导下取得的成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。本毕业论文（设计）成果归兰州商学院所有。特此声明毕业论文（设计）作者签名年月日I希尔伯特变换的分析与应用摘要希尔伯特（HILBERT）变换是信号分析处理技术中的一种重要方法，它可以将信号进行90度相移，并能有效地提取复杂信号的瞬时参数瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率。文中详细讨论了希尔伯特的特点及算法，并介绍希尔伯特变换在探地雷达数据处理、数字IQ下变频器及通信解调中的应用。关键词HILBERT变换，探地雷达，信号处理，瞬时参数IIABSTRACTHILBERTTRANSFORMISSIGNALTHEANALYSISTECHNOLOGYISAKINDOFIMPORTANTMETHOD,ITCANDELIVERSIGNALSTO90DEGREESPHASESHIFT,ANDCANEFFECTIVELYEXTRACTCOMPLEXSIGNALINSTANTANEOUSPARAMETER,THEINSTANTANEOUSAMPLITUDE,INSTANTANEOUSPHASEANDINSTANTANEOUSFREQUENCYTHISPAPERDISCUSSESINDETAILTHECHARACTERISTICSANDHILBERT,ANDINTRODUCETHEHILBERTTRANSFORMATIONALGORITHMINGPRDATAPROCESSING,DIGITALIQUNDERTHEAPPLICATIONOFINVERTERANDCOMMUNICATIONDEMODULATIONKEYWORDSHILBERTTRANSFORM,GROUNDPENETRATINGRADAR,SIGNALPROCESSING,INSTANTANEOUSPARAMETERSIII目录一、引言1（一）背景及意义1（二）希尔伯特变换的发展现状2二、希尔伯特变换的分析3（一）希尔伯特变换的定义31、卷积积分32、2相位33、解析信号的虚部4（二）希尔伯特变换的性质5三、希尔伯特变换的应用7一希尔伯特变换在探地雷达数据处理中的应用71、在探地雷达中的应用72、公式83、算法94、希尔伯特变换C程序115、在探地雷达中的应用效果14（二）数字IQ下变频器151、希尔伯特变换152、基于希尔伯特变换的数字IQ下变频器16（三）希尔伯特变换在解调中的应用171、希尔伯特变换172、在解调中的应用183、解调性能分析19四、结论与前景展望20（一）结论20（二）前景展望20参考文献21致谢231希尔伯特变换的分析与应用一、引言（一）背景及意义在通信系统中，经常需要对一个信号进行正交分解，即分解为同相分量和正交分量。由于希尔伯特变换可以提供90度的相位变化而不影响频谱分量的幅度，即对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行正交移相，使它成为自身的正交对。因此，希尔伯特在通信领域获得了广泛应用。对HHT采样频率、终止准则、曲线拟合、边界处理以及模态混叠等问题进行了分析，并基于HHT的时间特征尺度概念，提出了一种新的边界处理方法边界局部特征尺度延拓法，较好地改善了边界效应对EMD分解的影响。将HHT用于电力系统的信号处理，并根据HHT的信号突变检测性能，提出了一种超高压输电线路的EMD故障测距方法。仿真实验表明，该方法能很好地实现故障定位及测距。物理意义希尔伯特可看成一种滤波，其本质上是对所有输入信号的90度相移器；对于稳定的实因果信号，其傅立叶变换的实部和虚部满足希尔伯特变换关系，同时其对数幅度谱和相位谱之间也满足此关系，前提是该信号为最小相位信号。工程意义对于自由度为一维的条信号，比如PAM，其等效基带信号是实的，这意味着对应的基带频谱是共轭对称的，即一半的频谱是冗余的，那么就可以将频谱滤除一半再进行传输，这就形成了所谓的单边带调制SSB。而理论上，一个信号和其HILBERT变化后的值相加，就可以得到所谓2解析信号，该信号只保留原信号的正频谱。而单边带调制虽然节省传输频率，但为了进行边带滤波，必须进行复杂的频谱成形，发送和接收的复杂度都比较高，相干载波的相位误差所造成的影响大。所以，选择PAM信号进行频谱滤除的滤波器具有一定的滚降，即保留部分PAM信号中的冗余频谱，这样就成为VSB调制。（二）希尔伯特变换的发展现状近年来，随着现代信号的向前发展，人们从不同的研究领域和应用角度出发，提出了拓展经典HILBERT变换，提出了分数阶HILBERT变换，拓展了它的应用范围。比如子波构造，特别是时序列信号的解析子波分析；基于离散时间的分数阶希尔伯特变换的调制与解调系统；利用广义化后的HILBERT构造的广义解析信号进行图像边缘的检测等等。在数字与信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换在此标示为H是将信号ST与1/T做卷积，以得到ST。因此，希尔伯特变换结果ST可以被解读为输入是线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/T。这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络，出现在通讯理论中。在通信系统中，经常需要对一个信号进行正交分解，即分解为同相分量和正交分量。由于希尔伯特变换可以提供90度的相位变化而不影响频谱分量的幅度，即对信号进行希尔伯特变换就相当于对该信号进行正交移相，使它成为自身的正交对。因此，希尔伯特在通信领域获得了广泛应用。例如利用希尔伯特变换进行谐波恢复，希尔伯特变换在故障诊断中的应用，希尔伯特变换在信号解调中的应用，希尔伯特变换在语音信号处理中的应用等。3二、希尔伯特变换的分析希尔伯特变换是以著名数学家大卫希尔伯特DAVID来命名。在信号处理的领域中，一个实值函数的希尔伯特变换HILBERTTRANSFORM，是将信号ST与1/T做卷积，以得到ST。因此，希尔伯特变换结果ST可以被解读为输入是线性非时变系统的输出，而此系统的脉冲响应为1/T。用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络。（一）希尔伯特变换的定义1、卷积积分设实值函数TF，其中,T，它的希尔伯特变换为DTFTF21常记为TFHTF22由于TF是函数TF与T1的卷积积分，故可写成TFTFT1232、2相位设TFFFF，根据23式和傅里叶变换性质可知，FF是TF的傅里叶变换FF和T1的傅里叶变换的乘积。由0,0,SGN1FJFJFJTF24得SGNFFFJFF4SGNFJ可表达为EFJFBSGN2所以FB是一个2相移系统，即希尔伯特变换等效于2的相移，对正频率产生2的相移，对负频率产生2相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位41波长。因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。3、解析信号的虚部为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数TZTFJTFTZ25也可以写成TJETATZ26其中，TA称为希尔伯特变换的包络；T称为瞬时响应信号。希尔伯特变换包络TA定义为22TFTFTA27相位定义为ARCTANTFTFT28瞬时频率定义为DTFDF21029根据傅里叶变换式1FZFTZTFJTF5IMRETZTFTZTF210为计算FZ，由SGNFFFJFF知SGN1FFFFZ1FFFB211其中因此，可以简单地从FF得到TZ，而TZ的虚部即TF。（二）希尔伯特变换的性质线性性质若A，B为任意常数，且11TFHTF，22TFHTF，则有2121TFBTFATBFTAFH212移位性质ATFATFH213希尔伯特变换的希尔伯特变换TFTFH214此性质表明，两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号，由此可以进一步得到22TFJTFHNN215逆希尔伯特变换DTFTFHTF12160,00,21FFFB6TF为TF与T1的卷积，可表示为SGN1FFFJFTF217其中，TFFFF。奇偶特性如果原函数TF是T的偶（奇），则其希尔伯特变换TF就是T的奇（偶）函数，即偶奇奇偶TFTFTFTF218能量守恒根据帕塞瓦尔定理可知DFFFDTTF22|和DFFFDTTF22|因而有DTTFDTTF22219正交性质0DTTFTF220调制性质对任意函数TF，其傅里叶变换TF是带限的，即其他,0|,MFFTFTF则有TFTFTFTFHTFTFTFTFH00002COS2SIN2SIN2COS2217卷积性质2121TFTFTFTFH222另外，希尔伯特变换具有周期性和同域性，即希尔伯特变换不改变原函数的周期性，也不改变域表示，而不像傅里叶变换那样，把时间函数（信号）从时域表示换成频域表示。常用希尔伯特变换TFTFTW0COSTW0SINTW0SINTW0COSTJWE0TJWJE0TJWETM0TJWETJM0三、希尔伯特变换的应用一希尔伯特变换在探地雷达数据处理中的应用1、在探地雷达中的应用探地雷达（GROUNDPENETRATINGRADAR）是近几年迅速发展起来高分辨高效率的无损探测技术，向地下发送脉冲形式的高频宽带电磁波，利用地下介质电性参数差异，根据回波信号的振幅、波形和频率等运动学特征来分析和推断介质结构和物性特征，具有快速便捷、操作简单、抗干扰和场地适应能力强、探测分辨率高等方面的特点，目前已成为工程检测和勘察最为活跃的技术方法之一。8雷达的探测必须经历数据的采集、处理和解释等三个步骤，数据处理的目的就是要压制干扰，以最大限度的分辨在雷达图像剖面上显示反射波，提取有效信息，因此信号处理的好坏直接关系到最终资料解释的正确与否，是至为关键的一步。探地雷达的资料处理在理论上属于数字信号处理范畴，希尔伯特（HILBERT）变换在本质上是一种全通滤波器，是信号分析处理中的一种重要方法，HILBERT变换巧妙地应用解析表达式中的实部与虚部的正弦和余弦关系，定义出任意时刻的瞬时频率、瞬时相位及瞬时幅度，使得对于短信号和复杂信号的瞬时参数的提取成为可能，从而能更有效地、真实地获取信号中所含的信息，有利于分析地下介质的分布情况。下面将HILBERT变换用于探地雷达资料的数据处理中，提取出瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率，即“三瞬”信息，为后续的雷达资料解释提供了很好的依据。2、公式雷达记录XT的HILBERT变换公式TTXTX1（31）变换因子的时间响应HT为TTH1（32）其频率响应,0,0JHJ9由上式可知，一个是实信号经过HILBERT变换之后，相位谱要发生90相移，因此HILBERT变换又可称为90相移滤波。3、算法设一个解析信号可表示为依赖于时间的复变量UTXTJYT33式中，XT是信号本身，YT是它的正交。正交是记录信号的90相移翻版。对XT作HILBERT变换就可得到TTXTY134代入方程式33，我们有1UTXTJXTT35或1UTTJXTT36这样，要得到探地雷达单道XT的解析信号UT只要对该道加上下列算子1TJT当在傅立叶变换域中是解析的，这个算子对负频率就是零。因此复数道UT不包含负频率成分。一旦算出了UT，就可以指数形式表达10JTUTRTE37式中1222RTXTYT（38）及ARCTANYTTXT39这里RT代表瞬时振幅，T代表瞬时相位。对瞬时相位还可用下面一种方法计算。对方程（37）两边取对数得，LNLNUTRTJT310因此IMLNUTT311式中，IM是虚部。瞬时频率是瞬时相位函数的时间变化速率DTTDT312对方程式311求导1IMDTDUTDTUTDT313为实际实现，方程式313写成差分方程1IM2TTTTTTTUUUUT314最后对方程式314简化得112IMTTTTTTTUUTUU3154、希尔伯特变换C程序希尔伯特变换C程序用于相位的求取。DEFINEPI31415926DEFINEPI262831853INCLUDE“STDIOH“INCLUDE“MATHH“/INV1FORWARDTRANSFORMINV1INVERSETRANSFORM/FFTFLOATSR，FLOATSX，INTM0，INTINVINTI，J，LM，LI，K，LMX，NP，LIX，MM2FLOATT1，T2，C，S，CV，ST，CTIFM02FORLI0LIPOW20，K10KK1NFFTPOW20，K1014DF10/NFFTDTNFHF/DF1PRINTF“NFFTDKDN“，NFFT，KPRINTF“DTFDFFNFDN“，DT，DF，NF/FILLZEROIFNPNFFTFORINPINFFTIXRI0FORI0INFFTIXII00/CALCULATEFFTFFTXR，XI，K，1/OUTPUTAMPLITUDEANDARGUMENTFORI0INFIFIDFFPRINTFFP2，“D82F124F124FN“，I，F，ATANXRI/XII，SQRTXRIXRIXIIXIIFFTXR，XI，K，1FORI0INPITIDTFPRINTFFP1，“10D104F104F104FN“，I1，T，XTI，XRIFCLOSEFP1FCLOSEFP25、在探地雷达中的应用效果石刚在文献12中，利用HILBERT变换算法对某地下人防通道采集的探地雷达数据进行了处理，探测天线为100MHZ，剖面时间窗为140NS，处理结果如图1所示，椭圆圈出人防通道的具体位置。在图1中，A是原始剖面，B是对原始剖面进行HILBERT变换后的瞬时振幅剖面，C是对原始剖面进行HILBERT变换的瞬时相位剖面，D是对原始剖面进行变HILBERT变换的瞬时频率剖面。从结果对比来看，HILBERT变换对公路塌陷有良好的反应，在HILBERT变换运算过程中，通过求取瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率剖面，强化了介15质对雷达波的反射和吸收对比度，从而在某种程度上可以提高异常信号的分辨能力。图1HILBERT剖面（二）数字IQ下变频器在通信系统中，人们提出利用数字方式产生具有高平衡度IQ信道的方法。在该方法中，I信道的数据从单信道的下变频器得到，Q信道的数据通过对I信道的数据进行处理产生，从而把IQ信道输出之间的不平衡度保持在最低限度。以数字IQ下变频器为例，通过对数字化后的输入信号进行快速傅里叶变换以确定XF，其时域希尔伯特变换是利用HF的定义，并通过FFT反变换来获得。1、希尔伯特变换函数XT的希尔伯特变换定义为与XT函数HT的卷积。这可表示为11HXHXTXTXTHTXTDTXT316其中，表示卷积，HXT和HXT表示时域中的一个希尔伯特变换，16HTXT。频域中的希尔伯特变换可表示为HXFXFHF317由于HT的傅里叶变换为1,01,0SGNFFFHTHFJFJ318所以，只要将XF的负频率乘以J，而正频率乘以J，即可得频域内的希尔伯特变换。当输入信号SIN2IXTFT时，其傅里叶变换为2IIJXFFFFF319将其负频率乘以J，而正频率乘以J，得1COS22HIIIXFFFFFFFT320对等式两边同时求傅里叶反变换，得SIN2COS2IIHFTFT321上式表明，正弦函数的希尔伯特变换就是负的余弦函数，结果是将输入信号移相了J。同理，如输入信号是余弦函数，则希尔伯特变换就为正弦函数。结果也移相了J。因此，希尔伯特变换可以提供90度得相位变化而不影响频谱分量的幅度大小。2、基于希尔伯特变换的数字IQ下变频器基于希尔伯特变换的数字IQ下的变频器的结构如下图2所示BPFA/D延时单元希尔伯特滤波器频移或抽取17图2变频器的结构图中频信号首先被直接采样，然后分上下两路，一路信号经过延迟单元，另一路信号经过希尔伯特变换网络，从而得到正交数字信号。在数字接收机中，输入信号被数字化并进行快速傅里叶变换（FFT）以确定XF，其时域希尔伯特变换是利用对HF的定义，并通过FFT反变换来获得。此外，在离散域中，数据的点数必须有限（例如为2M1）。对输入信号进行数字化并取其点数为有限值，这相当于给输入信号加了一个矩形窗。用一个有限冲激响应滤波器FIR就可以近似理想的希尔伯特变换。实际应用中，通常采用半带滤波器和级联积分梳状滤波器。（三）希尔伯特变换在解调中的应用1、希尔伯特变换一般情况下，通信系统接收到的解调信号可以表示为COSSTATTTTNTWQ轾臌（322）在调幅、调频、调相等不同的调制方式下，分别对应于AT、T、T的变化。如果调频信号通过间接调频实现，那么调制信号可表示为COSCSTATTTTWQ轾臌（323）在正交解调法中，利用同相和正交两个分量求得如下COSCOSSINSINCOSSINCCICQCSTATTTATTTXTTXTT其中COSIXTATT，SINQXTATT（324）即正交解调法中的同相和正交两个分量，根据IXT、QXT，就可以对各种调制方式进行解调。利用IXT和QXT求AT、T如下1822IQATXTXT（325）22ARCTANQIXTTXT（326）希尔伯特变换的定义给定实值函数XT，它的希尔伯特变换记作XT。希尔伯特变换有一条重要的性质设低频限带信号AT的傅里叶变换为A，带宽为，则当2C时，有COSSINCCHATTATTSINCOSCCHATTATT那么对已调信号，COSCSTATTT，2C，其希尔伯特变换为SINCSTATTT（327）由式（323）及式（327）可得22ATSTST（328）ARCTANCSTTTST（329）将式（328）和式（329）与式（325）和式（326）对比，我们可以看出两者是及其相似的，但两者在实际的实现上有很大的不同。2、在解调中的应用依据希尔伯特变换的定义和性质，设计的解调器结构如图3所示19A/D延时器希尔伯特滤波器幅度提取与相位提取基带信号解调图3通用解调器结构经过AD采样后，信号ST离散化为SN，则COSCSNANNN（330）由希尔伯特变换的定义可知，XT的希尔伯特变换实际上是XT与冲激响应为1HTT的系统卷积，所以可以通过希尔伯特滤波器来实现希尔伯特变换。在数字信号处理中设计希尔伯特滤波器时，一般采用窗化法来设计。它的冲激响应为211122MNMHNNMN（331）N为窗函数，M为滤波器的阶数。这样当SN通过滤波器时就会产生2M的延时，因此必须加上延时器，以保证信号SN和它的希尔伯特变换SN保持同步，得到准确的AN和SN。3、解调性能分析同正交解调器相比，大大简化了系统在中频段的处理，去掉了不通用的锁相环路，使得系统通用性大大增强。可以采用专用的数字信号处理芯片实现希尔伯特滤波器和幅度相位提取模块，而将基带信号的处理交给DSP等通用数字信号处理芯片。根据不同的解调需要，系统在基带信号处理上可以极为方便的更新算法。在这种方式下，基带的匹配滤波和判决都20为线性运算，因此加性噪声不会变为乘性噪声，不会产生门限效应，解调的性能不受信噪比影响。值得注意的是，在希尔伯特变换解调中必须求得基带信号的幅度和相位。幅度的计算为平方和开方运算，是非线性运算，因此在受到噪声影响时，在不同的信噪比下，系统性能不同，存在门限效应。从而影响了系统的实用性。四、结论与前景展望（一）结论综上所述可以得到如下结论1HILBERT变换揭示了由傅里叶变换联系的时域和频域之间的一种等价互换关系，HILBERT变换作为一种信号处理算法，能有效地提取出探地雷达复杂信号的“三瞬”信息，从上面的分析和应用效果也可以看出，经过HILBERT变换后的雷达剖面图较原始的雷达时距剖面图更为清晰，瞬时多参数波形剖面相互参照综合分析，避免了由于单一使用时距剖面分析所造成的解释偏差，提高了探地雷达的解释精度。（2）基于希尔伯特变换的数字IQ下变频器的主要优点是数字化程度高，数字IQ下变频器将会得到越来越广泛的应用。（3）由于基带处理全部采用数字方式，其复杂性主要受器件性能影响，因而不会改变整个体系结构。（二）前景展望目前对于希尔伯特变换的研究已经深入到多个层面，在社会生活生产21中发挥着越来越重要的作用。它被广泛用于通信、雷达、语言处理、数字化医学超声成像等这类需要用到信号正交分解技术的系统中。随着现代信号的向前发展，人们从不同的研究领域和应用角度出发，提出了扩展经典希尔伯特变换，提出了分数阶希尔伯特变换，拓展了它的应用范围。比如子波构造，特别是时序列信号的解析子波分析；基于离散时间的分数阶希尔伯特变换的调制与解调系统；利用广义化后的希尔伯特构造的广义解析信号进行图像边缘的检测等等。参考文献1李大心探地雷达方法及应用M北京地质出版社，2009222刘洪林，周磊希尔伯特变换在测井资料数据处理中的应用J大庆石油学院学报，20