考研数学复习（高数与线性代数）

1、考研数学复习（高数与线性代数） 第一章 函数 极限 连续 一求极限方法小结 极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念. 有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型. 1. 知识要点 （1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限. （4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限. （10） 利用罗必达法则求极限. （11） 利用导数定义求极限. （12） 利用定积分

2、定义求极限. （13） 利用taylor公式求极限. 2典型例子 例1：设x1?2,x2?2?1x,?,x1n?1?2?,?1xn(答案：1?2) 例2：求lim?1n?n2?1?1n2?2?1?n2?n?例3：求lim?n?1?1?1?n?11?1? ?(n2?1)2(nn?1)n?例4：求 lim1?3?5?(2n?1)n?2?4?6?2n 例5：求 lim?x?x2ln?1?x?1?x? 1 求证：limn?xn存在，并求其值. （答案：1） （答案：1） （答案：0） （答案：12） x例6：limcosx （答案：e?x?0?12） 5?x?c?2t?tedtc?例7：求常数c，使l

3、im? （） ?x?x?c2?例8：已知x1?1,x2?1?xcxx1,?,xn?1?n?1,?,证明数列xn收敛，并求出x1?1xn?1?1此数列的极限. ?1?5?2? ?例9：设x0?0,xn?1?3(1?xn)(n?0)，求limxn （答案：3） n?3?xn例10：求 limx?01?tanx?1?tanx （答案：1） xe?1ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2)例11：求 lim （答案：1） x?0secx?cosx1?x2?esinx? （答案：1） 例12: lim?4x?0?x?x?1?e?x2例13：设f(x)?同阶无穷小量. 例14：lim?tan02tdt,

4、g(x)?x7?sin6x，证明：当x?0时，f(x)与g(x)是 2?12? （答案：） ?cotx?x?0x23?2?sinsin?n?n?sin? （答案：2） 例15：求 lim?n?n?111?n?n?2n?12n?1sin2sinnsin?nnn?2?2 例16：求 lim?2?（答案：sin1?cos1） n?n?n?1n?n?2n?n?n?例17：设f(x)在原点的邻域内二次可导，且lim?2 ?sin3xf(x)?2?0，求3x?0x?x9f(x)?3f(0),f(0),f(0)及lim?2?2? （答案：?3,0,9,） x?0x2x? 例18：设f(x)在x?0的某邻域内

5、具有二阶导数，且lim?1?x?1x?x?0?f(x)?3?e，求x?1xf(x)?f(0),f(0),f(0)及lim?1?.（答案：f(0)?0,f(0)?0,f(0)?4， x?0x?f(x)?lim?1?e2） ?x?0x? 例19：设an，bn，cn均为非负数列，且liman?0，limbn?1，limcn?， n?n?n?1x则必有 (a)an?bn对任意n成立； (b)bn?cn对任意n成立； (c)极限limancn不存在； (d)极限limbncn不存在. n?n? （xxxx年数学一） 2arctanx?ln 例xxxx年数学一） 3 sinx?sin(sinx)sinx1

6、 （答案：）（xxxx年数学一） x?06x4111?ln(1?)? 例26：(i)证明:对任意的正整数n,都有 n?1nn11(ii)设an?1?(n?1,2,?),证明数列an收敛. 2n例25：求极限 lim（xxxx年数学一、二） 二函数的连续性 1知识要点 1函数在一点的连续性：f(x)在点x0处连续?lim?y?0 ?x?0 f(x)在点x0处连续?limf(x)?f(x0) x?x02连续函数的运算 3初等函数的连续性： 基本初等函数在定义区间内是连续的； 初等函数在定义区间内是连续的 4函数的间断点和间断点的分类 5闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理 2典型例子 ?x3

7、?x,?x?0?sin?x例1：求函数f(x)? 的间断点，并指出其类型. 1x?0?ln(1?x)?sin2,?x?1?ln(en?xn)(x?0)在定义域内是否连续. 例2：讨论函数f(x)?limn?n?xtf(t)dt?例3：设f(x)?0试确定c的,x?0 其中f(x)具有连续导数且f(0)?0，2?xx?0?c,?值使f(x)连续，并讨论f(x)是否连续. （答案：c?0） 例4：设f(x)在(a,b)内连续，xi?(a,b),ti?0(i?1,2,?,n)，且至少存在一点?(a,b)，使f(?)?t1f(x1)?t2f(x2)?tnf(xn). ?ti?1ni?1，试证明 4 例

8、5：设f(x)在0,1上连续，且f(0)?f(1)，证明（1）存在?(0,1)，使 11f(?)?f(?)；（2）存在?0,1，使f(?)?f(?),n?n. 2n例6：设函数f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3， f(3)?1. 试证必存在?(0,3)，使f(?)?0. （xxxx年数学三） ?ln(1?ax3)?,x?0?x?arcsinx6,x?0 例7：设函数 f(x)?eax?x2?ax?1,x?0?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x?0处连续；问a为何值时，x?0是f(x)的可去间断点？（xxxx年数学二） 例8：设 f(x)?1111?,x?,1) ?xsin?x?(1?x)2121试补充定义f(1)使得f(x)在,1上连续。（答案：f(1)?） （xxxx年数学三） 例9：函数f(x)?xsin(x?2)x(x?1)(x?2)2在下列哪个区间内有界. （a）(?1,0) （b）(0,1) （c）(1,2) （d）(2,3) （xxxx年数学三） 例10：设f(x)在