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文档简介

1、第一节 微分中值定理,二、拉格朗日中值定理(Lagrange),一、罗尔定理（Rolle),三、柯西中值定理(Cauchy),第三章 微分中值定理与导数的应用,费马引理 设函数 f(x)在点的某邻域 内有定义， 并且在 处可导，如果对任意的 ，有 (或), 那么 .,一、罗尔定理,罗尔定理,使得,即,几何意义 在弧 上至少有一点 C ， 曲线在C点的切线平行于弦AB， 即平行于 轴。,注意,定理的条件缺一不可.,如:,二、拉格朗日中值定理,1 定理,几何意义 在弧 上至少有一点C ， 曲线在C点的切线平行于弦AB.,2 拉格朗日中值公式的其它形式,取,注意,由微分，有公式：,因此，拉格朗日中值

2、公式又叫做有限增量公式,而拉格朗日定理公式则给出增量的一个精确公式：,也叫微分中值定理.,3 拉格朗日中值定理的推论,定理,证明,即,推论,4 利用中值定理的应用举例,例3,证明：,所以,所以，有,故,即,证明：,设,由,例5 证明恒等式,证明：,所以,而,证明：,构造函数,即,三、柯西中值定理,1 定理,2 注意,所以下面的证明是错误的：,3 几何意义,曲线的参数方程,C点处切线斜率为,它等于弦 AB 的斜率.,Rolle定理是Lagrange中值定理的特例: 在Lagrange中值定理中如果 则Lagrange中值定理变成Rolle定理； Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广 在Cauchy中值定理中如果 则Cauchy化为Lagrange中值定理

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