高中数学三角函数解题方法技巧

1、高中数学三角函数解题方法技巧高中数学三角函数解题方法技巧 一、基础知识一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则 角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|=, r L 其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合， 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它

2、的坐标为（x,y） ，到原点的距离为 r,则正弦 函数 sin=,余弦函数 cos=,正切函数 tan=，余切函数 cot=，正割函数 sec= r y r x x y y x ,余割函数 csc= x r . y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系： tan=,sin=，cos=；商数关系：tan=；乘积 cot 1 csc 1 sec 1 sin cos cot, cos sin 关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2. 定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)

3、=-cos, tan(+)=tan, cot(+) =cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-) =sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos 2 =sin, tan=cot（奇变偶不变，符号看象限） 。 2 2 定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间 上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期 2 2 , 2 2 kk 2 3 2 , 2 2kk 为 2. 奇偶数. 有界性：当且仅当

4、x=2kx+时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k-时, y 取 2 2 最小值-1。对称性：直线 x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为- 2 1，1。这里 kZ. 定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+ 上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性： 直线 x=k 均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2k 时，y 0 , 2 k 取最大值 1；当且仅当 x=2k- 时，y 取最小值-1。值域为-1，1。这里 kZ. 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇

5、函数 y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增函 2 2 2 数, 最小正周期为 ，值域为（-，+） ，点（k，0） ， （k+，0）均为其对称中心。 2 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin() =sincoscossin; tan()=. )tantan1 ( )tan(tan 定理 7 和差化积与积化和差公式: sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos, 2 2 2 2 cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin, 2 2 2 2 sincos=sin(+)+sin(-),cossin=s

6、in(+)-sin(-), 2 1 2 1 coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-). 2 1 2 1 定理 8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=. )tan1 ( tan2 2 定理 9 半角公式:sin=,cos=, 2 2 )cos1 ( 2 2 )cos1 ( tan= 2 )cos1 ( )cos1 ( . sin )cos1 ( )cos1 ( sin 定理 10 万能公式: , , 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos

7、2 2 . 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b20，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为 ，则 sin=,cos=，对任意的角 . 22 ba b 22 ba a asin+bcos=sin(+).)( 22 ba 定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有，其中 a, b, c 分别是角R C c B b A a 2 sinsinsin A，B，C 的对边，R 为ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对 边。

8、定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+)的图象（相位变换） ；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=sin() 1 x0 的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换） ；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单 位得到 y=Asinx 的图象。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义 4 函数 y=s

9、inx的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x-1, 1)，函数 2 , 2 x y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x-1, 1). 函数 y=tanx 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函 2 , 2 x 数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。 方程 cosx=a 的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果 aR，方程 tanx=a

10、 的解集是 x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=. 2 2 定理 16 若，则 sinxx0，求证： 2 . 2 sin cos sin cos x x 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 4三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+，求函数的最大值与最小值。x 2 cos1 例 6 设 0. 1 1 121 n n a a 2 2 n 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

11、另外当 x时，有 tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明 2 , 0 是很容易的。 6图象变换：y=sinx(xR)与 y=Asin(x+)(A, , 0). 由 y=sinx 的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再 保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到 y=Asin(x+)的图象；也可以由 y=sinx 的图 1 象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的， 1 最后向左平移个单位，得到 y=Asin(x+)的图象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上

12、的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间上是单调函数，求和的值。 0 , 4 3 M 2 , 0 7三角公式的应用。 例 11 已知 sin(-)=，sin(+)=- ，且 -，+，求 13 5 13 5 , 2 2 , 2 3 sin2,cos2 的值。 例 12 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且，试求 BCAcos 2 cos 1 cos 1 的值。 2 cos CA 例 13 求证：tan20 +4cos70 . 三、基础训练题三、基础训练题 1已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3)，则 x 的弧度数为_。 2适合-2cscx 的角的集合为

13、_。 x x x x cos1 cos1 cos1 cos1 3给出下列命题：（1）若 ，则 sinsin；（2）若 sinsin,则 ；（3）若 sin0，则 为第一或第二象限角；（4）若 为第一或第二象限角，则 sin0. 上述四个命 题中，正确的命题有_个。 4已知 sinx+cosx=(x(0, )，则 cotx=_。 5 1 5简谐振动 x1=Asin和 x2=Bsin叠加后得到的合振动是 x=_。 3 t 6 t 6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+ 1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分 别是第_象限角。 7满足 sin(s

14、inx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有_个。 8已知，则=_。2 2 3 xxcos 2 1 2 1 2 1 2 1 9=_。 40cos170sin )10tan31 (50sin40cos 10cot15 cos25 cot35 cot85 =_。 11已知 ,(0, ), tan, sin(+)=，求 cos 的值。 2 1 2 13 5 12已知函数 f(x)=在区间上单调递减，试求实数 m 的取值范围。 x xm cos sin2 2 , 0 四、高考水平训练题 1已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R，若其周长为定值 c(c0)，当扇形面积最大时， a=_. 2.

15、函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是_. 3. 函数的值域为_. x x y cos2 sin2 4. 方程=0 的实根个数为_.xxlg 6 2sin2 5. 若 sina+cosa=tana, a，则_a（填大小关系）. 2 , 0 3 6. (1+tan1 )(1+tan2 )(1+tan44 )(1+tan45 )=_. 7. 若 0yx0, k=-1，求 f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数 k，使得当 x 在任意两个整数（包括 整数本身）间变化时，函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题（一）五、联赛一试水平训练题（一）

16、 1若 x, yR，则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是_. 2已知圆 x2+y2=k2至少盖住函数 f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数 k k x sin3 的取值范围是_. 3f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为_. 4方程 sinx+cosx+a=0 在（0，2）内有相异两实根 ，则 +=_.3 5函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是_. 6设 sina0cosa, 且 sincos，则的取值范围是_. 3 a 3 a 3 a 7方程 tan5x+tan3x=0 在0，中有_个解. 8若 x, yR, 则 M=cosx

17、+cosy+2cos(x+y)的最小值为_. 9若 00)在一个最小正周期长的区间上的图象与 函数 g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是_.1 2 a 2若，则 y=tan-tan+cos的最大值是 3 , 12 5 x 3 2 x 6 x 6 x _. 3在ABC 中，记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，则=_. BA C cotcot cot 4设 f(x)=x2-x, =arcsin, =arctan, =arccos, =arccot, 将 f(), f(), f(), f() 3 1 4 5 3 1 4 5 从小到大排列为_. 5logsin

18、1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为 _. 6在锐角ABC 中，cosA=cossin, cosB=cossin, cosC=cossin，则 tantantan=_. 7已知矩形的两边长分别为 tan和 1+cos(00 恒成立，则的取值范围是 _. 10已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则 cos2x+ cos2y+ cos2z=_. 11已知 a1, a2, ,an是 n 个实常数，考虑关于 x 的函数：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) + 2 1 cos(an+x)。求证：若实数 x1, x2满足 f(x1)=f(x2)=0，则存在整数 m，使得 x2-x1=m. 1