数值分析实验题作业

1、 数值分析实验报告姓名： 魏汝明院系：土木工程与力学学院学号： M一、实验1.1 （病态问题）1、实验要求：考虑一个高次的代数多项式： (E.1.1)显然该多项式的全部根为1，2，20，共计20个，且每个根都是单重的(也称为简单的)。现考虑该多项式的一个扰动 (E.1.2)其中，是一个非常小的数。这相当于是对方程(E.1.1)中的系数作一个小的扰动。比较方程(E.1.1)和方程(E.1.2)根的差别，从而分析方程(E.1.1)的解对扰动的敏感性。2、实验步骤与结果分析：(一) 实验源程序clcresult=inputdlg(请输入扰动项:在0 20之间的整数:,charpt 1_1,1,19)

2、;Numb=str2num(char(result);if(Numb20)|(Numb0)errordlg(请输入正确的扰动项:0 20之间的整数!);return;endresult=inputdlg(请输入(0 1)之间的扰动常数:,charpt 1_1,1,0.00001);ess=str2num(char(result);ve=zeros(1,21);ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);x0=real(root); y0=imag(root);plot(x0,y0, *);grid ontitle(根值位置图)disp(对扰动项 ,num

3、2str(Numb),加扰动,num2str(ess),得到的全部根为:);disp(num2str(root);(二) 实验结果分析对于x19项的扰动ess，不同的取值对应的结果如下所示：对扰动项 19加扰动1e-010得到的全部根为：19.9961，19.0257，17.9085，17.1508，15.7982，15.181，13.8995，13.0571，11.9753，11.0109，9.99608，9.00111，7.99978，7.00003，6，5，4，3，2，1对扰动项 19加扰动1e-009得到的全部根为：19.952，19.2293，17.6573+0.i，17.6573-

4、0.i，15.4524+0.i，15.4524-0.i，13.3527+0.i，13.3527-0.i，11.8578，11.0427，9.9916，9.00201，7.99952，7.00009，5.99999，5，4，3，2，1对扰动项 19加扰动1e-007得到的全部根为：20.422+0.i，20.422-0.i，18.1572+2.4702i，18.1572-2.4702i，15.3149+2.69865i，15.3149-2.69865i，12.8466+2.06246i，12.8466-2.06246i，10.9216+1.10366i，10.9216-1.10366i，9.56

5、629，9.11508，7.99387，7.00027，6，5，4，3，2，1对扰动项 19加扰动1e-005得到的全部根为：22.5961+2.3083i，22.5961-2.3083i，18.8972+5.00563i，18.8972-5.00563i，14.9123+4.95848i，14.9123-4.95848i，12.0289+3.73551i，12.0289-3.73551i，10.059+2.33021i，10.059-2.33021i，8.63828+1.0564i，8.63828-1.0564i，7.70896，7.028，5.99942，5.00001，4，3，2，1根在

6、复平面上的位置如图所示：图 ess=1e-010 图 ess=1e-009图 ess= 1e-007 图 ess=1e-005 从实验的图形中可以看出，当ess充分小时，方程E.1.1和方程E.1.2的解相差很小，当ess逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。并且，病态解首先出现在x=16这个解附近，如ess=1e-009时，x=20，19，12，11，2，1的解基本误差不大。在x=16附近，扰动后的解偏离实轴程度较严重，随着ess的增大，扰动对解的影响从x=16附近开始向两边波及，并且偏离实轴的幅度越来越大。x=0,1，2,3,4,5这些阶次较小的解对x19上的扰动最不

7、敏感。(2)将扰动项加到x18上后，ess=1e-009时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。ess=1e-008时误差与x19(ess=1e-009)时相当，即扰动加到x18上比加到x19小一个数量级。对x8的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x的扰动ess=10e10时没有出现复共轭，误差很小。因此，扰动作用到xn上时，n越小，扰动引起的误差越小。二、实验2.2（样条插值的收敛）1.实验要求通过对实验2.1中的三个函数进行三次样条插值，将分析所得的结果与Lagrange多项式插值进行对比。实验步骤与结果分析： (一)实验源程序clcpromps=选择函数，若选f(x),

8、输入f,若选h(x),输入h,若选g(x),输入g;titles = charpt_2;result = inputdlg(promps,charpt 2,1,f);Nb_f = char(result);if(Nb_f=f & Nb_f=h & Nb_f=g)errordlg(函数选择有误！);return;endresult = inputdlg(请输入插值结点数N:,charpt_2,1,10);Nd = str2num(char(result);if(Nd 1)errordlg(结点输入错误！);return;end% 手动输入插值结点switch Nb_f case f f=inli

9、ne(1./(1+25*x.2); a=-1;b=1; case h f=inline(x./(1+x.4); a=-5; b=5; case g f=inline(atan(x); a=-5; b=5;end% 利用switch条件语句进行条件循环计算x0=linspace(a, b, Nd+1); y0=feval(f, x0);x=a:0.1:b;cs=spline(x0,y0); y=ppval(cs,x);plot(x0, y0, o,x, y, k-);xlabel(x); ylabel(y= f(x) o and y = Spline(x)-);grid ontitle(插值曲线

10、图)(二)实验结果分析实验结果如图所示：f(x), n=5 f(x), n=10f(x), n=20 f(x), n=30 h(x), n=5 h(x), n=10h(x), n=20 h(x), n=30 g(x), n=5 g(x), n=10 g(x), n=20 g(x), n=30通过以上各图可以看出，三次样条插值随着插值结点的增加，由于其采用了分段三次多项式拟合的方法，因此，在插值过程中没有出现振荡现象。2.实验要求样条插值思想最早产生于工业部门，如表，某汽车制造商用三次样条插值设计车门曲线，其中一段数据如表所示：表2.21xk012345678910yk0.00.791.532.

11、192.713.033.272.893.063.193.29yk0.80.2实验步骤与结果分析： (一)实验源程序：clcx0=0:10;y0=0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29;% 输入原始数据x=0:0.1:10;pp=csape(x0,y0,complete,0.8 0.2);y = ppval(pp, x);plot(x0, y0, * ,x, y, k-);xlabel(x); ylabel(y = f(x) o and y = Spline(x)-);grid onlegend(原始数据,车门设计曲线)titl

12、e(车门设计曲线图)(二)实验结果分析图2.21 车门设计曲线三、实验3.1 （多项式最小二乘拟合）1、实验要求编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表3.11中的数据作3次多项式最小二乘拟合。表 3.11xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552取权函数，求拟合曲线中的参数、平方误差，并作离散数据的拟合函数的图形。2、 实验步骤与结果分析：（一）实验源程序clcx0 =-1:0.5:2;y0 =-4.447 -0.452 0.551 0.048 -0.447 0.549 4.552;% 输入原始数据n = 3; alph = polyfit(x0, y0, n);y = polyval(alph,x0); R= (y0-y)*(y0-y);% 作3次多项式最小二乘拟合% 计算得到平方误差x = -1:0.01:2;y = polyval(alph,x);plot(x0, y0,ro,x, y,b-) ;xlabel(x); ylabel(y0 and y) ;grid on;legend(原