必修2立体几何空间向量

1、立体几何（一） 知识梳理1.多面体的结构特征底面：互相平行(1) 棱柱侧面：都是四边形，且每相邻两个侧面的公共边都平行且相等.底面：是多边形(2) 棱锥侧面：都是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分2.旋转体的形成3.直观图(1)画法：常用斜二测画法 (2)规则：原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与x轴和 y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4三视图(

2、1) 几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线(2) 三视图的画法基本要求：长对正，高平齐，宽相等画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线5圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线6.空间几何体的表面积与体积公式7.几个与球有关的切、接常用结论(1) 正方体的棱长为 a，球的半径为 R，正方体的外接球，则 2R 3a；正方体的内切球，则 2Ra；球与正方体的各棱相切，

3、则 2R 2a.(2) 长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R a2b2c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.8平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 (2)公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (4)公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面 9空间中两直线的位置关系平行共

4、面直线(1)位置关系的分类 相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成名 称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积S 侧2S 底VS 底 h锥体(棱锥和圆锥)S 表面积S 侧S 底1V S 底 h3台体(棱台和圆台)S 表面积S 侧S 上S 下1 V (S 上S 下 S上S下)h 3球S4R24V R33 侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧2rlS 圆锥侧rlS 圆台侧(rr)l的锐角(或直角) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围：0，2(3)平行公理和等角定理平行公理：平行于

5、同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补10空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系11直线与平面平行的判定与性质12.面面平行的判定与性质判定性质定义定理判定性质定义定理图形条件a a，b，abaa，a，b结论aba ab图形语言符号语言公共点直线与平面相交aA1 个平行a0 个在平面内a 无数个平面与平面平行0 个相交l无数个13直线与平面垂直的判定与性质14.平面与平面垂直的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直l l图形条件结论判定ab，b(b 为 内的任意直线)aam，

6、an，m、n，mnOaab，ab性质a，b aba，bab图形条件 a，b， abP， a，b， a， b，a结论aba15.直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(2)线面角 的范围：0，2.16二面角的有关概念(1) 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2) 二面角的平面角：过二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.17直线的方向向量与平面的法向量的确定(1) 直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2) 平面的法向量可利用方程组求出：设

7、，是平面 内两不共线向量，为平面 的法向量，n a = 0n b = 0则求法向量的方程组为.18用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和l2的方向向量分别为v1和v2 ，则 l1l2(或l1与l2重合)v1 v2 .(2)设直线 l 的方向向量为，与平面 共面的两个不共线向量为v1 和v2 ，则 l 或 l存在两个实数 x，y，使x v1 y v2 .(3)设直线l的方向向量为，平面 的法向量为，则 l或l. (4)设平面 和 的法向量分别为u1 ， u2 ，则 u1 u2 .19用向量证明空间中的垂直关系(1) 设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为v1 和v2 ，则 l1l2 v

8、1 v2(2) 设直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为，则 l.(3) 设平面 和 的法向量分别为u1 和u2 ，则 u1 u2 u1 u2 0. 20两条异面直线所成角的求法设，分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则 v1 v2 0.l1 与 l2 所成的角 与的夹角 范围 (0，2(0，性质如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 a l la l21.直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为，直线l 与平面 所成的角为 ，与的夹角为 ， 则 sin |cos |，(0，222求二面角的大小(1)如图，AB，CD 是二面角 l

9、 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小AB，CD(0，(2)如图， n1 ， n2 分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 满足|cos |cos n1 ， n2 |，二面角的平面角大小是向量n1 与 n2 的夹角(或其补角)23利用空间向量求距离(1)两点间的距离 设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|AB|(x1- x 2)2 + ( y1 - y2)2 + (z1- z 2)2 .(2)点到平面的距离如图所示，已知 AB 为平面 的一条斜线段，为平面 的法向量，=则 B 到平面 的距离为 BO.n（二）考点剖析考点一：线面平行

10、、面面平行的判定与性质例 1：如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点AB na nan求法cosq =cos b =a baba bab(1) 求证：BE平面 DMF；(2) 求证：平面 BDE平面 MNG.解：（1）证明：如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN的交点 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线 BEMO又BE平面 DMF，MO平面 DMF BE平面DMF.（2）证明：N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边AD，EF 的中点，DEGN，又DE平面 MNG，GN平面 MNGDE平面 MNG又又又M 为

11、AB 的中点MN 为 ABD的中位线BDMNBD平面MNG，MN平面MNGBD平面 MNGDE, BD 平面BDE平面 BDE平面 MNG.考点释疑：(1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行(2)证明两个平面平行的方法有：用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；借助“传递性”来完成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； 考点二：线面垂直、面面垂直的判定与性质例 2：如图，在四棱锥 PABCD 中，ABC

12、D，ABAD，CD2AB，平面 PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和PC 的中点求证：(1)PA底面 ABCD；(2)平面 BEF平面 PCD.解： (1) 证明：平面 PAD底面 ABCD， 平面PAD 平面ABCD = AD PA AD , PA 平面PADPA底面 ABCD.(2) 证 明：ABAD，且四边形 ABED 为平行四边形BECD，ADCD由(1)知 PA底面 ABCD又C D 平面 A B CPACD又PAADA， PA, AD 平面PADCD平面 PAD又又 C D PPD 平面PADE，F 分别是 CD 和 PC 的中点EF 为 P C D的中位线

13、PDEFCDEF又CDBE，EFBEE， EF,BE 平面BEFCD平面 BEF又CD平面 PCD平面 BEF平面 PCD.考点释疑：(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2) 证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(3) 已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直考点三：异面直线所成的角例 3：在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BCCACC1，求直线 B

14、M 与直线 AN 所成角的余弦值.解：如图，以C 为原点，分别以CA,CB,CC1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系Cxyz设 BC2，则 B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，BM(1，1,2)，AN(1,0,2)，设直线 BM 与直线 AN 所成角为 . 3 30则 cos =|cos|= |BMAN| .|BM| AN|106 530 .直线 BM 与直线 AN 所成角的余弦值为10考点释疑：用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；利用向量的夹角公式求

15、出向量夹角的余弦值；两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值考点四：直线与平面所成的角例 4：如图，已知在六面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 与 DBFE 均为菱形，且 ABBDDF，AFCF. 求直线 FA 与平面 FBC 所成角的余弦值解：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 FO四边形 ABCD 是菱形ACBD AFCF，O 为 AC 的中点 FOAC四边形 DBFE 是菱形，且 BDDFDBF 为等边三角形又O 为 BD 的中点FOBDFO平面 ABCDOA，OB，又ACBDO， AC, BD 平面ABCDOF 两两垂直如图，以 O 为原点，分别以OA,OB,

16、OF 为x, y, z轴建立空间直角坐标系O- xyz设 AB2， 则 BD2，OB1，OAOF 3O(0,0,0)，A( 3，0,0)，B(0,1,0)，C( 3，0,0)，F(0,0， 3)，D(0，1,0) CB( 3，1,0)，BF(0，1， 3)，FA( 3，0， 3)设平面 FBC 的一个法向量为n = (x1, y1, z1 )x 3 y3=-n CB = 0n BF = 03x1 + y1 = 01 1，取n = (- 3,3, 3)则 - y1 + 3z1 = 0z3 y3=11设直线 FA 与平面 FBC 所成的角为 .10则sinq =cos =3 + 0 + 33 +

17、9 + 3510 )215 .又090 cosq = 1-sin2 q = 1- (=55考点释疑：利用向量法求线面角的方法：-3 + 0 - 3FA nFAn分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角考点五：二面角例 5：如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 ACC1A1 与侧面 CBB1C1 都是菱形，ACC1CC1B160，AC2，AB1 6，求二面角 C-AB1-A1 的余弦值解：连接 AC1，CB1，则ACC1 和B1CC1 皆为正三

18、角形 取 CC1 的中点 O，连接 OA，OB1，则 CC1OA，又又又OB1 = O ， OA,OB1 平面OAB1 CC1平面 OAB1OACC1AB1AB1 平面OAB1OAOB13，且 AB122 -12 =6OAOB1 OB ,OC ,OA两两垂直 OA2 +OB 2 = AB 21111如图，以O 为原点，分别以OB1,OC1,OA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O - xyz .则 C(0，1,0)，B1(AC(0，1，3)，A1(0，2，3)3，0,0)，A(0,0， 3)，AB1(AA1(0,2,0)3，0， 3)，设平面 CAB1 的一个法向量为n = (x1,

19、y1, z1 ) y1 = -n AC = 0- y - 3z = 03z1 ，取n = (1, - 3,1)则11x= zn AB = 03x - 3z = 011111设平面 A1AB1 的法向量为 m = (x2 , y2 , z2 )m AB1 = 0则 m AA1 = 03z2 = 0 x2 = z2 ，取 m = (1,0,1)3x2 - 2 2 y = 0 y= 0 22m n1+ 0+110cos =1+ 3 +1 1+ 0 +15由图可知，该二面角 C-AB1-A1 为钝角二面角 C-AB1-A1 的余弦值为.5mn考点释疑：二面角问题一般有两种方法，方法一：定义法构造出二面

20、角的平面角，通过解三角形计算；方法二：坐标法建立恰当坐标系，求出两个 n1n2 平面的法向量 n1，n2，利用cos n1，n2|n1|n2|求出(结合图形取“”号) 考点六：点到平面的距离例 6：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 ABAA14， 点 D 是 AA1 的中点，求点 A1 到平面 DBC1 的距离解：过点 A 作 AC 的垂线为 x 轴，以 AC 为 y 轴，以 AA1 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系正三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAA14，点 D 是 AA1 的中点3，2,0)，C1(0,4,4)，D(0,0,2)，A1(0,0,4)，B(2DB(23

21、，2，2)，DC1(0,4,2)，DA1(0,0,2)，设平面 BDC1 的一个法向量为n = (x, y, z)n DB = 0 2 3x + 2 y - 2z = 0 x = -3y ，取n = (- 3,1, -2)4 y + 2z = 0z = -2 yn DC1 = 0点 A 到平面 DBC 的距离d =2113 +1+ 4即点 A1 到平面 DBC1 的距离为 2.考点释疑：求点到平面的距离一般有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；等体积法；向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便（三）历年高考真题训练1、（2011 年高考全国卷）如图，

22、四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB = 60 ， AB = 2AD ， PD 底面ABCD .（）证明： PA BD ；PD C（）若 PD = AD ，求二面角 A - PB - C 的余弦值.AB0 + 0 - 4n DA1n2 、（ 2012 年高考全国卷） 如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1中，C1B1AC = BC = 1 AA ， D 是棱 AA 的中点， DC BD .A11112（）证明： DC1 BC ；DC（）求二面角 A - BD - C 的大小.B11A3、（2013 年高考全国卷）如图，三棱柱 ABC - A1B1C1中， CA

23、= CB ，AB = AA1 ， BAA1 = 60 .（）证明： AB A1C ；（）若平面ABC 平面AA1B1B， AB = CB ，求直线 A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值4、（2014 年高考全国卷）如图三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形，AB B1C .（）证明： AC = AB1 ；（）若 AC AB1 ， CBB1 = 60o ， AB = BC ，求二面角 A - A1B1- C1 的余弦值.5、（2015 年高考全国卷）如图，四边形ABCD 为菱形，ABC = 120 ，E, F 是平面 ABCD同一侧的两点， BE 平面ABCD ， D

24、F 平面ABCD ，BE = 2DF ， AE EC .（）证明： 平面AEC 平面AFC ；（）求直线 AE 与直线CF 所成角的余弦值.6、（2016 年高考全国卷）如图，在以 A, B,C, D, E, F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF = 2FD， AFD = 90 ，且二面角 D - AF - E 与二面C - BE - F 都是60C（）证明： 平面ABEF 平面EFDC ；（）求二面角 E - BC - A 的余弦值DEBF7、（2017 年高考全国卷）如图，在四棱锥 P - ABCD 中， AB / /CD ， 且BAP = CDP = 90 .（）证明：

25、平面PAB 平面PAD ；（）若PA= PD = AB = DC ，APD = 90 ，求二面角 A- PB-C 的余弦值.A历年高考真题训练参考答案DAB = 60, AB = 2AD , 由余弦定理得1、解：（）BD2 = AD2 + AB2 - 2AD ABcos60 = AD2 + 4AD2 - 2AD 2AD 1 = 3AD22BD =3AD ，从而 BD2 + AD2 = AB2 ，故 BD AD又PD 底面ABCD ， BD 底面ABCD BD PDADPD = D ， AD,PD 平面PAD BD 平面PAD又又PA 平面PAD PA BD（）由（）知，BD AD又PD 底面A

26、BCD AD,BD,PD两两垂直如图，以 D 为原点，分别以 DA, DB, DP 为x, y, z 轴建立空间直角坐标系 D - xyz .设 AD =1，则 A(1, 0, 0), B (0，3, 0) , C (-1, 3, 0), P (0, 0,1) AB = (-1, 3, 0), PB = (0, 3, -1), BC = (-1, 0, 0)设平面 PAB 的一个法向量为n = (x1, y1, z1 ) ，n PB = 0 3y1 - z1 = 0z =3y1 ，取1则 n AB = 0-x1 + 3y1 = 0x1 =3y1n = ( 3,1, 3)设平面 PBC 的一个法

27、向量为m = (x2 , y2 , z2 )m PB = 0则 z2 =3y2 - z2 = 03y2m BC = 0x， 取 m = (0,1, 3)-x = 0= 022m n3 0 +11+3 3 =4= 2 7 .cos =3 +1+ 3 0 +1+ 32 77由图可知，该二面角为钝角.二面角 A-PB-C 的余弦值为 - 27.72、解：（）在 RtDDAC 中， AD = AC ADC = 45同 理 1A DC1 = 45 CDC1 = 90 DC1 DC又DC1 BD ， BDDC = D ， BD, DC 平面BDC DC1 平面BDC又BC 平面BDC DC1 BC（）由（

28、）知， DC1 BC又CC1 BC ， DC1CC1 = C1, DC1,CC1 平面ACC1A1 BC 平面ACC1A1AC 平面ACC1A1又mn BC AC AC, BC,CC1两两垂直.如图，以C 原点，分别以CA,CB,CC1 为x, y, z轴建立空间直角坐标系C-xyz.设 AC =1，则 A1(1,0, 2) ， B(0,1, 0) ， D(1,0,1)， C1(0, 0, 2) A1B = (-1,1,-2) ， BD = (1,-1,1)， BC1 = (0, -1,2)设平面 A1BD 的一个法向量为n = (x1, y1, z1 )n A1B = 0-x1 + y1 -

29、 2z1 = 0x1 = y1则 z，取n = (1,1,0)- y + z = 0= 0xn BD = 0 111 1设平面 BDC1 的一个法向量为m = (x2 , y2 , z2 )m BD = 0 x2 - y2 + z2 = 0x2 = z2则 m BC- y + 2z = 0 y，取m = (1,2,1)= 2z= 022 221m n1+ 2 + 033 .2cos =1+1+ 0 1+ 4 +12 3由图可知，该二面角为锐角二面角 A - BD - C 的大小为30 .113、解：（）证明：取 AB 的中点O ，连结OC ， OA1 ， A1B .CA = CB O C AA

30、B = AA1， BAA1= 60 AA1B 为等边三角形 OA1 AB又OCOA1 = O ， OC,OA1 平面A1OC AB 平 面 A1OC又A1C 平面A1OC AB A1C（）解：由（）知， OC AB ， OA1 AB又平面ABC 平面AA1B1B ， 平面ABC平面AA1B1B=AB ，OC 平面ABCmn OC 平面AA1B1B OA, OA1,OC 两两垂直.如图，以O 为坐标原点，分别以OA, OA1,OC 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O - xyz .设 AB = 2 ，则 A(1, 0, 0) ， A1 (0, 3, 0) ， C(0, 0, 3) ， B

31、(-1, 0, 0)3, 0) ， BC = (1, 0, 3) A1C = (0, - 3, 3) ， BB1 = AA1 = (-1,设平面BB1C1C 的一个法向量为n = (x1, y1, z1 )y= 3 xn BB = 0-x + 3y = 0113111，取n = ( 3,1, -1)则n BC = 0x1 + 3z1 = 0z3 x=-113设直线 A1C 与平面BB1C1C 所成角为0 - 3 - 3= 2 310 .则sinq =cos =13 +1+1 0 + 3 + 330510 .直线 AC 与平面BBC C 所成角的正弦值为11 15侧面 BB1C1C 为菱形，令

32、BC1B1C = O BC1 B1C4、（）证明：B1C 平面ABC1又AB B1C ,ABBC1 = B ， AB, BC1 平面ABC1又AO 平面ABC1AO B1CO 为B1C 的中点 AC = AB1又（）AC AB1 ，且O 为 B1C 的中点 AO = CO又AB = BC, BO = BO(公共边) BOA BOC(SSS)AOB = COB = 90即OA OBOA,OB,OB1 两两垂直如图，以O为原点，分别以OB,OB1,OA为x, y, z轴建立空间直角坐标系O-xyz.设 AC = 1，则 A(0, 0,2 ) ， B( 6 , 0, 0) ， B (0,2 , 0)

33、 ， C (-6 , 0, 0)112222n A1CnA1Cz A62222,0, - ) ，2 AB = (0, -) ， A B = AB = (A111 122CC162B1C1 = (-, -, 0)22OBxyB1设平面AA1B1的一个法向量为n = (x1, y1, z1 ) 2 2 z y= zy -= 0n AB = 01111221 ，取n = (1, 3, 3)则 33n A1B1 = 0x1 =z16 x2 z-= 01122设平面A1B1C1的一个法向量为m = (x2 , y2 , z2 ) 6 x - 2 z = 022m A B = 0=3x2z221 12，取

34、m = (1,-3, 3)则 m B1C1 = 0 y2 = - 3x26 x2-y = 0n m22221- 3 + 3= 17cos =1+ 3 + 3 1+ 3 + 3由图可知，该二面角为锐角.二面角 A - A B - C 的余弦值为 1 .1 1175、解：（）连接 BD 交 AC 于点G ，连接 EG ， FG ， EF在菱形 ABCD中，不妨设GB =1，由ABC =120 ，可得 AG = GC =3 .BE 平面ABCD， AB = BC AE = EC又AE EC ， AG = CGEG = AG =3 ， EG AC在 Rt EBG 中，可得 BE =( 3)2 -12

35、=222 DF =.62 212 + ()2 =在 Rt FDG 中，可得 FG =.2nm22DF =在 直 角 梯 形 BDFE 中 ， 由 BD = 2 ，BE =2，可得2 )2 = 3 2EF =22 + ( 2 -22 EG2 + FG2 = EF 2 EG FGACFG = G ， AC, FG 平面AFC又EG 平面AFC又EG 平面AEC 平面AEC 平面AFC（）如图，以G 为坐标原点，分别以GB,GC 为 x, y 轴建立空间直角坐标系G - xyz2 )2由（）可得 A(0, - 3, 0) ， E(1,0,2) ， C(0, 3, 0) ， F (-1,0,2 )2 AE = (1, 3, 2) ， CF = (-1, - 3,设直线 AE 与直线CF 所成角为33则cosq =cos = =1+ 3 + 2 1+ 3 + 1233直线 AE 与直线CF 所成角的余弦值为.6、解：（）ABEF 为正方形 AF EF-1- 3 +1AE CFAECFAFD = 90 AF DFDFEF = F ， DF, EF 平面EFDC又 AF 平面EFDC又AF 平面ABEF平面ABEF 平面EFDC（）由（）知DFE = CEF