上海高三考数学解析几何高考考点解析

1、上海高三考数学解析几何高考考点解析-作者 : _-日期 : _高考解析几何专题“平面直线的方程”高考要求分析【知识点 1】 直线的点法向式方程和点方向式方程【考试要求】掌握直线的点法向式方程和点方向式方程，认识坐标法在建立形与数关系中的作用。【解读说明】掌握两种题型，一是利用点法向式方程和点方向式方程解决求直线方程问题；二是会根据一般式方程求直线的法向量和方向向量。【举例说明】1、已知点 a(1,6), b( 1, 2) 和点 c (6,3) 是三角形的三个顶点，求ac 边的垂直平分线的方程。【解析】所求直线的法向量是ac ，利用点法向式求直线方程。【答案】 5x3y402、求过点 (2, 1

2、) 且以直线 3x2 y50 的法向量为方向向量的直线方程。【解析】根据一般式方程求直线的法向量（3，-2），再利用点方向是方程求直线方程。【答案】2x3 y10ur3、过抛物线 yx2 的焦点，方向向量为d(2,3) 的直线的一个点方向式方程是【解析】先根据抛物线方程求焦点坐标，然后写出点方向式方程。注意方程形式。1xy【答案】423【知识点 2】直线的一般式方程【考试要求】会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义；懂得二元一次方程的图形是直线。【解读说明】能够根据一般式方程求直线法向量和方向向量，再就是会求直线的斜率及画直线。【举例说明】1、写出直线 2x3 y10

3、 的一个方向向量和一个法向量。【答案】 d(3,2), n( 2, 3)2、 光线由 p(2,3) 射到直线 x y 1 0 上，反射后过点 q(1,1) ，求反射光线所在直线的方程。【解析】根据物理原理，反射光线经过点q 和点 p 关于直线x y 1 0 的对称点，所以只需求出这个对称点，然后根据两点坐标求直线方程。【答案】 7 x 2y 5 0【知识点 3】直线的倾斜角与斜率【考试要求】掌握点斜式方程【解读说明】首先掌握直线倾斜角和斜率的概念和关系，会根据斜率求倾斜角或根据倾斜角求斜率，重点掌握利用点斜式求直线方程。【举例说明】1、直线 4xy10 的倾斜角是【答案】arctan42、求过

4、点 (3,5) ，且倾斜角为 arccos4 的直线方程。5【答案】 3x4y110【知识点 3】两条直线的平行关系与垂直关系【考试要求】会通过直线方程判断两条直线平行或垂直。利用直线的法向量（或方向向量）讨论两条直线具有平行关系或垂直关系时，它们的方程应满足的条件。【解读说明】教材上通过行列式的计算去判断直线的位置关系，避免了讨论斜率存在和不存在的情况。【举例说明】1、若直线 mxym1与 xmy2m 平行，则 m_【答案】 -12、当 m 为何值时，三条直线l1 : 4xy4 ， l 2 : mxy0 ，l3 : 2x3my4 不能构成三角形？1 2【答案】 4, , , 16 33、已知

5、点 p（-1，1）和点 q（2，2）,若直线 l ： xmym0 与线段 pq 不相交，则实数 m 的取值范围是。【答案】(,2) u 1 ,32【知识点 4】两条相交直线的交点与夹角【考试要求】会求两条相交直线的交点坐标与夹角。【解读说明】会利用夹角公式求直线方程。求方程时也要注意直线斜率存在和不存在的情况。【举例说明】1、直线 l1 :3xy0 ， l2 : kxy10 ，若 l1 与 l 2 的夹角为60 ，则 k【答案】 0 或32、等腰直角三角形斜边所在直线方程为3xy50 ，直角顶点为 c(4, 1)，求两条直角边所在直线方程。【答案】 2xy70 或 x2 y60【知识点 5】点

6、到直线的距离【考试要求】掌握点到直线的距离公式。【解读说明】点到直线距离公式在解决圆与直线位置关系问题是会用到，会灵活应用距离公式。【举例说明】1、已知直线 xy10 ，则( x1)2( y1)2 的最小值为【答案】 3 222、与直线 xy30 平行且距离为 22 的直线方程为【答案】 -1 或 73、经过点 (2, 1)，且与原点相距 3 2 的直线方程为2【答案】 -1 或-74、已知两条平行线 l1、 l2 分别过点 a( 6，2)和 b( 3, 1) 并且各自绕着a、b 旋转始终保持平行，若 l1、 l 2 间的距离为 d，则当 d 取得最大值时直线 l 1 的方程为【答案】x3 y

7、605、若直线m 被两平行线l1 : xy10 与 l2: xy30 所截得线段的长为 2 2 ，则直线m 的倾斜角是.【答案】150 或 750“曲线方程”高考要求分析【知识点 6】曲线方程的概念【考试要求】理解曲线方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，会求曲线方程的一般方法和步骤，知道适当选取坐标系的意义，会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点。形成通过坐标系建立曲线的方程、再用代数方法研究曲线性质的基本思想。【解读说明】掌握求曲线方程的几种类型，重点掌握结合后面圆锥曲线的定义求曲线的轨迹方程。对于求轨迹的一般方法也要会用，一般步骤：建 设 现 代 化。【举例说明】1、下列四组方程

8、中，组表示同一曲线a. y2x 与 yxb. y lg x2 与 y 2 lg xc y11与 lg( x 2)lg( y 1)d. x 2y21与 y1 x2x2【答案】 d2、若曲线yxb与yx2x2 有两个不同的交点，则a.b0b.b1c.b1d.b1【答案】b3、一动点到点 a(12,16) 的距离是它到点 b(3,4) 的距离的 2 倍，则此动点的轨迹方程是【答案】 x2y 21004、已知实数 a,b,c 成等差数列，点 p( 1,0) 在直线 ax by c0 上的射影是 q，则 q 的轨迹方程是 _。【答案】 x 2( y1) 225、 在平面直角坐标系中，定义点p( x1 ,

9、 y1 ), q ( x2 , y2 ) 之间的“直角距离”为d (p, q )| x1x2 | y1y2 |。若 c ( x, y) 到点 a(1,3), b(6,9) 的“直角距离”相等，其中实数 x, y 满足 0x10,3y9 ，则所有满足条件的点c 的轨迹的长度之和为_【答案】 5(21)6、已知曲线 c： y2x1 和定点 a （3，1），b 为曲线 c 上任意一点，若 ap 2 pb ，当点 b 在曲线 c 上运动时，求点 p 的轨迹方程。【解析】两个动点问题，其中一个在已知曲线上动，利用代换法求轨迹方程。【答案】 3y 22x2 y107、已知定圆 a ： (x4)2y2121

10、 和定圆 b： ( x4) 2y21 ，有一动圆 c，与圆 a 内切，与圆 b 外切，求动圆圆心c 的轨迹方程。【解析】利用椭圆的定义求动点轨迹方程。【答案】 x2y2136208、已知椭圆 c： x2y 21， f1 , f2 分别为椭圆的左右焦点， p 为259椭圆上任意一点，过右焦点做f1pf2 外角平分线的垂线，垂足为点t，求动点点 t 的轨迹方程。【答案】 x2y2259、已知平面上的线段 l 及点 p ，任取 l 上一点 q ，线段 pq 长度的最小值称为点 p 到线段 l 的距离，记作 d (p, l ) .（1）求点p(1,1)到线段 l : xy30(3x5)的距离d ( p

11、, l ) ；（2）设 l 是长为2 的线段，求点的集合d p | d (p,l )1所表示图形的面积；（3）写出到两条线段 l1、 l2 距离相等的点的集合 p | d (p,l1)d (p, l2 ) ，其中 l1ab、 l 2cd ， a、b、c、d 是下列三组点中的一组 .对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2 分， 6 分， 8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.a(1,3) ， b(1,0) ， c ( 1,3) ， d ( 1,0) . a(1,3) ， b(1,0) ， c ( 1,3) ， d ( 1, 2) . a(0,1) ， b(0,0) ， c (

12、0,0) ， d (2,0) .【答案】解：（ 1）设 q (x, x3) 是线段 l : xy30(3x5) 上任一点，则 | pq |(x1)2( x4)22( x5)29(3x 5) .22当 x3 时， d ( p,l )| pq |min 5 .（ 2）不妨设 a1,0 、 b 1,0 为线段 l 的两个端点，则 d 为线段 l1 : y 1(| x |1) 、线段 l2 : y1(| x |1) 、半圆c1 : ( x 1)2y21(x1) 、半圆c2 : (x1)2y21(x 1) 所围成的区域 .这是因为对 p( x, y), x 1，则 d (p,l )y ；而对 p( x,

13、 y), x 1 ，则 d( p,l )( x1)2y2 ；对 p( x, y), x1 ，则 d (p, l )( x1)2y2 .于是 d 所表示的图形面积为 s4.（ 3） 选择a(1,3) ， b(1,0)， c (1,3) ， d ( 1,0) ，( x, y) | x 0 .选择 a(1,3) ， b(1,0) ， c (1,3) ， d (1,2) ，( x, y) | x0, y0 u ( x, y) | y24x,2y0 u ( x, y) | xy 10, x 1 选择 a(0,1) ， b(0,0) ， c (0,0) ， d (2,0)，( x, y) | x0, y

14、0 u ( x, y) | yx,0x1u( x, y) | y1 ( x21),1x2 u( x, y) | 4x2 y30, x 2 .2yc3ayy3ac2.5ba-1o1xddbb=c 12x【知识-1点7】o圆的1标x准方程与一d般方-2程【考试要求】以直线与圆的位置关系为例，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。掌握圆的标准方程与一般方程。【解读说明】会根据圆的一般式方程求圆心，半径及画图，会解决圆与直线位置关系问题，重点是相切的问题，如求切线方程。【举例说明】1、直线 y2x1 被圆 x2y22 y10 所截得的弦长为【答案】 2 3052、以 c ( 1,2) 为圆心，且与直线

15、 l : 2x3 y50 相切的圆的方程为【答案】 ( x1)2( y2) 2133、已知实数 x, y 满足 x2y24y3 0 ，（ 1）求 x2y2 的最大值；（2）求 y 的范围；（ 3）求 x2y 的最小值。x【答案】 3, 3, 3, 454、已知 ac, bd 为圆 o : x2y24的两条互相垂直的弦， ac , bd 交于点 m 1,2，求四边形 abcd 面积的最大值。【答案】 55、方程为的曲线上任意两点之间距离的最大值为.【答案】【知识点 8】椭圆的标准方程与几何性质【考试要求】掌握椭圆的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在 x 轴上椭圆的标准方程。【解读说明】掌握椭圆的

16、定义和方程，会求椭圆的方程，椭圆的性质掌握两类题型，一种是利用性质求方程，一种是利用性质解决最值问题和一些综合问题。【举例说明】1、若椭圆的两个焦点为f1( 2,0), f2 (2,0) ，椭圆的弦ab 过点f1 ，且abf 2 的周长为 12，那么该椭圆的方程为【答案】 x2y21952、设椭圆的标准方程为x2y25 k31 ，若其焦点在 x 轴k上，则 k 的取值范围是【答案】 k33、求与椭圆程。x2y291有相同焦点，且经过点 p(3, 2) 的椭圆方4【答案】 x 2y2115104、在椭圆 x2y21 内有一点 m (4, 1) ，弦 ab 的中点恰为点4010m ，求弦 ab 所

17、在直线的方程。【解析】中点弦问题的点差法。【答案】 xy5 05、若点 m 是椭圆 x2y21 上的一点， f1 , f2 是焦点，若6436f1mf 260，求 f1mf 2 的面积。【解析】s f mfb2 tanf1 mf2122【答案】 1236、已知 f1 , f2是椭圆 x2y 21 的两个焦点， p 是椭圆上的任意259一点，则 | pf1| pf2 |的最大值是 _【解析】椭圆定义和基本不等式的综合应用。【答案】 25x2y27、已知椭圆 c ： a2b21 （ ab0 ），其左、右焦点分别为f1 ( c,0) 、 f2 (c,0) ，且 a 、 b 、 c 成等比数列（1）求

18、 c 的值a（ 2）若椭圆 c 的上顶点、右顶点分别为a 、 b ，求证：f1 ab90 （ 3）若 p 为椭圆 c 上的任意一点，是否存在过点f2 、 p 的直线uuuruuuurl ，使 l 与 y轴的交点 r 满足 rp2pf2 ？若存在，求直线 l 的斜率 k ；若不存在，请说明理由【答案】解：（ 1）由题设 b2ac 及 b2a2c2 ，得 c5 1 （ 4a2分）（2）由题设 a(0,b) ， b(a,0) ，又 f1 (uuuruuurc,0) ，得 af1 ( c, b) ， ab(a, b) ，uuuruuurac b20 ，故 f1 ab90 于是 af1ab（3）由题设，

19、显然直线 l 垂直于 x 轴时不合题意，设直线 l的方程为y k (xc) ，得 r(0,uuuruuuur，得点 p 的坐标为 (2c,kc) ，kc) ，又 f2 (c,0) ，及 rp2pf2因为点 p 在椭圆上，所以 (2c)2(kc) 2 1 ，又 b2 ac ，得 42k 2 cc1，a2b2aak 25350 ，与 k2 0 矛盾 , 故不存在满足题意的直线 l 28 、已知椭圆 c的长轴长与短轴长之比为 3 ，焦点坐标分别为5f1 ( 2,0) , f2 (2,0) 。（ 1）求椭圆 c的标准方程；（ 2）已知 a( 3,0) , b(3,0) , p 是椭圆 c上异于 a 、

20、 b 的任意一点，直线ap 、 bp 分别交 y 轴于 m 、 n , 求 omon 的值；（3）在（ 2）的条件下，若 g (s,0)uuuuruuur, h (k,0) , 且 gmhn ， (s k ) ，分别以 og、oh 为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的g、h 点坐标。a3 , c 2, a2b2c2【答案】 解：（1）、q b5a29,b25所以椭圆 c 的标准方程为 x2y 21 。95（2）设 p(x0 , y0 ) ，直线pa : yy0(x3)pb : yy0( x 3)x0x033令 x=0，得： om(0,3y0uuur(0,3y0 )

21、 所以： omon = 5 ，) ， onx0 3x03uuuur3y0uuur3y0 )（3）q gm ( s,) ， hn ( k,x03x03uuuuruuurgmhn又q uuuuruuursk50gm ghn两正方形的面积和为 s2k 2s22510 当且仅当 s2k25 时，等s2式成立。两正方形的面积和的最小值为10，此时 g ( 5,0)、h (5,0) 。9、已知椭圆 x2y 21，常数 m 、 nr，且 mn mn（1）当 m 25，n21 时，过椭圆左焦点 f 的直线交椭圆于点 p ，uuuruuur与 y 轴交于点 q ，若 qf2fp ，求直线 pq 的斜率；（2）过

22、原点且斜率分别为 k 和 k （ k1）的两条直线与椭圆2 2x + y = 1的交点为 a、 b、 c、 d （按逆时针顺序排列，且点 a 位于第mn一象限内） ，试用 k 表示四边形 abcd 的面积 s ；（3）求 s 的最大值【解析】利用函数单调性解决圆锥曲线中的最值问题。【答案】 解(1) q m = 25，n = 21，x2+y2= 1的左焦点为 f (-2， 0)2521设满足题意的点为 p( x0 , y0 )q (0 t ) uuuruur，又qf = 2fp、，x0 = - 3? (- 2，- t ) = 2( x0 + 2，y0 ) ，即?t = - 2 y0由点 p(

23、x0， y0 )在椭圆上，得9 +y02=1，于是 y 0 = ? 421 25215kpq = kqf= t = - y0 = ? 4 21 25(2)q 过原点且斜率分别为k和 - k( k 3 1) 的直线 l1: y = kx， l2: y = -kx关于 x轴和 y轴对称，四边形 abcd 是矩形 . 22?y? x+= 1，得 x2 =mn2 . 于是 x0 是设点 a( x0， y0 ) 联立方程组 ?mn?n+mk? y = kx?此方程的解，故 x02 =mn2 .s= 4x0 y0= 4kx02 =4mnk2 ( k ? 1)n + mkn + mk(3) 由(2)可知，

24、s =4mnk2=4mn n + mknk+ mk设 g(k ) = mk+ n (k ? 1) ，则 g(k )在1，+ ? )上是单增函数 k理由：对任意两个实数 k1、 k2违1， +) ，且 k1 n 0， k2 k1 砛1， k1k2 1， mk1k2 - n 0.又k1 - k2 0，mk k - n( k1 - k2 )12 0，即 g (k1 ) - g (k2 ) 0 g(k )在1，+ ? )上是单增函数 ，于是 g (k)min = g(1)= m + n s=4mn ?4mn(当且仅当k时，等号成立)n+ mkm+ n1ksmax =4mn m + n10、已知椭圆 x

25、222y21(a b0) 的左右焦点分别为 f1 , f2 ，短轴两ab个端点为 a, b ，且四边形 f1 af2 b 是边长为 2 的正方形。（1）求椭圆方程；（2）若 c, d 分别是椭圆长轴的左右端点，动点m 满足 mdcd ，连接 cm ，交椭圆于点p 。证明： om op 为定值；（ 3）在（ 2）的条件下，试问 x 轴上是否存在异于点 c 的定点得以 mp 为直径的圆恒过直线 dp , mq 的交点，若存在，求出点标；若不存在，请说明理由。q ，使q 的坐【答案】 解：（1） a 2,b c, a 2b 2c2 ， b22 ， 椭圆方程为x2y241。2（2） c ( 2,0),

26、 d (2,0)，设 m (2, y0 ), p( x1 , y1 ) ，则 op( x1 , y1 ),om (2, y0 ) 。直线 cm ： x 2 yy0 ，即 yy0 x1 y04y042代入椭圆 x22 y 24 得(1y02 ) x21 y02 x1 y024 0 。 x1 ( 2)4( y028) , x12( y028) ，822y028y028y18y0。y028op2( y028)8 y0) ，(2,28y08y0op om4( y028)8 y024 y0232y028y028y0284 （定值）。（3）设存在 q (m,0)满足条件，则 mqdp 。mq (m 2,

27、y0 ) ， dp (4 y02,8 y0)，22y08y08则由 mq dp0 得4 y02( m2)8y020 ，从而得 m0 。y028y028存在 q(0,0) 满足条件。【知识点 9】双曲线的标准方程与几何性质【考试要求】掌握双曲线的标准方程和几何性质。重点讨论焦点在x 轴上的双曲线的标准方程。【解读说明】掌握双曲线的定义和方程，对于双曲线的性质，首先要掌握双曲线的渐近线相关题型，根据渐近线去双曲线方程，再就是根据范围解决最值问题。【举例说明】1、 等轴双曲线 x2 y2 1 的左焦点为 f，若点 p 为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线 pf 的斜率的取值范围是【答案】 (

28、 ,0) (1, )2、求与双曲线 x2y 21有共同的渐近线，且经过点169m ( 2 3, 3) 的双曲线的方程。【解析】考查双曲线的渐近线，掌握共渐近线问题的解决思路。【答案】 4y2x21943、在 abc 中，已知 b(a,0), c ( a,0), (a0) ，顶点 a 为动点，且满足 sin csin b1 sin a ，求动点 a 的轨迹方程。2【答案】 4x 24y 21a23a24、斜率为 2 的直线 l被双曲线 2x23y26 所截得的弦长为4，求直线 l的方程。【答案】 y2x2103225、设双曲线 x2y21( a0, b0) 的半焦距为 c 已知原点到直线abl

29、： bxayab 的距离等于 1c1 ，则 c 的最小值为 _4【答案】 4r1 , a 为方向向量的直线 l 与双曲线6、若经过点 p(0 , 2) 且以 d3x 2y 21相交于不同两点 a 、 b ，则实数 a 的取值范围是.【答案】15 ,33,33 ,157、已知双曲线 c：x2y21 (a0,b0) 的一个焦点是 f2 (2,0) ，a22b且 b3a 。（1）求双曲线 c的方程；（2）设经过焦点 f2 的直线 l 的一个法向量为 (m,1) ，当直线 l 与双曲线c的右支相交于 a, b 不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明ab 中点 m 在曲线 3(x 1) 2y 23

30、上。（ 3）设（ 2）中直线 l 与双曲线 c的右支相交于 a, b 两点，问是否存在实数 m ，使得 aob 为锐角？若存在，请求出 m 的范围；若不存在，请说明理由。【答案】 解：（1） c 2c 2a 2b24a 23a2a 21,b23双曲线为 x2y21。3（2）ymx2ml :m( x2) y0由x2y21 得3(3 m2 ) x 24m 2 x 4m23 0由0 得 4m4(3m 2 )(4m 23)0 即 12m 293m20即 m210恒成立4m 2又 x1x20m 203m 23m ( , 3) ( 3, )x1 ? x204m230m 23设 a( x1 , y1 ),

31、b(x2 , y2 ) ，则x1x22m 2y1y22m32m6m2m 232m 23m 23ab中点 m ( 2m2,6m)m23m233(2m21)236m23(m23)236m23m46m29 12m23m23(m23) 2(m23) 2(m23) 2(m23) 2m在曲线 3( x1) 2y 23上 。（3） a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 ) ,设存在实数 m, 使aob 为锐角 ,则oa ob0x1 x2 y1 y204、设抛物线因为 y1 y2( mx12m)( mx22m)m2 x1 x22m 2 ( x1 x2 )4m2(1 m 2 ) x1 x22m2 (

32、 x1x2 ) 4m 20(1m 2 )(4m 23)8m44m 2 (m23) 0即 7m 23 12m20m23 ，与 m2矛盾不存在53【知识点 10】抛物线的标准方程与几何性质【考试要求】掌握抛物线的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在x 轴上抛物线的标准方程。【解读说明】掌握抛物线的定义和方程，会解决直线和抛物线的综合问题。【举例说明】1、 若抛物线 y2 2 px( p 0) 上横坐标为 3 的点到焦点的距离等于 5，则 p=【答案】 42、经过抛物线 y24x 的焦点 f 作倾斜角为的弦 ab ，则3ab 的长为【答案】 1633、若动点 p 到点 f (4,0) 的距离比到直线 x50 的距离少 1，则动点 p 的轨迹方程是【答案】 y 2