第一章 矩阵的运算与初等变换.ppt

1、线性代数 第一章,第一章 矩阵的运算与初等变换,本章教学内容 1 矩阵与向量的概念 2 矩阵的运算 3 分块矩阵及矩阵的分块运算 4 几种特殊的矩阵 5 矩阵的初等变换,第一章 矩阵的运算与初等变换,矩阵是代数学中最重要的基本概念之一，是代数学研究的主要对象，也是数学许多分支研究及应用的重要工具，它贯穿于线性代数的各个部分。在很多领域中的一些数量关系都可以用矩阵来描述。 本章主要介绍矩阵的概念、性质和运算。并把向量视为特殊的矩阵，自然地引进向量的概念及其线性运算。还将介绍矩阵的初等变换及分块矩阵等相关知识，为今后的学习相关知识打下扎实的理论基础。,1 矩阵与向量的概念,本节教学内容 1.矩阵的

2、概念 2.同型矩阵与矩阵相等的概念 3. 几种特殊的矩阵 4. 矩阵的应用 5. 向量的概念,1 矩阵与向量的概念,1.矩阵的概念 考察线性方程组 隐去未知量和等号，分离出各未知量的系数，得 一般地，我们有如下的定义,称为矩阵,1 矩阵与向量的概念,定义1.1由mn个数排成m个行n个列的数表 叫做m行n列的矩阵，或称mn矩阵.通常用大写 字母A或Amn表示法. 有时也记为,是第i行第j列元素， 简称(i,j)元,1 矩阵与向量的概念,元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 例如,是一个24实矩阵，,是一个33复矩阵，,1 矩阵与向量的概念,2.同型矩阵与矩阵相等的定义 两个矩阵

3、的行数相等,列数相等时,称为同型 矩阵. 例如 两个矩阵A=(aij)与B=(bij) 为同型矩阵,并且对 应元素相等,即 则称矩阵A与B相等,记作A=B.,为同型矩阵.,1 矩阵与向量的概念,3.几种特殊的矩阵 只与0有关的： 元素全为零的矩阵称为零矩阵，mn零矩阵记 作O或Omn 注意不同型的零矩阵是不相等的. 例如,1 矩阵与向量的概念,只与行列相关的: 1n矩阵 也称行矩阵，或称n维行向量，ai也称为第i个分量. 注意分量间用逗号分开。 m1矩阵 也称列矩阵，或称m维列向量，ai也称为第i个分量.,1 矩阵与向量的概念, nn矩阵 也称n阶方阵(或n级方阵)，Ann表可简记为An； 其

4、中aii称为主对角线元素； 而aij (i+j=n+1)称为副对角线元素.,主对角线,副对角线,1 矩阵与向量的概念,例 主对角线元素均为1，其它元素均为0的 n阶方阵 称n阶单位矩阵，记为En或E.,1 矩阵与向量的概念,4.矩阵的应用 例1 某公司对四名应聘人员进行三项素质考评 的百分制成绩可用矩阵 表示，其中aij为第i名应聘者的第j种素质考评的 成绩。,1 矩阵与向量的概念,例2 公司中甲、乙两类岗位对三项素质要求的 权重系数也可用矩阵 表示，其中bij为第j类岗位对第i种素质要求的权重 系数。 注：这里,1 矩阵与向量的概念,例3 第i村到第j村有aij条道路相通，四个村的通 路信息

5、可用矩阵 表示。 注：这里aii=0，即同一个村不考虑相通的道路。,1 矩阵与向量的概念,5.向量的概念 定义1.2 1n矩阵称n维行向量， n1矩阵称n 维列向量， n维行向量与n维列向量统称n维向量， 简称向量。 向量常用黑体字母, 或x,y,z, 表示（或加箭头 ）。 两向量相等当且仅当维数相同且对应的分量相等. 分量全为零的向量称零向量，记为0.,1 矩阵与向量的概念,n个n维列向量 称为n维基本列向量。 n个n维行向量 称为n维基本行向量。,1 矩阵与向量的概念,本节学习要求 熟悉矩阵、同型矩阵、矩阵相等、列矩阵、行矩阵、方阵、单位方阵与向量的概念，懂得矩阵的应用。 作业：习题1.1

6、(A) 第2题,2 矩阵的运算,本节教学内容 1.矩阵加、减法 2.数乘矩阵 3. 矩阵乘法 4. 方阵的幂 5. 矩阵的转置,2 矩阵的运算,1.矩阵加、减法 定义2.1 两个mn矩阵A=(aij),B=(bij)的和记为 A+B，规定 注：只有同型矩阵才能相加.,2 矩阵的运算,定义 mn矩阵-A=(-aij)称为矩阵A=(aij)的负矩阵. 两个mn矩阵A=(aij),B=(bij)的差记为A-B，规定 A-B=A+(-B)，即 注：只有同型矩阵才能相减.,2 矩阵的运算,运算规律 设矩阵A, B, C均为mn矩阵，O为 mn零矩阵, 则 A+(-A)=O ； A+O=A ； A+B=B

7、+A ； (A+B)+C=A+(B+C) .,2 矩阵的运算,例1 设矩阵 且A+B=C，求x,y. 解 由A+B=C，得,2 矩阵的运算,2.数乘矩阵 定义2.2 数与mn矩阵A=(aij)的乘积记为A 或A，规定,2 矩阵的运算,运算规律 设矩阵A, B均为个mn矩阵，,为 数，则 (A)=()A ； (+) A=A+A ； (A+B)=A+B ； (-1)A=-A. 通常把矩阵的加法运算和数乘运算统称矩阵的线性运算。,2 矩阵的运算,例2 设矩阵 求3A-2B. 解,2 矩阵的运算,3.矩阵乘法 定义2.3 矩阵A=(aij)ms, B=(bij)sn的乘积记为 AB，规定AB=(cij

8、)mn，其中 i=1,2, m，j=1,2, ,n. 注：只有A的列数与B的行数相同,AB才有定义.,例3 设矩阵 求AB. 解,32,2 矩阵的运算,33,32,2 矩阵的运算,例4 设矩阵 求AB及BA. 解 注：一般的 AO且BO ABO ； AB=O A=O或B=O ； ABBA.,22,22,22,2 矩阵的运算,性质 设A=(aij)mn，fi为第i个分量为1的m维 基本行向量，则,2 矩阵的运算,(2)设A=(aij)mn，ej为第j个分量为1的n维 基本列向量，则,2 矩阵的运算,可见当 A=(aij)mn，则EmA=AEn=A.,2 矩阵的运算,运算规律 (1)设A=(aij

9、)ms， B=(bij)sk， C=(Cij)kn， 则A(BC)=(AB)C ； (2)设A=(aij)ms， B=(bij)sn， 数, 则(AB)=(A)B =A(B) ； (3)设A=(aij)ms， B=(bij)sn， C=(Cij)sn， 则A(B+C)=AB+AC ; (4)设A=(aij)sn， B=(bij)ms， C=(Cij)ms， 则(B+C)A=BA+CA ;,2 矩阵的运算,4. 方阵的幂 定义 若AB=BA，则称A,B是可换的. 注：若A,B是可换的，则A,B是同阶方阵，反之 不一定成立。 定义 方阵A的幂： Ak=AAA, A0=E， 运算规律：设A为方阵，k

10、,l为自然数，则 AkAl =Ak+l， (Ak)l =Akl； 一般地， (AB)k AkBk，但若A,B是可换的， 则 (AB)k =AkBk.,k个,2 矩阵的运算,例5 设 A=，求An. 分析,2 矩阵的运算,解 An=() () () =()()() =(3)n-1,n个,n-1个,2 矩阵的运算,注意 一阶方阵与向量的乘法,2 矩阵的运算,定义 设A为方阵 规定 称为A的矩阵多项式。,2 矩阵的运算,例6 设 求f(A). 解,2 矩阵的运算,.,2 矩阵的运算,5. 矩阵的转置 定义2.4 矩阵A的转置矩阵记为AT，规定,2 矩阵的运算,运算规律 (AT)T=A； (A+B)T

11、=AT+BT； (A)T=AT ； (AB)T=BTAT， (注意ATBT),2 矩阵的运算,例7 设 求(AB)T. 解,2 矩阵的运算,例7 设 求(AB)T. 又解,2 矩阵的运算,本节学习要求 熟练掌握矩阵的加法、减法、数乘、矩阵乘法和矩阵的转置运算；熟悉各种运算的性质；会求方阵的幂。 作业：习题1.2(A) 第1(2)(5), 2, 3题,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,本节教学内容 1.分块矩阵的概念 2.矩阵的分块加法运算 3. 矩阵的分块数乘运算 4. 矩阵的分块乘法运算 5. 分块矩阵的转置,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,1.分块矩阵的概念 把一个阶数较高的矩阵，用若干条横线和

12、竖线分开成若干小块，每一小块都叫做矩阵的子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。 例 子块,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,一个矩阵,根据需要有不同的分块法 例 注：一行的分块矩阵，各子块间用逗号分开。,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,2.矩阵的分块加法运算 例 记,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,若两个矩阵A，B同型且有相同的分块法，,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,3.矩阵的分块数乘运算 例 可见,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,数与分块矩阵的乘积,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,4.矩阵的分块乘法运算 设矩阵A=(Aij)ms, B=(Bij)sn，Aik的列数等于Bkj 的行数(k=1,2, ,s)

13、，则AB=(Cij)mn，其中 i=1,2, m，j=1,2, ,n. 例1 设 求AB.,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,解 设 则,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,而 于是,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,如果直接计算，有 两种计算结果一样。,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,5.分块矩阵的转置 可见,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,分块矩阵的各种运算的结果与不分块的矩阵的 各种运算的结果一致，两种运算有相同的运算性 质。,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,本节学习要求 理解分块矩阵的概念，了解分块矩阵的加法、数乘分块矩阵、分块矩阵乘法和分块矩阵的转置运算。 作业：习题1.3(A) 第2题,4 几种特殊的

14、矩阵,本节教学内容 1.对角矩阵 2.标量矩阵 3. 上三角形矩阵 4. 下三角形矩阵 5. 对称矩阵 6. 反称矩阵 7. 分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,1.对角矩阵 主对角线元素外，其它元素均为0的方阵 称对角矩阵，简记为A=diag(1, 2, ,n). 下面来讨论对角矩阵的性质,O,O,4 几种特殊的矩阵,设 则 性质任两个对角矩阵的和也是对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,设 则 性质数乘对角矩阵也是对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,设 则 性质任两个对角矩阵的积也是对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,设 则 性质对角矩阵幂也是对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,设 则 性质对角矩阵的转置矩阵

15、是自身,即对角矩阵.,4 几种特殊的矩阵,定义 设S是一个集合，若S中的元素经某种运算， 结果仍然是S的元素，则称S对这种运算封闭。 由上述对角矩阵的性质知 对角矩阵对矩阵的加法与数乘运算封闭，即 对角矩阵对矩阵的线性运算封闭。 对角矩阵对矩阵的减法运算封闭。 对角矩阵对矩阵的乘法运算封闭。 对角矩阵对矩阵的幂运算封闭。 注：，.,4 几种特殊的矩阵,2.标量矩阵（数量矩阵） 主对角线元素为数a的对角矩阵 称标量矩阵，简记为A=aE. 性质 标量矩阵对矩阵的线性运算，乘法运算封 闭；标量矩阵的转置矩阵是自身。,4 几种特殊的矩阵,3.上三角形矩阵 主对角线下方元素均为0的方阵 称上三角形矩阵。

16、 性质 上三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运 算封闭。,O,4 几种特殊的矩阵,4.下三角形矩阵 主对角线上方元素均为0的方阵 称下三角形矩阵。 性质 下三角形矩阵对矩阵的线性运算，乘法运 算封闭；下三角形矩阵的转置矩阵是上三角形矩 阵，上三角形矩阵的转置矩阵是下三角形矩阵。,O,4 几种特殊的矩阵,例1 设矩阵 则,4 几种特殊的矩阵,例1 设矩阵 则,4 几种特殊的矩阵,例 设A,B 均为n阶下三角形矩阵，证明AB 亦为 下三角形矩阵。 证 设A=(aij)nn, B=(bij)nn均为下三角形矩阵, 则当1ij n时，aij=0，bij=0 . 设AB=(cij)nn，则当1ijn时，

17、cij =ai1b1j+ai2b2j+aiibij+aii+1bi+1j+ainbnj =ai10+ai20+aii0+0bi+1j+0bnj=0. 所以AB为下三角形矩阵. #,4 几种特殊的矩阵,5.对称矩阵 方阵 定义 设A=(aij)nn，若aij=aji (i,j=1,2,n)，则 称A为对称矩阵。 特征 A是对称矩阵 AT=A.,元素关于主对角线对称 叫做对称矩阵,4 几种特殊的矩阵,性质 对称矩阵对矩阵的线性运算封闭. 证 设A,B是对称矩阵，是数，则 (A+B)T=AT+BT=A+B ; (A)T=AT =A，结论成立。,4 几种特殊的矩阵,例 设A,B是对称矩阵，则AB是对称

18、矩阵的充要 条件是A,B可换， 证 必要性) 设AB是对称矩阵，则(AB)T=AB, 又(AB)T=BTAT=BA, AB=BA,即A,B可换. 充分性)设A,B可换,即AB=BA，则 (AB)T=BTAT=BA=AB, AB是对称矩阵. # 可见对称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭.,4 几种特殊的矩阵,6.反称矩阵 方阵 定义 设A=(aij)nn，若aij=-aji (i,j=1,2,n)，则 称A为反称矩阵。 特征 A是反称矩阵 AT=-A.,元素关于主对角线对称互反 叫做反称矩阵,4 几种特殊的矩阵,性质 反称矩阵对矩阵的线性运算封闭. 证 设A,B是反称矩阵，是数，则 (A+B)T=AT

19、+BT=-A-B=-(A+B) ; (A)T=AT =(-A)=-(A) ，结论成立。 例 设A,B是反称矩阵，则AB是对称矩阵的充要 条件是A,B可换， 证 (AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA. AB是对称矩阵 (AB)T=AB AB=BA,即A,B可换. # 可见反称矩阵对矩阵的乘法运算不封闭.,4 几种特殊的矩阵,例2 证明任一方阵A均可表示为一个对称矩阵与 一个反称矩阵之和. 证,4 几种特殊的矩阵,例3 设A是n阶反称矩阵， B是n阶对称矩阵， 证明AB+BA是一个n阶反称矩阵. 证 因此AB+BA是一个n阶反称矩阵.,4 几种特殊的矩阵,7.分块对角矩阵 设n阶方阵A是一

20、个分块矩阵，其主对角线上的 子块全是方阵，其余子块均为零矩阵，则称A为 分块对角矩阵。 性质分块对角矩阵对分块矩阵的线性运算，乘 法运算封闭.,4 几种特殊的矩阵,设两个分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,设分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,设两个分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,设分块对角矩阵,4 几种特殊的矩阵,例4 设矩阵 求A4. 解,4 几种特殊的矩阵,故,4 几种特殊的矩阵,本节学习要求 熟悉对角矩阵、标量矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和分块对角矩阵的概念及其性质，会验证一个矩阵是对称矩阵(或反称矩阵)。 作业：习题1.4(A) 第3题,5 矩阵的初等变换,本

21、节教学内容 1.矩阵的初等变换 2.初等矩阵,5 矩阵的初等变换,1. 矩阵的初等变换 定义5.1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 倍法变换:非零数k乘矩阵的第i行 注：倍法行变换记号rik写在上方(或下方),5 矩阵的初等变换,消法变换:非零数k乘矩阵的第i行，然后加到 矩阵的第j行上 注：消法行变换记号kri+rj写在上方(或下方),5 矩阵的初等变换,换法变换:矩阵的第i行与矩阵的第j行互换 注：换法行变换记号rirj写在上方(或下方),5 矩阵的初等变换,下面三种变换称为矩阵的初等列变换 倍法变换:非零数k乘矩阵的第j列 注：倍法列变换记号cjk写在上方(或下方) 倍法列变换记号cjk，倍法行变换记号rik,消法变换:非零数k乘矩阵的第i列，然后加到 矩阵的第j列上 注：消法列变换记号kci+cj写在上方(或下方) 消法列变换记号kci+cj ，消法行变换记号kri+rj,5 矩阵的初等变换,换法变换:矩阵的第i列与矩阵的第j列互换 注：换法列变换记号cicj写在上方(或下方) 换法列变换记号cicj ，换法行变换记号rirj,5 矩阵的初等变换,5 矩阵的初等变换,定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初 等变换. 性质 初等变换可逆，且变换与其