全等三角形(常见辅助线)用.ppt

1、专题学习,-几何证明中常见的 “添辅助线”方法 -“周长问题”的转化,连结,目的:构造全等三角形或等腰三角形,适用情况:图中已经存在两个点A和B,语言描述:连结AB,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,连结,典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,A,C,B,D,1.连结AC,构造全等三角形,2.连结BD,构造两个等腰三角形,连结,典例2:如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证:点M是CD的中点.,A,C,B,D,连结AC、AD,构造全等三角形,E,M,连结,典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD 的中点，求证：AMB A

2、NC,A,C,B,D,连结AD,构造全等三角形,N,M,连结,典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.,A,C,B,D,连结BD,构造全等三角形,O,目的:构造直角三角形,得到距离相等,适用情况:图中已经存在一个点A和一条线MN,语言描述:过点A作AHMN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,角平分线上点向两边作垂线段,角平分线上点向两边作垂线段,典例1:如图,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求点D到AB的距离.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,E,角平分线

3、上点向两边作垂线段,典例2:如图,ABC中, C =90o,AC=BC, AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,E,思考: (1)若AB=15cm,则BED的周长是多少? (2)能否用截长补短法，在AB上截取AE=AC？,角平分线上点向两边作垂线段,典例3:如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.,A,C,D,过点E作EFBC,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考: 1.有没有其他辅助线的做法 2.你从本题中还能得到哪些结论?,E,.角平分线上点向两边作垂线

4、段,典例4:如图,OC 平分AOB, DOE +DPE =180o, 求证: PD=PE.,A,C,D,过点P作PFOA,PG OB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考: 你从本题中还能得到哪些结论?,E,P,G,O,目的:构造直角三角形,得到斜边相等,适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X,语言描述:连结XM和XN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,.垂直平分线上点向两端连线段,如图：PD、PE分别垂直平分线段 AB、BC，则PA_PC,问题1:在某一乡村公路L的同侧，有两个村庄A、B，为了便于两个村庄的人看病，乡政府计划在公路边上修建一

5、所医院，使得它到两村庄的距离相等，试问医院的院址P应选在何处？,A,B,P,联系生活,问题2:有三个村庄A、B、C，为了便于三个村庄的人看病，乡政府计划修建一所医院，使得它到三个村庄的距离相等，试问医院的院址P应选在何处？,P,想一想，P点与BC有怎样的关系？,三角形三条边的中垂线是交于一点的，这个点到三个顶点距离相等,目的:构造直角三角形,得到斜边相等,适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X,语言描述:连结XM和XN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,.中线延长一倍,1.已知，如图AD是ABC的中线，,.中线延长一倍,延长AD到点E，使DE=AE， 连结

6、CE.,思考：若AB=3,AC=5，求AD的取值范围？,已知在ABC中，C=2B, 1=2 求证:AB=AC+CD,A,D,B,C,1,2,在AB上取点E使得AE=AC，连接DE,截长,F,在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF,补短,如图所示，已知ADBC，1=2， 3=4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB,E,F,在AB上取点F使得AF=AD,连接EF,截长补短,例1 如图，已知：在正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E.求证：AB+BE=AC,截长补短法,旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。.,例3如

7、图所示，已知点 、 分别在正方形 的边 与 上，并且 AF平分 EAD ，求证：,A,B,C,D,E,F,G,如图，已知在正方形中，在上， 在上， 求证：,如图，ABC中，是边上的中点， 于，交 的平分线于，过作于，作于 求证：,1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB, DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?,.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,=BE+BD+CD,=BE+BC,=BE+AC,=BE+AE,=AB,2.如图,ABC中,C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求AD

8、E的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,=BD+CE+DE,=BC,3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称. 若A1 A2 =6cm,求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,O,M,AB+AC+BC,=A1 B+ A2 C+BC,=A1 A2,A1,A2,N,4.如图, ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, ABM周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,M,AB+BC+AC,=AB+ BM+MC+6,N,=AB+ BM+AM+6,=13+6,5.如图, ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC. 若BC=6cm, AMN周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”,B,A,C,P,AB+AC+BC,=AM+ BM+AN+NC+6,N,=AM+ MP+AN+NP+6,=13+6,