101椭圆及其标准方程.ppt

1、椭圆及其标准方程,主讲人：肖续民 应数0602班,椭圆及其标准方程,学习目标： 1。理解椭圆的定义及焦点，焦距的概念； 2。能够正确推导椭圆的标准方程。 情感目标： 1。培养自己运动变化的观点，训练自己的动手能力； 2。通过小组合作，培养协作，友爱的精神。 学习重点： 1。椭圆的定义 2。椭圆的标准方程 学习难点： 椭圆标准方程的推导,1.导入：人类对地球围绕太阳转的认识 从圆到椭圆的认识,哥白尼模型,第谷开普勒模型,牛顿模型,哥白尼日心说认为： 地球以远圆轨道围绕太阳转,开普勒认为： 地球以椭圆轨道围绕太阳转， 并提出开普勒天体运行三大定律,牛顿认为： 地球以椭圆轨道围绕 太阳转，太阳在椭圆

2、 轨道的一焦点上,取一条没有伸缩性的细线,把它的两端用图针固定在图板上的两点F1和F2上(线长大于|F1F2|),然后用笔尖将细线拉紧,并使笔尖在图板上慢慢移动一周,则笔尖画出的曲线就是一个椭圆.,2.创设求知情景培养学生思维的敏捷性,问题1:在画出一个椭圆的过中,F1,F2两点是固定的还是运动的?,问题2:在画椭圆的过程中,线的长度改变了没有?这说明了什么?,问题3:在画椭圆的过程中,线的长度与两定点距离大小有怎样的关系?,问题4:若不满足(3)的条件动点的轨迹又怎样?,3.椭圆的定义,平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a（2a|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做

3、椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做 焦距2c.,为什么2a必须要大于|F1F2|?,特别注意:,当2a|F1F2|时,轨迹是椭圆;,当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;,当2a|F1F2|时,轨迹不存在.,F1 0 F2 X,Y,M,4.椭圆标准方程的推导,(1)复习回顾:求曲线方程的一般步骤是怎么样的?,建系设点 列式 代换 化简 证明,(2)如何建系,使求出的方程最简呢?,有两种方案:,方案一,方案二,F1 0 F2 X,Y,M,0 X,Y,F1 F2,M,选定方案一:,(1)建系 如图所示,以F1, F2所在的直线为x轴,以线段F1F2的 中点为原点建立直角坐标系.,设点 设M( x

4、 , y )是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c,那么, 焦点F1 , F2 的坐标分别是( -c, 0) ,( c , 0).又设M与F1, F2的距离的和等于常数2a.,(2)列式 |MF1|+|MF2|=2a,(3)代换,所以，,（4)化简,移项得,两边平方，得,整理得,两边再平方，得,整理得,由椭圆的定义可知，2a2c,即ac，所以 0,令 ，其中b0 ,代入上式，得 ：,两边同除以,得,令 不仅可以使方程变得简单整齐，同时在下一节讨论椭圆的几何性质时，它还有明确的几何意义,5.椭圆的标准方程,这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是 F1（-C，0），F2（C，0

5、），在这里,如果我们选定方案二，我们又将得到什么样的结果呢？,这时，点F1，F2在Y轴上，点F1，F2的坐标分别为F1（0，-C） F2（0，C），如图，a , b 的意义同上，那么所得的方程变为,这个方程也是椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在Y轴上，焦点 是F1（0。-C），F2（0，C）。同样，,判断： 与 的焦点位置？,思考：如何由椭圆的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是Y轴上？,结论：看标准方程中 的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条 轴上。,教学小结,6.例题讲解,例1 判断下列椭圆的焦点的位置，并指出焦点的坐标。,（1）,（2）,（3 ）,x轴上；,y轴上；,X轴上；,例2 求

6、适合下列条件的椭圆的标准方程:,（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到 两焦 点的距离的和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，-2），（0，2），并且椭圆经过点,解：（1）因为椭圆的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为,因为 2a=10, 2c=8 ， 所以a=5 , c=4,故所求的椭圆的标准方程为,（2）因为椭圆的焦点在Y轴上，所以设它的方程为,由椭圆的定义知：,所以 又c=2, 所以,故所求的椭圆的标准方程为,7.课堂小结,1 。椭圆的定义及焦点，焦距的概念；,2。椭圆 的标准方程：,（1）当焦点在X轴上时，,（2）当焦点在Y轴上时，,3。椭圆标准方程中的a, b ,c 的关系：,4。如何有椭圆的标准方程判断焦点的位置：,看标准方程中 的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条轴上。,5。求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置, 然后确定标准方程的类型，最后求出 a , b .,8.椭圆与圆的关系,例2 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，求