湖南师大附中2020-2021学年高三上学期10月第二次月考数学试题含答案

1、大联考湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共8页时量120分钟满分150分得分：_第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A BC D2若，则（ ）A B C D3已知，则（ ）A B C D4刘徽（约公元225295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如

2、图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）A B C D5的展开式的常数项是（ ）A B C2 D36中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（ ）A B C D7对任意实数a，b，c，给出下列命题：“”是“”充要条件；“是无理数”是“a是无理数

3、”的充要条件；“”是“”的充分条件；“”是“”的必要条件其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D48四棱锥的底面是矩形，侧面平面，则该四棱锥外接球的体积为（ ）A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在内为优秀，则下列说法正确的有（ ）分组甲校

4、频数3481515x32乙校频数12891010y3A计算得B估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%C估计甲校和乙校众数均为120D估计乙校的数学平均成绩比甲校高10函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）A函数在上单调递增B函数的图象关于点成中心对称C函数的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称D若圆半径为，则函数的解析式为11正方体中，E是棱的中点，F在侧面上运动，且满足平面以下命题正确的有（ ）A侧面上存在点F，使得B直线与直线所成角可能为C平面与平面所成锐二面角的正切值为D设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所

5、得的截面面积最大为12如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和（其中位于x轴上方），直线交于点Q则下列说法正确的是（ ）A两点的纵坐标之积为B点Q在定直线上C点P与抛物线上各点的连线中，最短D无论旋转到什么位置，始终有第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13如图所示，在平面直角坐标系中，则点D的坐标为_14已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则_15过双曲线的下焦点作y轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点，则双曲线的离心率为_16已知函数其中e为自然对数的底数若函数有3个不同的零点，则实数k的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证眀

6、过程或演算步骤17（本小题满分10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答已知的内角的对边分别为，而且_（1）求；（2）求周长的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（本小题满分12分）如图1，在中，D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角（1）求证：平面平面；（2）设E为的中点，求二面角的余弦值19（本小题满分12分）已知各项均为整数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得20（本小题满分12分）设函数，其中（1）若，证明：当时，；（2）若在区间内有两个不同的零点，求

7、a的取值范围21（本小题满分12分）现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望22（本小题满分12分）已知点P是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线l与半径相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为（1）求点M的轨迹的方程；（2）若点N在

8、双曲线（顶点除外）上运动，过点N，R的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由炎德英才大联考湖南师大附中2021届高三月考试卷（二）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1C2C 【解析】因为，所以选C4A 【解析】将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以，所以，所以选A5D 【解析】第一个因式取，第二个因式取得：，第一个因式取2，第二个因式取得：，展开式的常数项是6

9、C 【解析】由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示，故选C7B 【解析】“”是“”的充要条件；错误，当时不成立；“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；成立；“”是“”的充分条件，错误，当时，不成立；“”是“”的必要条件，成立，选B8B 【解析】取的中点E，连接中，设的中心为，球心为O，则，设O到平面的距离为d，则，四棱锥的外接球的体积为故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9ABD 【解析】对于A，甲校抽取人，乙校抽取人，故，；故A正确；对于B，估计甲校优秀率为，乙校优秀率为故B

10、正确；对于D，甲校平均成绩109.5，乙校平均成绩114.6，故D正确10BD 【解析】由图易得点C的横坐标为，所以的周期，所以，又，所以，因此函数的图象关于点成中心对称，若圆半径为，则，函数的解折式为故选BD11AC 【解析】取中点M，中点N，连接，则易证得，从而平面面，所以点F的运动轨迹为线段取F为的中点，因为是等腰三角形，所以，又因为，所以，故A正确；设正方体的棱长为a，当点F与点M或点N重合时，直线与直线所成角最大，此时，所以B错误；平面平面，取F为的中点，则，即为平面与平面所成的锐二面角，所以C正确；截面面积可以为，故D错误故选AC12AB 【解析】设点，将直线l的方程代入抛物线方程

11、得：则故A正确；由题得，直线的方程为，直线的方程为，消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确；计算可得C错误；因为，但，所以D错误故选AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 【解析】设点D的坐标为，则，即解得14 【解析】函数的导数为，可得曲线在处的切线的斜率为，由切线与直线平行，可得，解得15 【解析】过双出线的下焦点作y轴的垂线，交双曲线于两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，可得，解得（舍去）故答案为：16 【解析】令，则，所以当时，；当时，于是函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，令，则，所以当时，；当时，于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递

12、减，当时，函数有3个不同的零点，等价于方程有3个解，即函数的图象与直线有3个交点，作出函数与直线的大致图象，如下图所示当直线与函数相切时，设切点坐标为，根据导数的几何意义可得：，解得：，要使得函数的图象与直线有3个交点，数形结合可知k的取值范国为，故答案为四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【解析】（1）选，把整理得，由余弦定理有， 5分选,由正弦定理得：,，即，又，故，即； 5分选，由正弦定理得：，即，； 5分（2）由（1）可知，在中，由余弦定理得，即，当且仅当时取等号，即周长的最大值为 10分18【解析】（1）证明：在中，D为中点，又，二面角为直二面

13、角，平面平面，平面又平面，平面平面 5分（2）以B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过点B且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系可求得，因为E为的中点，所以，设平面的法向量为，平面的法向量为，则得，得，所以二面角的余弦值为 12分19【解析】（1）设前6项的公差为d，则，成等比数列，解得：（舍），时，则，时，（或或） 6分（2）由（1）可得：则当时，当时，当时，当时，当时，假设存在m，使得，则有即：，从而无解，时，不存在这样的m，使得，综上所述：或 12分20【解析】（1），由，得，则，即在上为增函数故，即 4分（2）由，得设函数，则令，得则时，时，所以在上单调逼增，在上单调减又因为，所以当时，方程在区间内有两个不同解，即所求实数a的取值范围为 12分21【解析】（1）依题意可得：参加甲