第一章 集合与充要条件

1、.,第一章集合与充要条件,第一节集合及其概念 第二节集合的基本运算 第三节充要条件,考试要求,知识解读,实操演练,巩固练习,知识解读,实操演练,巩固练习,知识解读,实操演练,巩固练习,.,1理解集合、元素及其关系，理解空集的概念,考试要求,2掌握集合的表示法及子集、真子集、相等之间的关系,3理解交集、并集和补集等运算,4了解充要条件的含义,.,知识解读,实操演练,巩固练习,第一节集合及其概念,.,一、集合的有关概念,（一）含义,把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合,知识解读,构成集合的每个对象叫做集合的元素,一般用大写字母 表示集合，,用小写字母 表示元素,集合中的元素具有确定性、互异

2、性、无序性三个特征,.,（二）元素与集合的关系,若 是集合 的元素，就说 属于 ，记作 ,若 不是集合 的元素，就说 不属于 ，记作 .,.,（三）表示法,把集合的元素一一列举出来，并用逗号隔开写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 一般形式为 .,把集合中的元素的共同特性描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法 一般形式为 或.,.,（四）特殊的集合,不含有任何元素的集合叫做空集，用表示,只含有一个元素的集合叫做单元素集记为.,.,（五）常见数集,全体自然数的集合叫做自然数集，常用 表示,全体整数的集合叫做整数集，常用 表示,全体有理数的集合叫做有理数集，常用 表示,全体实数

3、的集合叫做实数集，常用 表示,有时用 表示正实数集，用 表示负实数集， 或 表示非零自然数集,.,（六）分类,含有有限个元素的集合叫做有限集.,含有无限个元素的集合叫做无限集.,.,二、集合与集合的关系,（一）子集,如果集合 的任一个元素都是集合 中的元素，那么集合 叫做集合 的子集记作 或 ，读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”,由子集的定义可知： ； ； ， .,.,（二）真子集,如果集合 是集合 的子集，并且 中至少有一个元素不属于 ，那么集合 叫做集合 的真子集记作 或 ,由真子集的定义可知： ； ； ， ,.,（三）集合的相等,如果两个集合 、 的元素完全相同，那么就说这两个集合相等

4、 记作 ，读作“ 等于 ” 性质： ,含有 个元素的集合 的所有子集个数为 ，真子集个数为 . 如：集合 的子集个数为 ，真子集个数为 ，非空真子集个数为 ,评 析,.,演示用适当的方法表示下列集合.,（1）大于 且小于 的自然数集；,（2）绝对值大于 的数；,（3）全体奇数构成的集合；,（4）方程组 的解集,实操演练,.,解,（1）；,（2）；,（3）；,（4）.,有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示，用描述法表示集合过程中需要注意书写格式问题,解题方法,.,练习用描述法表示下列集合.,（1）绝对值不大于 的整数的全体；,（2）不等式 的解集；,（3）矩形全体构成的集合；,（4）方程

5、的解集.,.,演示用适当的符号填空.,（1） ；,（2）；,（3）；,（4）；,（5）；,（6） .,.,分析,（1）因为 为元素， 为集合，所以应填 ；,（3）因为 为元素，为空集，所以应填为 ；,（4）因为，所以；,（2）因为 、 均为集合，且 的元素都在 内， 且 中的元素 不在 内，所以应填,.,（6）因为方程 的实数解为 ， 故. 集合 的元素都在 内，的元素 不在,内，所以应 .,（5）因为方程 无实数根，故；,.,判断元素与集合或集合与集合的关系的常规方法是首先分清是元素与集合关系还是集合与集合关系 如果是元素与集合关系，则关键看元素是否在集合内或满足集合的特性【如演示1（1）（

6、4）】； 如果是集合与集合关系，则根据子集、真子集与相等的概念来判断【如演示1（2）（3）（5）（6）】.,解题方法,.,练习用适当的符号填空.,（1）；,（2）；,（3）；,（4）；,（5） ；,（6） ,.,演示写出集合 的所有子集和真子集.,由子集与真子集的概念可知，除空集外，集合 的子集、真子集与非空真子集的元素必需是 ，据此按规律写出所有的子集、真子集与非空真子集,分析,.,集合 的所有子集为： ， ， ， ， ； 集合的所有真子集为： ， ， ， ， ， ， ； 集合的所有非空真子集为：,解,， ， ， ， ， .,.,写出有限集合的子集与真子集的常规方法是已知有限集合的部分或全部

7、元素组成的新集合即为此有限集合的所有子集，但写出子集的过程中，应从空集开始，分别有规律地选取一个元素、二个元素直到本身为止 上述所有子集，除了本身其余的集合即为有限集合的真子集，再除掉空集，余下的即为非空真子集,解题方法,.,练习已知： ，写出满足条件的所有集合 .,.,1. 用适当的方法表示下列集合.,（1）大于等于 且小于 的整数集；,（2）绝对值不小于的数；,（3）全体偶数构成的集合；,（4）直角平面坐标中第一象限的点集,2. 用适当的符号 填空.,（1） ；,（2） ；,巩固练习,.,（3） ；,（4） ；,（5） ；,（6） .,3 .写出集合满足 的集合 .,.,第二节集合的基本运

8、算,知识解读,实操演练,巩固练习,.,一、交集,对于 、 两个给定的集合，由既属于 又属于的所有公共元素所构成的集合，叫做 、 的交集，记作，即 .,知识解读,由交集的定义可知： ； ； ； 若 ，则 ,.,二、并集,对于 、 两个给定的集合，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，叫做、 的并集，记作，即 .,由交集的定义可知： ； ； ； 若 ，则 ,.,三、补集,在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为这些集合的全集，通常用 表示 如果 是全集 的一个子集，由 中的所有不属于 的元素构成的集合，叫做 在 中的补集，记作，即 ,由补集的定义可知

9、： ； ； ； ， ,.,为了集合运算简便，常用公式： ； .,评析,.,演示设全集 ， ， ，求 ， ， ， .,由交集、并集和补集的概念来求,分析,实操演练,.,解,因为 ， ，,所以，,又因，,所以，,或,.,求数集的交集的常规方法是求两个集合的公共元素； 求数集的并集的常规方法是求两个集合的所有元素，重复的元素只写一次； 求一个集合的补集的常规方法是全集中除了该集合元素所剩余的元素.,解题方法,.,练习设全集， ， ， 求；.,.,演示设全集求， ，.,借助数轴可求得集合的交、并、补集,分析,.,解,图,图,图,图,，（如图所示）,，（如图所示）,，（如图所示）,，（如图所示）,.,常

10、利用数轴求不等式的解集的交集、并集与补集 不等式解集的交集就是数轴上表示两个集合的两条线重叠覆盖的区间部分； 不等式解集的并集就是数轴上表示两个集合的所有直线覆盖的区间部分； 不等式解集的补集就是数轴上无线覆盖的区间部分.,解题方法,在写出交集、并集与补集的过程中需要注意端点是否包括,注意,.,练习设全集 ， 求 ，及.,.,演示已知全集 ，,由补集的性质 可得 ，故 且 ，即可求出 值,分析,，求.,.,解,首先根据补集的性质（ ）及集合相等的概念建立方程或方程组，然后解这个方程或方程组，便可确定集合中未知的元素.,解题方法,，,解得.,.,练习已知全集， ， 求.,.,演示4已知集合， 求

11、.,解,.,求二元一次方程的交集的常规方法是求由二元一次方程构成的方程组的解集,解题方法,.,练习4已知全集 ，,， 求 .,.,1.设全集 ， ， ， 求 ， ， .,2.已知全集，设 ， ， 求 ， ， ， .,3.已知全集 ，设 ， ， 求， .,巩固练习,4 .已知全集 ， ， ， 求 .,.,5 .已知集合 ， ， 求 .,6.如右图所示，用交集、并集、补集表示图中的阴影部分.,7.设，方程 ，且，求.,第题,.,第三节充要条件,知识解读,实操演练,巩固练习,.,一、充分条件与必要条件,如果条件 成立能推出结论 成立，就说条件 是结论 的充分条件，记作 ，读作“ 推出 ”,知识解读,

12、如果结论 成立能推出条件 成立，就说条件 是结论 的必要条件，记作 ，读作“ 推出 ”.,.,二、充要条件,如果，且，那么就说是的充分且必要条件，简称充要条件，记作 , 如果 是 的充要条件，那么 也是 的充要条件；,评析, 是 的充要条件，又常常说成 当且仅当 ，或 与 等价. 以上三句表示的是同一个意义., 如果 ， ，那么 .,.,演示 用充分条件、必要条件、充要条件填空.,（1） 是 的 ；,（2）是 的 ；,（3）是的 ；,（4）是的 ；,（5）两个三角形的三组对边成比例是两个三角形全等的；,实操演练,.,答案,（1）由条件“ ”成立能推出“”成立，并且由结论“ ”成立也能推出“ ”

13、，所以应填充要条件；,（2）等价于 或 ， 等价于 且 ，由条件“ ”成立不能推出结论“ ”，而由结论“ ”成立能推出条件“ ”成立，所以应填必要条件；,（3）由条件“ ”成立能推出结论“ ”，但由结论“ ”成立不能推出条件“ ”成立，所以应填充分条件；,.,（4）由条件“ ”成立能推出结论“ ”成立，而 等价于 或 ，由结论“ ”成立不能推出条件“ ”成立，所以应填充分条件；,（5）根据三角形全等的判定定理与性质定理可知，由条件“两个三角形的三组对应边成比例”不能推出结论“两个三角形全等”成立，但由结论“两个三角形全等”成立能推出条件“两个三角形的三组对应边成比例”，所以填必要条件,.,如果

14、由条件 成立能推出结论 成立，但由结论 成立不能推出条件 成立，那么条件 就是结论 的充分条件； 如果由结论 成立能推出条件 成立，但由条件 成立不能推出结论 成立，那么条件 就是结论 的必要条件； 如果由条件 成立能推出结论 成立，且由结论 成立能推出条件 成立，那么条件 就是结论 的充要条件,解题方法,.,练习 用充分条件、必要条件、充要条件或既非充分也非必要条件填空.,（1） 是 的 ；,（2）是 的 ；,（3）方程 是有实数解是判别式的 ；,（4）是的 ；,（5）有一内角为直角的平行四边形是矩形的；,.,演示 已知 是 的必要条件， 是 的充要条件， 是 的充分条件，求 与 的关系.,根据已知可得,解, ，, .,即 是 的充分条件， 是 的必要条件,.,根据已知条件及充分条件、必要条件与充要条件的概念，并采用递