【创新设计】2015年高考数学（人教A版理）一轮复习配套讲义：第2篇 第1讲 函数的概念及其表示

1、第1讲函数的概念及其表示最新考纲1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单地应用.知 识 梳 理1函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函

2、数值的集合叫做函数的值域(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数2函数定义域的求法类型x满足的条件，nN*f(x)0与f(x)0f(x)0logaf(x)f(x)0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义3函数值域的求法方法示例示例答案配方法yx2x2y性质法yexy(0，)单调性法yxy2，

3、)换元法ysin2 xsin x1y分离常数法yy(，1)(1，)辨 析 感 悟1对函数概念的理解(1)(教材习题改编)如图：以x为自变量的函数的图象为.()(2)函数y1与yx0是同一函数()2函数的定义域、值域的求法(3)(2013江西卷改编)函数yln(1x)的定义域为(0,1)()(4)(2014杭州月考改编)函数f(x)的值域为(0,1()3分段函数求值(5)(2013济南模拟改编)设函数f(x)则f(f(3).()学生用书第10页(6)(2014浙江部分重点中学调研改编)函数f(x)若f(a)，则实数a的值为或2.()4函数解析式的求法(7)已知f(x)2x2x1，则f(x1)2x

4、25x2.()(8)已知f(1)x，则f(x)(x1)2.()感悟提升1一个方法判断两个函数是否为相同函数一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)2三个防范一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)；三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).考点一求函数的定义域与值域【例1】 (1)(2013山东卷)函数f(x)的定义域为()A(3,0 B(3,1 C(，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)函数y的值域为_解析(1)由题意解得3

5、x0.(2)y1，因为0，所以11.即函数的值域是y|y1答案(1)A(2)y|y1规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可(2)求函数的值域：当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；若与二次函数有关，可用配方法；当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解【训练1】 (1)函数yln的定义域为_(2)函数f(x)的值域为_解析(1)根据题意可知，0x1，故定义域为(0,1(2)当x1时，logx0；当x1时，02x2，故值域为(0,2)(，0(，2)答案(1)(0,1(2)(，2)考点二分段函数及其

6、应用【例2】 (1)(2014东北三校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)，则f(3)的值为()A1 B2 C1 D2(2)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析(1)依题意，30，得f(3)f(31)f(32)f(2)f(1)，又20，所以f(2)f(21)f(22)f(1)f(0)；所以f(3)f(1)f(0)f(1)f(0)，又f(0)log2(40)2，所以f(3)f(0)2.(2)当a0时，1a1,1a1.此时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)，得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a0时，1a1,1a1

7、，此时f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a.由f(1a)f(1a)，得1a23a，解得a.综上可知，a的值为.答案(1)B(2)规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围【训练2】 (2014烟台诊断)已知函数f(x)则ff(2 013)()A. B C1 D1解析f(2 013)22 0132 0082532

8、，所以ff(2 013)f(32)2cos 2cos 1.答案D学生用书第11页考点三求函数的解析式【例3】 (1)已知flg x，求f(x)的解析式(2)f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.试求出f(x)的解析式(3)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式解(1)令1t，由于x0，t1且x，f(t)lg ，即f(x)lg (x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3.f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.f(x)x2x3.(3)当x(1,1

9、)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)【训练3】 (1)若f(x1)2x21，则f(x)_.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x

10、)，则当1x0时，f(x)_.解析(1)令tx1，则xt1，所以f(t)2(t1)212t24t3.所以f(x)2x24x3.(2)当1x0时，有0x11，所以f(1x)(1x)1(1x)x(1x)，又f(x1)2f(x)，所以f(x)f(1x).答案(1)2x24x3(2) 1函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因此，我们一定要树立函数定义域优先意识2函数有三种表示方法列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定

11、义域教你审题1分段函数中求参数范围问题【典例】 (2013新课标全国卷)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2,1 D2,0(1)审题一审条件：f(x)转化为一元二次函数与对数函数的图象问题如图(1)二审条件：|f(x)|ax，由f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)(2)三审图形：观察yax的图象总在y|f(x)|的下方，则当a0时，不合题意；当a0时，符合题意；当a0时，若x0，f(x)x22x0，所以|f(x)|ax化简为x22xax，即x2(a2)x，所以a2x恒成立，所以a2.综上2a0.答案D反思感悟 (1)问题中参数值影响变形时，往

12、往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求【自主体验】(2014德州模拟)已知函数f(x)则f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1或3 C1 D3或1解析因为f(1)lg 10，所以由f(a)f(1)0得f(a)0.当a0时，f(a)lg a0，所以a1.当a0时，f(a)a30，解得a3.所以实数a的值为a1或a3，选D.答案D对应学生用书P227基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1下列各组函数表示相同函数的是()Af(x)，g(x)()2Bf(x)1，g(x)x2Cf(x)g(t)|t|

13、Df(x)x1，g(x)解析A选项中的两个函数的定义域分别是R和0，)，不相同；B选项中的两个函数的对应法则不一致；D选项中的两个函数的定义域分别是R和x|x1，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C选项中的两个函数的定义域都是R，对应法则都是g(x)|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数答案C2(2013临沂一模)函数f(x)ln的定义域为()A(0，) B(1，)C(0,1) D(0,1)(1，)解析要使函数有意义，则有即解得x1.答案B3(2013昆明调研)设Mx|2x2，Ny|0y2，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()解析A项定

14、义域为2,0，D项值域不是0,2，C项对定义域中除2以外的任一x都有两个y与之对应，都不符合条件，故选B.答案B4(2014江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数f(x)则f(log27)()A. B. C. D.解析因为log271，log21,0log21，所以f(log27)f(log271)f(log2)f(log21)f(log2)2log2.答案C5函数f(x)(x)满足f(f(x)x，则常数c等于()A3 B3 C3或3 D5或3解析f(f(x)x，即x(2c6)x9c20，所以解得c3.答案B二、填空题6(2014杭州质检)函数f(x)ln的定义域是_解析由题意知0，即(x2)(

15、x1)0，解得x2或x1.答案x|x2，或x17(2014石家庄模拟)已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_.解析f(f(0)f(2)42a4a，解得a2.答案28已知f，则f(x)的解析式为_解析令t，由此得x(t1)，所以f(t)，从而f(x)的解析式为f(x)(x1)答案f(x)(x1)三、解答题9设二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)，f(x)的图象关于直线x2对称于是，设f(x)a(x2)2k(a0)，则由f(0)3，可得k34a，f(x)a(x2)234aax2

16、4ax3.ax24ax30的两实根的平方和为10，10xx(x1x2)22x1x216，a1.f(x)x24x3.10某人开汽车沿一条直线以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离s(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象解由题意知：s其图象如图所示能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1设f(x)lg，则ff的定义域为()A(4,0)(0,4) B(4，1)(1,4)C(2，1)(1,2) D(4，2)(2,4)解析0，2x2，22且22，取x1，则2不合题意(舍去)，故排除A，取x2，满足题意，排除C、D，故选B.答案B2已知函数yf(x)的图象关于直线x1对称，且当x(0，)时，有f(x)，则当x(，2)时，f(x)的解析式为()Af(