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1、第六节 高斯公式 通量与散度,一、高斯公式 二、通量与散度,定理,一、高斯（Gauss）公式,高斯公式揭示了三重积分与曲面积分之间的联系.,解,例1,令,则,由高斯公式，得,利用对称性,解,取上侧,增补曲面,所围空间闭区域记为 ，,则由高斯公式，得,利用对称性,故所求积分为,因为,解,增补曲面,所围空间闭区域记为 ，,则由高斯公式，得,取上侧,注意取内侧,利用对称性,例4,其中 为曲面,取上侧,解,用柱面坐标,用轮换对称性与极坐标,计算,令,则由高斯公式，得,取下侧,下侧取负,其中 为曲面,取上侧,解,计算,令,则由高斯公式，得,取下铡,下侧取负,内侧取负,例5,解,利用对称性,是 的外法线向
2、量与点M( x , y , z )的向径 的夹角,试证:,设 的单位外法向量为,则,设 是光滑闭曲面, 所围立体 的体积为V, ,例7,证,二、通量与散度,定义,即,divergence,10 高斯公式的向量形式：,注,例6,设有向量场,为,以点（1, 2, 3）为球心，半径为2的球面，求：,(2) 通过曲面流向外侧的通量,解,（1）,（2）,高斯(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与欧几里德、牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域 ,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,代数、非欧几何、 微分几何、 超几何,
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