2021年高考数学一轮精选练习：25《解三角形应用举例》(含解析).doc

1、2021年高考数学一轮精选练习：25解三角形应用举例一 、选择题如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的( )A.北偏东10 B.北偏西10C.南偏东80 D.南偏西80如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与B的距离为( )A.a km B.a km C.a km D.2a km如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD=15，BDC=30，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60

2、，则塔高AB等于()A.5 B.15 C.5 D.15如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50 m，BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，则DEF的余弦值为( )A. B. C. D.地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A.50 m,100 m B.40 m,90 m C.40 m,50 m D.30 m,40 m如图所示，一座建筑物AB

3、的高为(3010)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为( )A.30 m B.60 m C.30 m D.40 m如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且B与D互补，则AC的长为(A)A.7 km B.8 km C.9 km D.6 km二 、填空题如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，

4、则坡底需加长 .如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB=90，PAQ=PBA=PBQ=60，则P，Q两点间的距离为 m.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为 平方千米.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45

5、的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 小时.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是 km2.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC=135.若山高AD=100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为 m/s(精确到0.1).三 、解答题为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“

6、弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC=60.在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30.(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340米/秒)如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的

7、距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.答案解析答案为：D；解析：由条件及图可知

8、，A=CBA=40，又BCD=60，所以CBD=30，所以DBA=10，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80.答案为：B；解析：由题图可知，ACB=120，由余弦定理，得AB2=AC2BC22ACBCcosACB=a2a22aa=3a2，解得AB=a(km).答案为：D；解析：在BCD中，CBD=1801530=135.由正弦定理得=，所以BC=15.在RtABC中，AB=BCtanACB=15=15.答案为：A；解析：如图所示，作DMAC交BE于N，交CF于M，则DF=10(m)，DE=130(m)，EF=150(m).在DEF中，由余弦定理，得cosDEF=.答案为：B；解析：设高塔高H m，矮

9、塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为.则tan=，tan=，根据三角函数的倍角公式有=.因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为，由tan=，tan=，得=.联立解得H=90，h=40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.答案为：B；解析：在RtABM中，AM=20(m).过点A作ANCD于点N，如图所示.易知MAN=AMB=15，所以MAC=3015=45.又AMC=1801560=105，所以ACM=30.在AMC中，由正弦定理得=，解得MC=40(m).在RtCMD中，CD=40sin60=60(m)，故通信塔CD的高为60 m.答案为：D；解析

10、：在ACD中，由余弦定理得：cosD=.在ABC中，由余弦定理得：cosB=.因为BD=180，所以cosBcosD=0，即=0，解得AC=7.一 、填空题答案为：100.解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得=，解得x=100.答案为：900；解析：由已知，得QAB=PABPAQ=30.又PBA=PBQ=60，AQB=30，AB=BQ.又PB为公共边，PABPQB，PQ=PA.在RtPAB中，AP=ABtan60=900，故PQ=900，P，Q两点间的距离为900 m.答案为：21；解析：设在ABC中，a=13里，b=14里，c=15里，cosC=，sinC=，故ABC的面积为1314500

11、2=21(平方千米).答案为：；解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，ACB=120.由余弦定理得：(21x)2=100(9x)22109xcos120，整理，得36x29x10=0，解得x=或x=(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为小时.答案为：；解析：如图，连接AC，由余弦定理可知AC=，故ACB=90，CAB=30，DAC=DCA=15，ADC=150，=，即AD=，故S四边形ABCD=SABCSADC=12=(km2).答案为：22.6；解析：因为小明在A处测得公路上B

12、，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD=60，CAD=45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC=14v.在RtADB中，AB=200.在RtADC中，AC=100.在ABC中，由余弦定理，得BC2=AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2=(100)220022100200cos135，所以v=22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.二 、解答题解：(1)由题意，设AC=x，因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒，所以BC=x340=x40，在ABC内，由余弦定理得BC2=CA2BA22BACAcosBAC，即(x40)2=x210 000100x，解得x=420.

13、答：A，C两地的距离为420米.(2)在RtACH中，AC=420，CAH=30.所以CH=ACtanCAH=140米.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140米.解：(1)依题意，有PA=PC=x，PB=x1.58=x12.在PAB中，AB=20，cosPAB=.同理，在PAC中，AC=50，cosPAC=.因为cosPAB=cosPAC，所以=，解得x=31.(2)作PDAC于点D，在ADP中，由cosPAD=，得sinPAD=，所以PD=PAsinPAD=31=4(km).故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km.解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S=.故当t=时，Smin=10