非线性方程求解实验报告

1、数学实验报告非线性方程求解一、实验目的 1.掌握用 MATLAB 软件求解非线性方程和方程组的基本用法， 并对结果作初步分析；2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。二、实验内容题目1 【问题描述】(Q1)小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子，首付了5万元，每月还款1000元，15年还清。问贷款利率是多少？(Q2)某人欲贷款 50 万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还 4500元，15 年还清；第二家银行开出的条件是每年还 45000 元，20 年还清。从利率方面看，哪家银行较优惠（简单假设：年利率=月利率12）？【分析与解】假设初始贷款金额为

2、x0，贷款利率为p，每月还款金额为x，第i个月还完当月贷款后所欠银行的金额为xi，(i=1,2,3,.,n)。由题意可知：x1=x01+p-xx2=x0(1+p)2-x1+p-xx3=x0(1+p)3-x1+p2-x1+p-xxn=x0(1+p)n-x1+pn-1-x1+p-x=x01+pn-x1+pn-1p=0因而有：x01+pn=x1+pn-1p(1)则可以根据上述方程描述的函数关系求解相应的变量。(Q1)根据公式(1)，可以得到以下方程：150p1+p180-1+p180+1=0设 fp=150p1+p180-1+p180+1，通过计算机程序绘制f(p)的图像以判断解p的大致区间，在Ma

3、tlab中编程如下：fori = 1:25 t = 0.0001*i;p(i) = t;f(i) = 150*t*(1+t).180-(1+t).180+1;end;plot(p,f),hold on,gridon;运行以上代码得到如下图像：f(p)p关系曲线图通过观察上图可知p0.002,0.0022。Solution1：对于p0.002,0.0022，采用二分法求解，在Matlab中编程如下：clear; clc;x0=; n=180; x=1000; p0=0.002; p1=0.0022;while (abs(p1-p0)1e-8) f0=x0*(1+p0).n+x*(1-(1+p0)

4、.n)/p0; f1=x0*(1+p1).n+x*(1-(1+p1).n)/p1; p2=(p0+p1)/2; f2=x0*(1+p2).n+x*(1-(1+p2).n)/p2;if (f0*f20 & f1*f21e-8) f0=1000*p10*(1+p10).180-9*(1+p10).180+9; f1=1000*p11*(1+p11).180-9*(1+p11).180+9; p22=(p10+p11)/2; f2=1000*p22*(1+p22).180-9*(1+p22).180+9;if (f0*f20 & f1*f21e-8) f0 = 100*p20*(1+p20).20-

5、9*(1+p20).20+9; f1 = 100*p21*(1+p21).20-9*(1+p21).20+9; p22 = (p20+p21)/2; f2 = 100*p22*(1+p22).20-9*(1+p22).20+9;if (f0*f20 & f1*f20)任意，初值 x0=1。观察是否有混沌现象出现，并找出前几个分岔点，观察分岔点的极限趋势是否符合Feigenbaum常数揭示的规律。【分析与解】为观测xk随迭代次数变化的情况，在Matlab中编程如下：function x=iter(a,b)x0=1;x(1)=a*x0*exp(-b*x0);fori=1:49x(i+1)=a*x(

6、i)*exp(-b*x(i);endx=x;取b=1，计算相应的xk随迭代次数变化的情况，在Matlab中编程如下：clearclcx1 = iter(5,1)x2 = iter(11,1)x3 = iter(15,1)运行以上代码得到如下结果：迭代次数kxk(a=5)xk(a=11)xk(a=15)11.83944.04675.518221.46150.77810.332231.69453.9313.574341.55630.84861.50351.64123.99535.015361.58990.80870.499271.62133.96254.545281.60220.82880.723

7、991.61383.98025.2648101.60670.81790.4083111.61113.97094.0715121.60840.82371.0414131.613.97585.5136141.60910.82060.3334151.60973.97323.5833161.60930.82221.4933171.60953.97465.0316181.60940.82140.4927191.60953.97394.5156201.60940.82180.7408211.60943.97435.2975221.60940.82160.3976231.60943.97414.007624

8、1.60940.82171.0927251.60943.97425.4959261.60940.82160.3383271.60943.97413.6179281.60940.82171.4565291.60943.97415.0916301.60940.82170.4696311.60943.97414.404321.60940.82170.8078331.60943.97415.4022341.60940.82170.3652351.60943.97413.802361.60940.82171.2733371.60943.97415.3461381.60940.82170.3822391.

9、60943.97413.9122401.60940.82171.1734411.60943.97415.4442421.60940.82170.3529431.60943.97413.7194441.60940.82171.3529451.60943.97415.2457461.60940.82170.4147471.60943.97414.1088481.60940.82171.0125491.60943.97415.5178501.60940.82170.3323为分别绘制xk随迭代次数变化的而变化的曲线，在Matlab中编程如下：plot(x1)plot(x2)plot(x3)运行上述代

10、码，得到如下图像：a=5时，xk随迭代次数变化的而变化的曲线a=11时，xk随迭代次数变化的而变化的曲线a=15时，xk随迭代次数变化的而变化的曲线(1)a=5时，xk随迭代次数的增加而收敛于1.6094。(2)a=11时，xk随迭代次数的增加有两个收敛的子列，分别收敛于0.8217和3.9741。(3)a=15时，xk迭代次数的增加既不收敛也不存在收敛的子列。为求得原方程的平衡点，令xk=xk+1=x，则得到如下方程：x=axe-bx方程的根为迭代的平衡点，显然方程有x=0和x=lnab两个根。而通过迭代公式可知，当初始值大于0时迭代的结果始终大于0，所以方程在此情况下的平衡点为x=lnab

11、。而对于迭代结果，根据其收敛的条件为1-lna1，则可以得到题设情况下xk稳定的条件是a(1,e2)，其中e2=7.389。而对于上述三种情况下的a值，可以发现当a=5时xk是收敛的。而当a=11时，因为xk有两个收敛子列，所以考察如下方程：x=a2xe-bxe-b(axe-bx)为求解上述方程，在Matlab中编程如下：fzero(inline(x -112*x*exp(- x*(1+11*exp(-x),1)fzero(inline(x -112*x*exp(- x*(1+11*exp(-x),4)运行以上代码，得到解分别为0.8217和3.9741。由图像可知，这两个解均符合实际情况。为

12、绘制xk随a变化而收敛或混沌的情况描述图像，在Matlab中编程如下：function chaos(iter_fun,x0,a,n)ka = 0;foraa = a(1):a(3):a(2)ka = ka+1;y(ka,1)=feval(iter_fun,x0,aa);fori = 2:n(2)y(ka,i) = feval(iter_fun,y(ka,i-1),aa);endendplot(a(1):a(3):a(2),y(:,n(1)+1:n(2),k.);endfunction y=iter0(x,a)y=a*x*exp(-x);endchaos(iter0,1,1,30,0.01,100,200)运行上述代码，得到如下图像：根据图像也可以看出，当a=5时，序列xk收敛于一个值；而在a=11时，序列xk收敛于两个值；而在a=15时，进入混沌状态。在图像中进一步缩小范围，可以求得前四个分岔点为7.39，12.51，14.24，14.65，则可以求得an-an-1an+1-an分别为2.95，4.25。【结论】分析以上图像及所求得的数据结果，由于数据较少，未能得出它们是否确切结论，但可以发现有向Feigenbaum常数收敛的趋势。三、实验小结本次实验我学到了很多新