24．1圆的对称性

1、,圆 的 对 称 性,圆的对称性,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,圆是中心对称图形吗？,如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少条对称轴？,你又是用什么方法解决这个问题的?,圆的对称性,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,圆也是中心对称图形.,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法即可解决这个问题.,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧abc).,连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦ab).,

2、经过圆心弦叫做直径(如直径ac).,am=bm,垂径定理,ab是o的一条弦.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,作直径cd,使cdab,垂足为m.,右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,小明发现图中有:,由 cd是直径, cdab,做一做,垂径定理,如图,小明的理由是:,连接oa,ob,则oa=ob.,在rtoam和rtobm中,oa=ob，om=om，,rtoamrtobm.,am=bm.,点a和点b关于cd对称.,o关于直径cd对称,当圆沿着直径cd对折时,点a与点b重合,垂径定理三种语言,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,老师提示: 垂径定

3、理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,cdab,如图 cd是直径,am=bm,cdab,垂径定理的逆定理,ab是o的一条弦,且am=bm.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,过点m作直径cd.,右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,小明发现图中有:,由 cd是直径, am=bm,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论., cd是直径, am=bm, cdab,垂径定理及逆定理,垂

4、直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,6.已知：如图，在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab交小圆于c，d两点。你认为ac和bd有什么关系？为什么？,证明：过o作oeab，垂足为e， 则aebe，ce

5、de。 aecebede 即 acbd,5.在半径为30的o中，弦ab=36，则o到ab的距离是= ，oab的余弦值= 。,练一练(2),0.6,24mm,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,挑战自我垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?,老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,挑战自我画一画,如图,m为o内的一点,利用尺规作一条弦ab,使ab过点m.并且am=bm.,挑战自我填一填,1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） 平分弦所

6、对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）,挑战自我画一画,4.如图,圆o与矩形abcd交于e、f、g、h,ef=10,hg=6,ah=4.求be的长.,驶向胜利的彼岸,挑战自我填一填,1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.

7、 （ ）,例2：如图，圆o的弦ab8 ， dc2，直径ceab于d， 求半径oc的长。,垂径,直径mnab,垂足为e,交弦cd于点f.,例3：如图，已知圆o的直径ab与 弦cd相交于g，aecd于e， bfcd于f，且圆o的半径为 10，cd=16 ，求ae-bf的长。,练习3:如图，cd为圆o的直径，弦 ab交cd于e， ceb=30， de=9，ce=3，求弦ab的长。,图中相等的线段有 :,驶向胜利的彼岸,挑战自我画一画,2.已知：如图,o 中,弦abcd,abcd, 直径mnab,垂足为e,交弦cd于点f. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .,小 结,、圆的轴对称性,、垂

8、径定理及其逆定理的图式,2. 圆对称性(2),垂径定理三种语言,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,cdab,如图 cd是直径,am=bm,垂径定理的应用,例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧cd,点o是弧cd的圆心),其中cd=600m,e为弧cd上的一点,且oecd垂足为f,ef=90m.求这段弯路的半径.,解:连接oc.,老师提示: 注意闪烁的三角形的特点.,赵州石拱桥,1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.

9、4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？,赵州石拱桥,解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为o，半径为rm， 经过圆心o作弦ab的垂线od，d为垂足，与 相交于点c.根 据垂径定理，d是ab的中点，c是 的中点，cd就是拱高. 由题设,在rtoad中，由勾股定理，得,解得 r27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,船能过拱桥吗,2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通

10、过这座拱桥吗？,相信自己能独立完成解答.,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为o,半径为rm, 经过圆心o作弦ab的垂线od,d为垂足,与 相交于点c.根 据垂径定理,d是ab的中点,c是 的中点,cd就是拱高. 由题设得,在rtoad中，由勾股定理，得,解得 r3.9（m）.,在rtonh中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,垂径定理三角形,在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.,d + h = r,已知：如图，直径cdab，垂足为e . 若半径r = 2 ，ab = , 求oe、de 的长. 若半径r = 2 ，oe = 1 ，求ab、de

11、 的长. 由 、两题的启发，你还能编出什么其他问题？,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽ab = 600mm，求油的最大深度.,垂径定理的逆应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽ab = 600mm，求油的最大深度.,d,c,挑战自我,1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.,2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.,3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：,d + h = r,2. 圆对称

12、性(3),圆的对称性及特性,圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法可以得到:,一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.,这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性,圆心角,圆心角 顶点在圆心的角(如aob). 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段od).,如图,在o中,分别作相等的圆心角和aob和aob, 将其中的一个旋转一个角度,使得oa和oa重合.,你能发现那些等量关系?说一说你的理由.,圆心角,圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理,如图,如果在两个等圆o和o中,分别作

13、相等的圆心角和aob和aob,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使得oa和oa重合.,你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.,圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.,由条件: aob=aob,ab=ab, od=od,拓展与深化,在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件: 两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.,如由条件:,ab=ab, od=od,aob=aob,推论,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,ab=ab