上海市交通大学高三第一轮复习第1讲-集合的概念及运算教案

1、集合第1讲 集合的概念及运算【知识点归纳】1. 定义：我们常常把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体叫做集合，简称集。根据此定义，集合中元素具有：确定性。2.表示法：（1）列举法。如1，2，3，4，5；（当集合用列举法表示的时候，其中的元素具有互异性与无序性）（2）描述法。如A=xx满足性质p；（凡具有性质p的元素都在集合A中，不满足性质p的就不在其中）（3）图示法。如韦恩图、数轴、坐标平面等。（4）特殊集合：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C、空集、正整数集N*、负整数集Z-等。（5）区间也是一种集合的表示方法。3.分类（按元素个数）：空集、有限集、无限集。4.关系

2、：（元素与集合）属于、不属于。（集合与集合）包含于、真包含于、包含，真包含，集合相等。（1）子集：若对任意都有（或对任意都有）则A是B的子集，记作：或。（2）真子集：若，且存在x0B但x0A，则A是B的真子集，记作AB，对任何集合A有A；若A则A。（3）集合的包含：若A是B子集，则说A包含于B，或B包含A。（4）集合的相等：若且，则A=B。（5）包含关系的性质：（1）；（2）；（3）若，则；5.运算：（1）交运算：AB=xxA且xB；（2）并运算：AB=xxA或xB；（3）补运算：当A是U的子集时，=xxU且xA。运算性质：（1）AAAAA；（2）A，AA；（3），；（4），（5）ABAABB

3、AB；（6），；（7），6.常用方法：韦恩图：离散的数集的并、交、补、包含关系可画韦恩图解决。数轴法：连续的数集的并、交、补、包含关系可画数轴来解决。注意：区别与 、a与a、与、(1，2)与1，2；若集合A中有n（nN*）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是。区分集合中元素的形式：如：；。空集是指不含任何元素的集合。0、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了A=的情况。符号“，”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现为点与直线（平面）的关系；符号“，”是表示集合与集合之间的关系

4、，立体几何中的体现为直线与平面的关系。【例题讲解】一、集合中元素的三大特性1. 已知集合A=0，2a，a2-3，（aR）求a的所有可能取值构成的集合。解：由元素的互异性，得A中的元素两两不等，2a0,a2-30,且a2-32a a0，a,a3且a-1a的所有可能取值构成的集合为a|aR，且a0，a,a3且a-12. 设A=a，a2，ab，B=1，a，b，（,）且A=B，求a、b的值。解：A=B，A、B中的元素对应相等，（1）若，则，但是此时B=1，1，1，与集合中元素的互异性矛盾；（2）若，则a=1，a=-1（舍a=1，理由同上）。b=0。综上，a=-1，b=0。3. 已知实数集，且，求的值。

5、解：，或或。当时，得，符合题意；当时，得，这时， ，不符合题意，舍去；当时，得中的，于是这时中的元素不互异，不符合题意，舍去。按：“AB=3,7”“3,7B”，而反过来并不一定成立。因此须代回检验以保证其为充要。二、集合的表示法4. 分别用列举法表示下列集合B：（1） A=a,b，B=x|xA；（2）已知集合A=a,b，B=x|xA；（3）已知集合A=a,b,c，B=x|xA；（4）由（2）、（3）猜测，当A集合中含有n个元素时，B集合的元素个数有多少？解：（1）B=a,b; （2）B=,a,b,a,b;（3）B=,a,b,c,a,ba,c,b,c,a,b,c; （4）B集合的元素个数是2n.

6、总结：有n个元素的集合，子集（含空集和集合本身）有2n个，真子集有2n-1个。非空真子集有2n-2个。（nN*）5. （1）已知集合， 则_。（2）已知集合， 则_。（3）已知集合，则_。解： （1）=1,+) （2）=-1,+) （3）描述法竖线左边的元素一般形式很重要，它表示这个集合到底是谁的集合。三、元素与集合的关系6. 已知集合A=xx=3k，kZ，B=xx=3k+1，kZ，C=xx=3k-1，kZ，若aA，bB，cC。试问a+b-c是否属于A、B、C中的某个集合或某些集合？析：由于A、B、C三个集合复合起来就是全体整数集，且三个集合没有公共元素，因此a+b-c能且只能属于A、B、C中

7、的某一个集合。解：设a=3m，b=3n+1，c=3l-1，（m，n，lZ）则a+b-c=3m+(3n+1)-(3l-1)=3(m+n-l+1)-1，m，n，lZ，m+n-l+1Z。a+b-cC。7. 设S=xx=m+n，m，nZ，对于S中的任意两数a、b，问：（1）a+bS吗？（2）abS吗？（3）S吗？解：设a= m1+n1，b= m2+n2，m1,n1,m2,n2Z，（1） a+b= m1+n1+ m2+n2=(m1+m2)+ n1+ n2m1,n1,m2,n2Z，m1+m2，n1+ n2Z a+bS（2） a+b= (m1+n1) (m2+n2)=(m1n2+m2n1)+(2m1m2+n

8、1n2)m1,n1,m2,n2Z，m1n2+m2n1，2m1m2+n1n2Z S（3） 不一定。比如，b=0.四、集合的包含关系8. 设A=x，B=x，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？解：集合A化简得A=3，5，由知。下面解方程ax-1=0。（1）当a=0时，方程ax-1=0无解，a=0符合已知条件；（2）当a0时，方程的解为，或，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为0，故其子集共有个。由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。9. （1）若A满足1，2A1，2，3，4，这样A的有多少个？（2）若A满足BAC，其中B、C中分别有m

9、、n个元素，（其中m、nN*,mn）这样的A有多少个？解：（1）由题可知，3，4的子集有多少，则符合条件的M就有多少个。所以符合条件的M有22=4个。（2）这样的A有个。五、集合问题的图解法10. 已知A=xx2-mx+100时，令f(x)=x2-mx+10，需，解得m(，11。综上，得m的取值范围是m。注意用数轴或图形来解决问题。11. 设全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A、B满足=1，9，=4，6，8，AB=2，求A和B。解：根据右示文氏图，得A=2，3，5，7，B=2，4，6，8。离散的数集的并、交、补、包含关系用画文氏图来解决，连续数集画数轴解决。【考题赏析】1 设集合

10、A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则M中元素的个数为()A3 B4 C5 D6 1B解析 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素2已知集合，则（ ）A B C. D 2B3设集合，则（ ）A. B. C. D. 3.C4已知集合，若，求实数的取值范围.5对正整数n，记In1，2，n，Pn(1)求集合P7中元素的个数；(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并解：(1)当k4时，mI7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为77

11、346.(2)先证：当n15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使ABPnIn.不妨设1A，则因1322，故3A，即3B.同理6A，10B，又推得15A，但11542，这与A为稀疏集矛盾再证P14符合要求，当k1时，mI14I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A11，2，4，6，9，11，13，B13，5，7，8，10，12，14，则A1，B1为稀疏集，且A1B1I14.当k4时，集mI14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2，B2.当k9时，集mI14中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A3，B3.最后，集CmI

12、14，kI14，且k1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令AA1A2A3C，BB1B2B3，则A和B是不相交的稀疏集，且ABP14.综上，所求n的最大值为14.注：对P14的分拆方法不是唯一的【巩固练习】 班级_姓名_1. 已知集合，用列举法表示_.2. 由实数、所组成的集合，其元素最多有_个. 当时，集合只有一个元素；当时，集合有两个元素.因此,最多有两个元素.3. 已知，且，则4. 设，两集合满足，则_。解：与有且仅有一个公共元素：。所以5. 若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则_。解：，则所以，所以2,4,86. 用描述法表示奇数集合：；

13、.上述表示方法正确的是_。（写上所有正确的题号 ）7. 下列五个关系式: 0=；=0；0； 0；0.其中正确是_。（写上所有正确的题号 ）8. 若非空数集，则能使成立的所有的集合是（）B（A） （B） （C） （D） 9. 已知P=0，1，M=xxP，则P与M的关系为()(A)(B)(C)(D)解：P=0，1，M=xxP=，0，1，0，1，PM，应选(A)。10. 已知集合P=(x，y)|x|+|y|=1，Q=(x，y)x2+y21，则()(A)(B)(C)(D)以上均不对解：集合P表示正方形，集合Q表示圆面，作出它们的图形即可。选(A)。评析：利用二个集合间的几何意义借助数形结合思想，是本题

14、考察的重点。11. 已知集合.试证：、.证明略.12. 某含三个实数元素的集合可表示为，也可以表示为，求.-113. 已知集合M=xax=1（a为某常数），N=x1x4，若MN，试求a所有可能的值组成的集合A。解：（1）若a=0，则M=，显然有MN成立；（2）若a0，则x=，此时只要14，即a1，就有MN成立。综上所述，A=aam+1时，即m2，B=，显然成立。当2m-1m+1时，即m2时，m-1，结合条件，得-1m2。综上，m-1。15. 已知集合M=x1x0，N=x|x，由MN，得4，0a；若a0，N=x|x，0，MN。综上，A=aa。16. 设S是由自然数构成的集合，有法则：“，则”回答

15、下列问题：（1）试写出只有一个元素的集合S；（2）写出只含有两个元素的集合S；（3）写出只含有三个元素的集合S. 解：（1）S=4； （2）S可为0，8，1，7，2，6，3，5；（3）S可为0，4，8，1，4，7，2，4，6，3，4，5. 17. 由实数构成的非空集合满足条件：（1）；（2）若，则.试证明：（1）若，则在集合中必有另外两个数；（2）若，则集合不可能是单元素集合；（3）若，则集合中至少有三个元素.解：（1）由，得，即.由，得，即.所以，若，必有另外两个数，.（2）若，则，所以有.又该方程无实数根，因此若，则集合不可能是单元素集合.（3）由，得.由，得，即.若，有，又该方程无实数根

16、，因此.若，有，又该方程无实数根，因此.综上所述，集合中至少有三个元素，.18. 已知A=a2，a+1，-3，B=a-3，3a-1，a2+1，若AB=-3，求实数a的值。解：由已知：a-3=-3或3a-1=-3，a=0或。当a=0时，A=0，1，-3，B=-3，-1，1。AB=-3，1-3，舍去。当时，A=，-3，B=，-3，。AB=-3。按：“AB=-3”“-3B”，而反过来并不一定成立。因此须代回检验以保证其为充要。亲爱的用户：烟雨江南，画屏如展。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。1、最困难的事就是认识自己。20.10.2810.28.202021:0921:09:2810月-2021:092、自知之明是最难得的知识。二二二二年十月二十八日2020年10月28日星期三3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。21:0910.28.202021:0910.28.202021:0921:09:2810.28.202021:0910.28.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。10.28.20