3_6岁儿童初步除法能力的发展水平与年龄特点_周晶

1、 2013 年第 9 期 （总第 225 期）学前教育研究 Studies in Preschool EducationNo.9，2013Serial No.22536 岁儿童初步除法能力的发展水平与年龄特点 *周 晶 *（吉林师范大学教育科学学院，四平 136000）摘 要 本研究考察了 36 岁儿童初步除法能力的发展水平和年龄特点。研究结果表明：36 岁儿童已经有了一定水平的初步除法能力；36 岁儿童的初步除法能力存在显著的年龄差异，但不存在性别差异，儿童的得分随着年龄增长而增加；不同单位的材料对幼儿的初步除法能力发展具有一定的影响，儿童在 一个单位应关注幼儿的年龄特点和个体差异，开展个性

2、化的数学教育。 关键词 学前儿童；初步除法能力；平分 一、问题提出儿童除法能力的发展是一个很有趣的问题，这可以通过以下两个方面进行解释：一是儿童日常生活中常见的活动平分。平分在儿童早期除法概念的发展过程中起到了重要的作用。平分就是将一些物体分成相等的几份，在这个意义上讲和除法是相同的，除法也就是将被除数分成相等的几份。很多研究表明，4 至 5 岁的儿童能够使用分配的方式（一个给 A，一个给 B）来平分物体。也有研究表明，在接受正式的除法教育之前，年幼儿童能够使用具体的物体来表征除法问题，12 而且儿童最初的策略反映了题目中描述的动作。3儿童能够成功地平分说明了运算图式的存在，4而这种运算图式是

3、除法理解能力的起源。另 外一个原因是，儿童在学校学习除法时，遇到了很大的困难。他们发现 除法要比加减法难很多，即使题目中蕴含的数词都很小。5儿童能够平分但却不能成功地解决除法问 题，我们有必要考虑这其中的原因。 国外对学前儿童除法能力的研究更多集中在平分能力的发展上，将平分作为除法的起源。但对除法的其他方面，如除法中蕴涵的概念（被除数、除数、商）及其关系的研究较少。国内的文献大多是有关幼儿园教学实践层面的研究，基础理论方面的研究较少。本研究通过考察学龄前儿童解决平分问题的过程，探讨儿童初步除法能力的发展状况与特点，拟为学龄前儿童除法概念研究提供一个更加广阔的视角。因此，本研究的目的就是在除得尽

4、与除不尽两种情景下，考察儿童除法能力的发展状况，具体分析儿童对于除法中各种关系以及原则的理解，并通过对有无实物操作的比较，分析儿童的除法能力是否因此而变化。同时，也通过平分材料的变化，考察儿童在平分的过程中是否真正理解数量的相等关系。本研 究所指的初步除法能力，是指儿童在平分任务中所表现出的对除法中蕴含的三 个概念（被除数、除数、商）及其关系的理解能力，而非我们熟知的解决具体的除法题目（如 84）的 收稿日期：2010-11-4；作者修改返回日期：2013-3-22 * 本文系吉林师范大学资助项目“高师学前教育专业学生个性化培养模式研究”（编号：jsgjy11B06）的阶段性研究成果 * 通讯

5、作者：周晶，E-mail： 28 技能，是儿童数理逻辑思维能力的重要构成部分。 二、研究方法（一）研究对象 本研究在上海市两所一级幼儿园的 9 个班级(大班 56 岁；中班 45 岁；小班 34 岁)中随机抽取180 名儿童为研究对象，被试的平均年龄及标准差见表 1。 表 1 小、中、大班男女儿童的平均月龄及标准差 （二）测查工具 本研究参考了弗莱德曼和布莱恩特6以及陈杰琦7等人的研究工具，并进行了修改。在本研究中， 接受者数量为 3、4、5，需要平分的数量为 8、10、12、20。 （三）测查材料 1. 一个单位的测查材料。 单层饼干 20 块（橡皮泥制作）

6、，均为橙色，尺寸为 2CM2.5CM；小熊 5 只。 2. 两个单位无颜分的测查材料。 双层饼干 10 块（上下层颜色相同，上下层尺寸与单层饼干相同）；单层饼干 10 块（橡皮泥制作）； 小熊 5 只。 3. 两个单位有颜分的测查材料。 双层饼干 10 块（上下层颜色不同，上层橙色，下层绿色，上下层尺寸与单层饼干相同）；单层饼干10 块；小熊 5 只。 （四）测查程序 主试：“熊妈妈给小熊们做了一些饼干，现在请你把饼干分给 4 只小熊，要把饼干分完，而且每只小熊的饼干要一样多。你来试试看，好不好？”第一题结束后，把饼干收回，拿走一只小熊，说：“现在饼干不变，我要 把这些饼干分给 3 只小熊，你

7、觉得每只小熊的饼干会变多还是会变少呢？”儿童先回答问题，然后再提供饼干进行实物操作。然后，小熊数量变成 5 只。之后，饼干数量增加 2 块，以此类推。共有 4 个需要平分的数量，分别为 8、10、12、20。每个数量各有 3 个小题目，接受饼干的小熊数量分 别为 3、4、5。 三、研究结果与分析（一）36 岁儿童在平分过程中对除法原则的理解 36 岁儿童对除法原则理解的得分均数及标准差见表 2。由表 2 可知，儿童对除法原则的理解的得分随着年龄增长而增加，得分均数由高到低排序依次为大班、中班、小班。 表 2 36 岁儿童对除法原则理解的得分均数及标准差 29小班 中班 大班 项目名称 MSDM

8、SDMSD除法总分 27.5514.0544.857.4448.387.04小班 中班 大班 男(n=30)女(n=30)男(n=30)女(n=30)男(n=30)女(n=30)M43.343.055.856.367.066.4SD （二）有无实物操作的情况下 36 岁儿童除法能力的差异分析 1.36 岁儿童在实物操作前后的总体得分情况。 首先对操作前后总分进行计算，操作前共 11 题，每题最高分 3 分，故操作前总分最高分 33 分； 操作后共 11 题，每题最高分 2 分，故操作后总分 22 分。在有无实物操作情况下儿童的得分均值与标准差及占总分的百分比

9、见表 3。由表 3 可知，儿童操作前后的得分随着年龄增大而增加，相应的标准差则随之减小；从操作前后的得分占总分的比例来看，儿童在有实物操作情况下的表现要明显好于操作前的表现。不管是实物操作之前，还是实物操作之后，儿童从小班到中班的得分增长很快，但从 中班到大班，儿童得分增长很少。 表 3 36 岁儿童在两种任务中的得分均值与标准差及占总分的百分比为了考察操作前后的得分之间是否存在显著差异，需要对操作前后两个任务进行配对 T 检验， 但由于操作前后的总分不一致，所以不能直接进行 T 检验。为此，本研究首先将原始分数转换为标准分数，将操作前分数和操作后分数两个变量都转换成了均值为 50、标准差为

10、10 的分布（下同），然后 进行检验，结果见表 4，可知三个年龄班的儿童在操作前后的表现都存在显著差异。 表 4 36 岁儿童在实物操作前后的差异性检验2.实物操作前后 36 岁儿童初步除法能力发展的年龄、性别差异分析。 以年龄班（3 岁、4 岁、5 岁）、性别（男、女）为自变量，以幼儿在有实物操作情况下的得分为因变量，进行 32 的多元方差分析，结果见表 5。由表 5 可知，幼儿在有实物操作情况下的得分只在年龄维度上存在显著差异(F(2, 180)=57.99，P0.001)；在性别维度上不存在显著差异，性别与年龄之间不存在交互作用。LSD 多重比较发现，小班与中班、大班儿童在有实物操作情况

11、下的得分存在显著差 异，中班与大班不存在显著差异。 表 5 36 岁儿童在有实物操作情况下初步除法能力的年龄、性别差异 以年龄班（3 岁、4 岁、5 岁）、性别（男、女）为自变量，以幼儿在无实物操作情况下的得分为因变量，进行 32 的多元方差分析，结果见表 6。由表 6 可知，幼儿在无实物操作情况下的得分只在年龄30变异来源 Type Sum of SquaresdfMean SquareFSig.年龄班 2616.2321308.1257.990.000性别 1.4211.420.060.802年龄班* 性别 21.94210.970.490.616MSDSEtdfSig.小班 4.236.

12、620.854.95590.000中班 6.396.890.897.18590.000大班 9.645.730.7413.04590.000小班 中班 大班 MSD%MSD%MSD%操作前得分 15.407.7246.724.885.8875.427.905.1784.5操作后得分 12.157.2155.219.972.6790.820.482.7893.1 维度上存在显著差异(F(2, 180)=62.69，P0.001)；在性别维度上不存在显著差异，性别与年龄之间不 存在交互作用。LSD 多重比较发现，三个年龄班之间在无实物操作情况下得分均存在显著差异。 表 6 36 岁儿童在无实物操作

13、情况下初步除法能力的年龄、性别差异 （三）在除得尽和除不尽两种任务中儿童初步除法能力的发展 1.36 岁幼儿在除得尽和除不尽任务中的总体得分情况。 首先对除得尽和除不尽的任务总分进行计算。除得尽的题目有 5 题，每道题都分为操作前和操作后两个阶段，操作前最高得分 3 分，操作后最高得分 2 分，故除得尽的题目总分为 25 分。除不尽的题目有 6 题，同样每题都分为操作前最高得分 3 分，操作后最高得分 2 分，故除不尽的题目总分为 30 分。36 岁儿童在两种任务中的得分均值与标准差及占总分的百分比见表 7。由表 7 可知，在两种任务中，儿童的得分平均值随年龄增长均呈现出明显的上升趋势，标准差

14、也随之减小。从两种任务类型的得分均值占总分的百分比来看，三个年龄段的儿童在除得尽的任务中的表现明显好于在除不尽任 务中的表现。 表 7 36 岁儿童在两种任务中的得分均值与标准差及占总分的百分比为了考察不同的任务类型之间是否存在显著差异，对不同任务进行配对 T 检验，结果见表 8。由 表 8 可知，三个年龄段儿童在两种类型任务中的表现都存在显著差异。 表 8 36 岁儿童在两种任务类型之间的差异性检验2.36 岁儿童在两种任务中初步除法能力的性别、年龄差异分析。 以年龄班（3 岁、4 岁、5 岁）、性别（男、女）为自变量，以幼儿在除得尽任务中的得分为因变量，进行32 的多元方差分析，结果见表

15、9。由表 9 可知，幼儿在除得尽任务中的得分只在年龄维度上存在显著差异(F(2, 180)=57.26，P0.001)；性别维度上不存在显著差异，性别与年龄之间不存在交互作用。 LSD 多 重比较发现，小班与中班、大班儿童在除得尽任务中的得分存在显著差异，中班、大班幼儿在除得尽任务中的得分不存在显著差异。 以年龄班（3 岁、4 岁、5 岁）、性别（男、女）为自变量，以幼儿在除不尽的任务中的得分为因变量， 31MSDSEtdfSig.小班 -2.425.880.76-3.20590.002中班 -2.525.140.66-3.79590.000大班 -4.633.950.51-9.09590.0

16、00小班 中班 大班 MSD%MSD%MSD%能够平分 12.927.7851.721.533.8986.122.553.3690.2不能平分 14.636.8448.823.324.3877.725.834.1786.1变异来源 Type Sum of SquaresdfMean SquareFSig.年龄班 5105.6822552.8457.990.000性别 36.45136.450.900.345年龄班* 性别 16.0328.020.200.821 进行 32 的多元方差分析，结果见表 10。由表 10 可知，幼儿在除不尽的任务中的得分只在年龄维度上存在显著差异(F(2, 180)

17、=73.68，P0.001)；性别维度上不存在显著差异。LSD 多重比较发现，三个年龄班之间在除不尽任务中的得分存在显著差异，中班、大班幼儿在除不尽任务中的得分显著高于 小班幼儿。 表 9 36 岁儿童在除得尽的任务中初步除法能力的年龄、性别差异分析 表 10 36 岁儿童在除不尽的任务中初步除法能力的年龄、性别差异分析 四、讨论（一）36 岁儿童初步除法能力的发展特点 本研究考察了儿童对平分过程中所蕴含的除法原则的理解。从结果可以发现，儿童对除法原则的理解随着年龄增长而增加。30%以上的小班儿童在操作后明白，当被除数不变时，除数变小则商变大。中大班儿童通过的比例接近 50%，这说明部分儿童对

18、平分过程中蕴含的除法原则已经有了一定的理解。这与科雷亚8等人的研究结果一致，即 50%的 5 岁儿童意识到接受者数量越多，他们得到的数量越少。 （二）有无实物操作对儿童除法能力的影响分析 本研究发现，儿童在有实物操作情况下的表现要明显好于操作前的表现。这一结果与科雷亚的研究结果相似。科雷亚的研究发现，在解决一个关于除数和商之间逆反关系的非运算的逻辑问题时， 允许平分的操作过程可以提高儿童的表现。在她的研究中，被试年龄为 57 岁，实验组的儿童在回答关于除数与商的逆反关系之前，可以动手操作，即进行平分。结果发现所有年龄段的实验组儿童的表现要明显好于控制组的儿童。索菲安等人也得出了相同的研究结果。

19、在索菲安的研究中，儿童被要求在回答问题之后再动手平分，这样平分就可以作为儿童回答的反馈。结果发现，由于在之前的任务中进行了平分操作，儿童在后面的任务中的表现很一致，并有所提高。 这些研究结果在解释儿童对逻辑性原则的理解时，可以作为对“程序在前”这个假设的支持。根据这一假设，儿童运用程序来解决问题。通过这一经验理解问题情境中蕴含的相关逻辑关系。很多研究都认为，平分可以看做是一种程序，即一个给你，一个给他。这样的动作保证了每个接受者最终所获得的数量是相等的，这个相等的结果又使得儿童更容易理解除法原则中的相等原则以及除数与商的逆反原则。 但是，也有研究者认为诸如平分这样的程序并不能作为理解逻辑原则的

20、基础。努涅斯等人的研究 指出，儿童在解决问题过程中对相等原则以及除数和商之间的逆反关系的使用与平分的数量类型无 32变异来源 Type Sum of SquaresdfMean SquareFSig.年龄班 4143.4822071.7473.680.000性别 18.05118.050.640.424年龄班* 性别 10.9025.450.190.824变异来源 Type Sum of SquaresdfMean SquareFSig.年龄班 3361.632680.8257.260.000性别 8.8918.890.300.583性别 15.8827.940. 270.763 关。也就是说

21、，儿童在平分非连续量时对于除法原则的理解，也可以运用到对连续量的平分中来。努涅斯指出，在平分非连续量时，可以像数数一样运用“一个给你、一个给他”这样一一对应的程序，但是这个程序就不能运用到对连续量的平分中来，平分非连续量和连续量所需要的程序是不同的。不过在平分非连续量时，对于除法中相等原则以及逆反原则的理解还是可以为平分连续量提供相同的推理。 皮亚杰通过“图式”的概念对“做”和“理解”之间的关系进行了全新的解释。程序和图式之间的不同就在于，图式不是对某种特殊情境的表征，它表征的是可以运用到所有情境中的关系。而程序则是对于“如何做” 的具体表征，比如说平分非连续量时所采用的“一个给你、一个给他”

22、的程序。从这个意义上说，本研究虽然为 “程序在前”的假设提供了证据，但考察的也只是平分非连续量时儿童的表现， 所以并不能依此下结论说， 程序影响了儿童对除法原则的理解。 （三）任务类型对儿童除法能力的影响分析 从本研究结果来看，36 岁各年龄段的儿童在除得尽与除不尽两种任务中的得分均值都随着年龄增长而增加，各个年龄段的儿童在除得尽任务中的表现要好于除不尽任务。这可能跟这两种类型任务自身的难度差异有关。在除得尽的任务中，经过平分之后，儿童可以显而易见地看出每个接受者获得的数量的变化，这种变化是以整数发生的，只要能够对 6 以内集合的大小进行比较就可以得出正确答案。但是在除不尽任务中，每个接受者所

23、获得的数量不是以整数在变化，比如说将 8 块饼干平 分给 3 只小熊，每只小熊分到 2 块饼干之后，还剩下 2 块饼干，这个时候如果儿童的头脑中没有分数 的概念，那么就很难判断每只小熊的饼干的变化情况。因为在将 8 块饼干平分给 4 只小熊的任务中， 每只小熊也分到了 2 块饼干。所以，经常会出现这种情况：儿童在操作前回答是正确的，但是实物操作之后，改变了自己的回答，认为每只小熊获得的数量没有发生变化，从而导致在有实物操作阶段的 得分降低。 五、教育建议（一）提供各种丰富的材料，让儿童有丰富的从事平分活动的经历 皮亚杰认为，儿童通过动手操作，就能将物理知识重新建构到一个更明确、更协调的符号表征

24、系统中 去。因此，教师应该为幼儿提高各种丰富的材料，让儿童有丰富的从事平分活动的经历。9例如， 很多小班都会有练习手眼协调的玩具，如喂小动物吃东西（儿童用筷子夹豆子放进动物嘴巴里）。在这一活动中，教师可以设计几只小动物并列，将豆子分别放进小动物的嘴里，让它们吃到一样多的豆子，这样不仅练习了手眼协调能力，而且增进了小班儿童对于平分以及其中蕴含的数量相等关系的理解。对于中大班儿童来说，他们已经能够平分，这时可以对他们提出一些额外的要求，如对集合大小进行比较等，以鼓励儿童去发现其中的大小关系及其变化。 （二）关注幼儿的年龄特点和个体差异，开展个性化教育 在数学领域，幼儿的个体差异很大，而且随着年龄的

25、增加，这种差异将会加大。10在本研究中，无 论是平分能力还是初步除法能力，不同个体间均存在个体差异，这就要求教师能够针对这种差异进 行有针对性的教学。 首先，教师应该根据幼儿的年龄特点，设计合适的学习活动。本研究中，大部分小班儿童的平分受到了平分数量大小的影响，大部分儿童只能平分 8 个或者 10 个物体。因此，在小班，幼儿仍需进一步学习平分以及一一对应的概念。在中大班，虽然儿童能够成功地平分一个单位的材料，但是在两个单位材料的平分过程中遇到了极大的困难，这说明中大班的儿童对于一一对应的数学意义不是十分理解，因此中大班应加强这一方面的教育教学。教师可以为儿童提供多种材料，让儿童去平分，以增加儿

26、童对平分的数学意义的理解。 其次，教师应该注意到幼儿的个性特征在学习中的影响。本研究发现，幼儿的个性特征会对幼儿 33 的学习产生一定的影响，特别是在平分两种单位材料时表现更为明显。有的幼儿觉得这些问题太难了，所以不愿意尝试解决问题；有的幼儿则觉得这样的任务很有趣，反复地尝试，直到得到正确的答案为止。不同的性格特征会导致幼儿有不同的表现，因此教师应能对不同风格的幼儿作出不同的回 应，这样才能保证教育的效果。 参考文献： 1 Carpenter,T.P., Ansell,E., Franke,M.L., Fennema,E., & Weisbeck,L. Models of problem so

27、lving: A study of kindergarten childrens problem-solving processesJ.Journal for Research in Mathematics Educa tion,1993,24(5):428-441.2 Correa,J. Young childrens understanding of the division conceptD.PhD thesis of University of Ox ford,1994.3 Marton,F.,& Neuman,D. Phenomenography and childrens expe

28、rience of divisionA In L.R. Steffe,P. Nosher,P. Cobb, G.A. Goldin & B. Greer (Eds.).Theories of mathematical learning C.Mahwah,NJ: Lawrence Erlbaum Associates,1996:315-333.4 Piaget,J. The psychology of intelligenceM.Totowa, NJ: Littlefield, Adams & Co,1972.5 Brown,M. Number operationsA. In K.M. Hart

29、 (Ed.). Childrens understanding of mathematicsC. Oxford:John Murray,1981:11-16.6 Frydman,O., & Bryant,P. Sharing and the understanding of number equivalence by young children J.Cognitive Development,1988,(3-4):323-339.7 Chen,J.Q.，& McNamee,G. Bridging：Assessment for teaching and learning in early childhood classroom, Prek3M.Thousand Oaks,California: Corwin Press，2007.8 Correa,J., Nunes, T., & Bryant, P.Young childrens understanding of division: The rel