新定义函数-重庆中考新题型

1、函数图形变换方法总结：1掌握函数平移的规律，包括一次函数、反比例函数和二次函数；2确定函数的特征点为基准移动函数，并确定移动后的解析式；3根据题目要求结合函数性质解决问题。例1我们规定：形如的函数叫做“奇特函数”.当时，“奇特函数”就是反比例函数.（1） 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2） 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点.求这个“奇特函数”的解

2、析式；把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，请直接写出点P的坐标例2定义a，b，c为函数y=ax2+bx+c的“特征数”如：函数y=x2-2x+3的“特征数”是1，-2，3，函数y=2x+3的“特征数”是0，2，3，函数y=-x的“特征数”是0，-1，0（1）将“特征数”是的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是；（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线分别交于D、C两点，判断以A、B

3、、C、D四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长；（3）若（2）中的四边形与“特征数”是的函数图象的有交点，求满足条件的实数b的取值范围变式 如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称p，q为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是2，3(1)若一个函数的特征数为-2，1，求此函数图象的顶点坐标(2)探究下列问题：若一个函数的特征数为4，-1，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数若一个函数的特征数为2，3，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为3，4？例3如图1，抛物线

4、y=ax2+bx+c（a0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高（1）抛物线对应的碟宽为；抛物线y=4x2对应的碟宽为；抛物线y=ax2（a0）对应的碟宽为；抛物线y=a(x-2)2+3（a0）对应的碟宽为；（2）抛物线（a0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线y=anx2+bnx+cn（an0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3），定义F1，F2，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相

5、似比若Fn与Fn1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1求抛物线y2的表达式；若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，Fn的碟高为hn，则hn=，Fn的碟宽有端点横坐标为2；若F1，F2，Fn的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。例4如图，直线l：y=mx+n（m0，n0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将AOB绕点O逆时针旋转90得到COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为 ；若P：y=-x2-3x+4，则l表示的函

6、数解析式为 （2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式参考答案：例1【解析】（1），是 “奇特函数”；（2）；或或或.试题分析：（1）根据题意列式并化为，根据定义作出判断.（2）求出点B，D的坐标，应用待定系数法求出直线OB解析式和直线CD解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B（9，3），

7、E（3，1）代入函数即可求得这个“奇特函数”的解析式.根据题意可知，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP，据此求出点P的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，.根据定义，是 “奇特函数”.（2）由题意得，.易得直线OB解析式为，直线CD解析式为，由解得.点E（3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.这个“奇特函数”的解析式为.可化为，根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.关于点（6，2）对称.B（9，3），E（3，1），BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行

8、四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，.点P在平行于EB的直线上.点P在上，或.解得.点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.例2【解析】（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式（2）判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB

9、=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC=2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长=24=8；（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y=（x-b）2+，确定二次函数的图象不会经过点B和点C，再将菱形顶点A（0，1），D（）代入二次函数解析式得出实数b的取值范围【解析】（1）y=（1分）“特征数”是的函数，即y=+1，该函数图象向下平移2个单位，得y=（2）由题意可知y=向下平移两个单位得y=ADBC，AB=2，ABCD四边形ABCD为平行四边形，得C点坐标为（，0），D（）由勾股定理可得BC=2四边形ABCD为平行四边形，AB=

10、2，BC=2四边形ABCD为菱形周长为8（3）二次函数为：y=x2-2bx+b2+，化为顶点式为：y=（x-b）2+，二次函数的图象不会经过点B和点C设二次函数的图象与四边形有公共部分，当二次函数的图象经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，解得b=-，b=（不合题意，舍去），当二次函数的图象经过点D时，将D（），代入二次函数，解得b=+，b=（不合题意，舍去），所以实数b的取值范围：例3【解析】试题分析：（1）根据定义可算出y=ax2（a0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线可通过平移y=ax2（a0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得（2）由（1）的结

11、论，根据碟宽易得a的值（3）根据y1，容易得到y2结合画图，易知h1，h2，h3，hn1，hn都在直线x=2上，可以考虑hnhn1，且都过Fn1的碟宽中点，进而可得画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点对于“F1，F2，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上，如果相邻的三个点不共线则结论不成立，反之则成立，所以可以考虑基础的几个图形关系，利用特殊点求直线方程即可试题解析：（1）4；1；a0，y=ax2的图象大致如下：其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OBDAB为等腰直角三角形，ABx轴，OCAB，OCA=OCB=AO

12、B=90=45，ACO与BCO亦为等腰直角三角形，AC=OC=BC，xA=-yA，xB=yB，代入y=ax2，A（，），B（，），C（0，），AB=，OC=，即y=ax2的碟宽为抛物线y=x2对应的a=，得碟宽为4；抛物线y=4x2对应的a=4，得碟宽为为；抛物线y=ax2（a0），碟宽为；抛物线y=a(x2)2+3（a0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，平移不改变形状、大小、方向，抛物线y=a(x2)2+3（a0）的准碟形与抛物线y=ax2的准碟形全等，抛物线y=ax2（a0），碟宽为，抛物线y=a(x2)2+3（a0），碟宽为（2）y=ax24ax

13、，由（1），其碟宽为，y=ax24ax的碟宽为6，=6，解得A=，y=x2x=(x2)23（3）F1的碟宽：F2的碟宽=2：1，=，a1=，a2=y=(x2)23的碟宽AB在x轴上（A在B左边），A（1，0），B（5，0），F2的碟顶坐标为（2，0），y2=(x2)2Fn的准碟形为等腰直角三角形，Fn的碟宽为2hn，2hn：2hn1=1：2，hn=hn1=()2hn2=()3hn3=()n+1h1，h1=3，hn=hnhn1，且都过Fn1的碟宽中点，h1，h2，h3，hn1，hn都在一条直线上，h1在直线x=2上，h1，h2，h3，hn1，hn都在直线x=2上，Fn的碟宽右端点横坐标为2+另，

14、F1，F2，Fn的碟宽右端点在一条直线上，直线为y=x+5分析如下：考虑Fn2，Fn1，Fn情形，关系如图2，Fn2，Fn1，Fn的碟宽分别为AB，DE，GH；C，F，I分别为其碟宽的中点，都在直线x=2上，连接右端点，BE，EHABx轴，DEx轴，GHx轴，ABDEGH，GH平行且等于FE，DE平行且等于CB，四边形GFEH，四边形DCBE都为平行四边形，HEGF，EBDC，GFI=GFH=DCE=DCF，GFDC，HEEB，HE，EB都过E点，HE，EB在一条直线上，Fn2，Fn1，Fn的碟宽的右端点是在一条直线，F1，F2，Fn的碟宽的右端点是在一条直线F1：y1=(x2)23准碟形右端

15、点坐标为（5，0），F2：y2=(x2)2准碟形右端点坐标为（2+，），待定系数可得过两点的直线为y=x+5，F1，F2，Fn的碟宽的右端点是在直线y=x+5上考点：1、等腰直角三角形；2、二次函数的性质；3多点共线例4解析：参考题目：1如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”，已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m(m0)的顶点.（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点P，使得PBC的

16、面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，请直接写出m的值.(参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M、N两点间的距离为MN=.（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.【解析】试题分析：（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQy轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到PBC面积的最大值；（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：DM2+BD2=MB

17、2时；DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值试题解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），m0，当y=0时，x1=-1，x2=3，A（-1，0），B（3，0）；（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y=x2-x-依题意，设点P的坐标为（n，n2-n-）(0n3)则SPBC=SPOC+SBOP-SBOC=n+3(-n2+n+)-3=-(n-)2+-0,当n=时SPBC的最大值是（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，顶点M坐标（1，-4m），当x=0时，y=-3m，D（0，-3m），B（3，0），DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，当BDM为Rt时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=-1（m0，m=1舍去）；DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=-（m=舍去）综上，m=-1或-时，B