计量经济学第六讲vvv

1、计量经济学第六讲vvv 浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列 第六讲 多重共线 一、 数学准备：fwl定理 对于多元线性回归模型： yi?a?b1x1i?b2x2i?b3x3i?i （1） 在ols法下，各系数估计通过求解四个正规方程而获得。事实上，如果只关注某一个斜率系数的估计结果，则通过构造一系列简单线性回归模型就能获得所关注 ?，那么构造的斜率系数的估计。假设我们现在关注b1系列简单线性回归模型的过程是： 第一步：把x1对其他解释变量进行回归（请注意，截距所对应的解释变量为1），即有： ?x?x?vx? （2） 1i012i23ii第二步：把y也对（2）中的解释变量进行回归，即有： 第三步

2、：把w?对v?与v?进行回归（因为w?其均值都为零，所以该回归模型不必带有截距项），即有： ?0?1x2i?2x3i?wyi?i （3） ?vw?i?e? i （4） ?i?wv?i?i?现在有两个结论，即，结论一：?；?b21v?i 1 浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列 ?i。这两个结结论二：残差e?i等于多元回归中的残差?论就是著名的fwl定理（frisch-waugh-lovell theorem）。关于fwl定理的一个简单证明见附录1。附录2涉及到该定理的应用。 笔记： b1所反映的是，在控制其他因素后x1对y的影响（与“偏导 数”概念对应）。x1与y的相关关系可能是由于它们共同的“

3、亲戚” x2与x3所带来的。在控制共同“亲戚”对x1及其y的影响后，我们所发现的x1与y的相关关系被称为偏相关关系。在前述步骤中，第一步与第二步实际上是在剔除共同“亲戚”的影响。 练习： 基于简单线性回归模型： yi?a?bxi?i 验证fwl定理。 如果我们只需要结论一，则上述三步骤可以被简化为两步骤：首先把x1对其他解释变量进行回归，得 ?i，其次把y对v到残差v?进行回归： ? ?*vyi?i?iyiv?i?wv?i?i?，但应该注意此?*?可以验证：?b122vv?i?i 2 浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列 ?时并不能保证?i?i成立。 笔记： 在这里y对v?所进行的是无截距回归。

4、事实上，此时是否增 加截距项并不影响斜率估计结果。这是因为，由于v?0，故 ?i?yi(v?i?v?)?yiv，而该等式右边正是有截距情况下斜率的估?22?i?i?v?)?v?(v计结果。 练习： （1）针对上述例子，利用ols法的代数知识，证明： ?i?wv?i?i?yiv ?22vv?i?i?并说明此时为何不能保证?i?i成立。 （2）对yi?a?bx?b2x2i?i进行ols估计，利用前11i述知识证明： cov(y,x)?rrvar(y)var(x)? b1?var(x)(1?r)在这里，r、r分别是x2与x1及其y的样本相关系数。 1x1x21yx212x1x2x1x2yx2 笔记：

5、 一些有用的结论： ?0。注意，仅仅x1与y样1、当x1与y及其x2样本无关时则b1?0。 本无关不能保证b1 3 浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列 ?x?b?x2、当x1与x2样本无关时，多元线性回归y?a?b11i22i?1等于简单线性回归y中的b?m?0?m?1x1i中的m?1，两者皆等于 cov(y,x1)。 var(x1) 二、 考察?2 ?b1?的方差是多少呢？ b1?i?iyiv(a?b1x1i?b2x2i?b3x3i?i)v?var()?var()22?i?i?v?v ?i?b1x1iv?i?b2x2iv?i?b3x3iv?i?iv?iav?var()2?i?v?i?x3iv

6、?i?x2iv?i?0，因此 ols法保证了?v2?b?12?b?1?i?iv?ib1x1iv?var() 2?i?v?i也是非随机的。由于我们假定x1i是非随机的，进而v2，则有： 假定?2?i?2?b12v?i?2 注意到，?v?i2是（2）中的残差平方和，我们已知道： 4 浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列 2?(x2?v2(x?x)?x)?1i1?1i1?i?tss?ess? rss2?(x?x)2?(x2v?x)?i?1i1?1i12(x?x)?(x1i?x1)2(1?1i12) ?(x1i?x1)2)?(x1i?x1)2(1?r(2)2是根据（2）计算的决定系数。因此有： 其中r(2)?2?b12(1?r2)2(x?x)v(2)?i?1i1?2?2 2(2)2通常被称为方差膨胀因子（vif），而1?r被1/1?r(2)称为容忍度（tolerence）。另外，由于1?(x1i?x1)2为 nx1的样本方差var(x1)，因此有： 2/n?2 ?va(r)x(1?b112r(2) （6） )根