高一数学教案：正弦定理、余弦定理(3)

1、课题： 正弦定理、余弦定理（3）教学目的：1 进一步熟悉正、余弦定理内容；2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点： 利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点 :三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求授课类型： 新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法 ：启发引导式1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、 余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2 引导学生总

2、结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、 余弦定理的边角互换作用教学过程 ：一、复习引入：正弦定理：abcsin asin b2rsin c余弦定理： a 2b 2c22bc cos a,cos ab2c2a 22bcb2c2a22ca cos b,cos bc2a 2b 22cac 2a2b22ab cosc ，cosca 2b 2c 22ab二、讲授新课：1 正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关

3、系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例 1 已知 a、 b 为 abc的边， a、 b 分别是 a、 b 的对角，且 sin a2 ，求 a b 的值sin b3b解：ab,sin aa ,又 sin a3 (这是角的关系 )，sin asin bsin bbsin b2 a3(这是边的关系 ) 于是，由合比定理得a b32 5.b2b22第 1页共 4页例 2 已知 abc中，三边 a、 b、 c 所对的角分别是a、 b、 c，且 a、 b、 c 成等差数列求证： sina sinc 2sinb证明： a、 b、c 成等差数列， a c 2b(这是边的关系 )又abcb sin asin

4、 asin b, asin csin bcb sin csin bb sin ab sin c将、代入，得sin b2b 整理得 sina sinc 2sinb(这是角的关系 )sin b2 正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例 3 求 sin220 cos2803 sin20 cos80的值解：原式 sin220 sin2 10 2sin20 sin10 cos150 20 10 150 180， 20、 10、 150可看作一个三角形的三个内角设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理

5、得： a2 b2 2abcos150 c2（）而由正弦定理知：a 2sin20， b 2sin10， c 2sin150，代入 ( )式得：sin220 sin210 2sin20 sin10cos150 sin215014原式 14例 4 在 abc中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2 倍，求此三角形的三边长( sin 22sincos)分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中 sin 2 2 sin cos 利用正弦二倍角展开后出现了 cos ，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的解：设三角形的三边长分别为， 1，

6、2，其中 * ，又设最小角为，则xx 2x2cosx 2sinsin 22sin,cos2x又由余弦定理可得 2（ 1） 2（ 2） 2 2（ 1）（ 2）cos 将代入整理得： 2 34 0解之得 1 4， 2 1( 舍 )所以此三角形三边长为4， 5， 6评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程例 5 已知三角形的一个角为60，面积为103 c 2，周长为 20c，求此三角形的各边长分析： 此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三第 2页共 4页个

7、未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60角的余弦，其二可用面积公式 abc 1 absin c表示面积，其三是周长条件应用2解：设三角形的三边长分别为a、 b、 c，b 60，则依题意得a2c 2b2cos602acab c201ac sin 60103b 2a 2c 2ac2ac40ab c 20由式得： b2 20（ a c） 2400 a2 c2 2ac 40（a c） 将代入得 400 3ac40（ ac） 0 再将代入得 a c 13由 a c13解得 a15或 a28 b1 7， b2 7ac40c18c25所以，此三角形三边长分别为5c， 7c， 8c评述

8、： (1) 在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2) 由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力三、课堂练习 ：1在 abc中，已知 b=30 ,b=503 ,c=150，那么这个三角形是 ()a 等边三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等腰三角形或直角三角形2在 abc中，若 b2sin2c+c2sin2b=2bccosbcosc，则此三角形为 ()a 直角三角形b 等腰三角形c 等边三角形d 等腰直角三角形3在 abc中，已知 sina sinb sinc=6 5 4，则 sec

9、a=4tan asin a，则三角形为 abc中，sin btan b5在 abc中，角 a、 b 均为锐角且 cosa sinb，则 abc是6a2b 2c2c2且 a cos bb cos a ，试判断 abc的形状已知 abc中，bca7在 abc中，（ a2+b2） sin(a-b)=(a2-b2)sin(a+b)，判断 abc的形状参考答案 ：1 d2 a384 等腰三角形5 钝角三角形6 等边三角形7 等腰三角形或直角三角形四、小结熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用，并利用正、 余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断五、课后作业：sin asin( ab)1 在 abc中，已知sin( bc )sin c，求证： a2， b2， c2 成等差数列第 3页共 4页证明：由已知得sin（ b c） sin（ b c） sin（ a b） sin（ a b）cos2bcos2ccos2a cos2b2cos2bcos2a cos2c1 cos 2b1 cos 2a1 cos 2b22 2sin2b sin2a sin2c22由正弦定理可得2b 2 a2 c2, 即 a2，