数值分析作业材料加工侯健2013230057

1、一、 课题名称：函数插值方法二、 班级：2013 级材料加工工程姓名：侯健学号：2013230057三、 目的和意义：1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。四、 计算公式：1、Lagrange 插值公式2、牛顿插值公式3、分段插值多项式五、结构程序设计：运行环境：MATLAB 实验题目：1、问题提出jj对于给定的一元函数 y = f (x) 的 n+1 个节点值 y = f (x )j = (0,1,L, n)。试用 Lagrange 公式求其插值多项

2、式或分段二次Lagrange 插值多项式。数据如下：（1）x j0.40.550.650.800.951.05y j0.410750.578150.696750.901.001.25382求五次 Lagrange 多项式 L 5 (x)，和分段三次插值多项式，计算 f (0.596), f (0.99)的值。（2）x j1234567y j0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001试构造Lagrange 多项式L 6 (x)，计算 f (1.8)的值。结果 f (1.8) 0.1652992、要求1、利用Lagrange 插值公式f (6.15) 0.0021334

3、8( )n nx - xi Ln x= k =0 i=0 ikx - x ykk i编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、对此插值问题用 Newton 插值多项式其结果如何。3、程序设计：一、编写插值函数结构程序u Lagrange插值多项式M文件：lagrange.mfunction A1,LN,L1,B1=lagrange(X,Y) m=length(X); LN=ones(m,m);for k=1: mx1=1;for i=1:m if k=ix1=conv(x1,poly(X(i)/

4、(X(k)-X(i);endendL1(k,:)=x1; B1(k,:)=poly2sym (x1) endA1=Y*L1;LN=Y*B1u 分段三次艾尔米特插值多项式的M文件：Hermite3.m function f,ff = Hermite3(x,y,y1) syms t;f = 0.0;if(length(x) = length(y) if(length(y) = length(y1)n = length(x); elsedisp(y和y的导数的维数不相等); return;end elsedisp(x和y的维数不相等！ ); return;endfor i=1:nh = 1.0;a

5、= 0.0;for j=1:nif( j = i)h=h*(t-x(j)2/(x(i)-x(j)2);a = a + 1/(x(i)-x(j);endendf=f+ h*(x(i)-t)*(2*a*y(i)-y1(i)+y(i);endff = subs(f,t);（1） 、求五次 Lagrange 多项式 L 5 (x)，和分段三次插值多项式。在主显示区，输入五次 Lagrange 多项式 L 5 (x)程序： X=0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05; Y=0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382; A1,LN,L1,B1=la

6、grange(X,Y)plot(X,A1); F=poly2sym(A1)运行后，输出五次 Lagrange 多项式 L 5 (x)的结果：A1 =121.6264-422.7503572.5667-377.2549121.9718-15.0845F =(2139673480305281*x5)/17592186044416 - (1859275536318005*x4)/4398046511104 + (9836621836743*x3)(414796119737013*x2)/1099511627776 +(2145751274873259*x)/17592186

7、044416 - 1061478972867847/70368744177664拉格朗日插值多项式L5 (x) 的图如下： 在主显示区，输入分段三次艾尔米特插值多项式 L 5 (x)的程序：x=0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05;y=0.410750.578150.696750.901.001.25382;y1=2.34400.90321.43290.99030.91705.1439; f,ff = Hermite3(x,y,y1); ff运行后，分段三次艾尔米特插值多项式 L 5 (x)的输出结果：ff =(6400000000*(t - 4/5)2*(t - 11/2

8、0)2*(t -13/20)2*(t - 19/20)2*(t -21/20)2*(2240245151070481*t)/140737488355328- 52393133567890089/8796093022208000)/184041 - (16000000*(6348013345609171*t)/14073748835532 8 -85523418631741336287/1759218604441600000)*(t -2/5)2*(t - 4/5)2*(t - 11/20)2*(t - 13/20)2*(t- 19/20)2)/169 + (16000000*(41056174

9、66549689*t)/28147497671065 6 - 5238387122042657959/703687441776640000)*(t- 2/5)2*(t - 4/5)2*(t - 13/20)2*(t -19/20)2*(t - 21/20)2)/9 - (256000000*(35097*t)/10000 - 46347/12500)*(t -2/5)2*(t - 11/20)2*(t - 13/20)2*(t -19/20)2*(t - 21/20)2)/81 - (400000000*(13147*t)/20000 - 449611/400000)*(t- 2/5)2*(t

10、 - 4/5)2*(t - 11/20)2*(t - 19/20)2*(t - 21/20)2)/81 - (10000000000*(84913*t)/11000 - 1833347/220000)*(t - 2/5)2*(t - 4/5)2*(t -11/20)2*(t - 13/20)2*(t - 21/20)2)/9801分段三次艾尔米特插值多项式 L 5 (x)的图如下：(2)、试构造 Lagrange 多项式 L 6 (x)。结果 f (1.8) 0.165299在主显示区，输入程序：f (6.15) 0.00213348 X=1 2 3 4 5 6 7; Y=0.368 0.13

11、5 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001; A1,LN,L1,B1=lagrange(X,Y)plot(X,A1); F=poly2sym(A1)运行后，输出结果的 Lagrange 多项式 L 6 (x)的结果：A1 =0.0001-0.00160.0186-0.11750.4419-0.96830.9950F = (4304240283865561*x6)/73786976294838206464- (7417128346304051*x5)/4611686018427387904+ (223*x4)/12000-(2821*x3)/24000+ (994976512

12、675275*x2)/2251799813685248- (19367*x)/20000 + 199/200Lagrange 多项式 L 6 (x)的图如下： 二、计算函数值u 计算函数值的主程序：lagrangezhi.mfunction y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M) n=length(X); m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0.0; for k=1:np=1.0; q1=1.0; c1=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-X(j)/(X(k)-X(j); endq1=abs(q1*(z-X(j);c1=c1*j; ends=

13、p*Y(k)+s; endy(i)=s; end R=M*q1/c1;（1）、计算 f (0.596), f (0.99)在主显示区，输入程序： x=0.596; M=1;的值。X=0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05; Y=0.41075,0.57815,0.69675,0.90,1.00,1.25382; y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M)运行结果：y =0.6257R =2.2170e-008在主显示区，输入程序： x=0.99; M=1; X=0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05; Y=0.41075,0.57815,0.69675

14、,0.90,1.00,1.25382; y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M)运行结果：y =1.0542R =5.5901e-008（2） 、计算 的值在主显示区，输入程序求 ： x=1.8; M=1; X=1,2,3,4,5,6,7; Y=0.368,0.135,0.050,0.018,0.007,0.002,0.001; y,R=lagrangezhi(X,Y,x,M)运行结果：y =0.1648R =0.0059三、Newton 插值多项式Newton 插值多项式主程序 M 文件：Newton.mfunction A,C,L,wcgs,Cw= Newton(X,Y) n=le

15、ngth(X); A=zeros(n,n); A(:,1)=Y; s=0.0; p=1.0; q=1.0; c1=1.0;for j=2:n for i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1);endb=poly(X(j-1);q1=conv(q,b);c1=c1*j;q=q1;endC=A(n,n); b=poly(X(n); q1=conv(q1,b); for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k);d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endL(k,:)=poly2sym(C); Q=pol

16、y2sym(q1); syms Mwcgs=M*Q/c1; Cw=q1/c1;在主显示区，输入L5 (x) 的程序: x=0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05; y=0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382; A,C,L,wcgs,Cw= newploy(x,y) syms x; ezplot(L,0 1.1); 运行结果如下，得到L5 (x)A = 0.4108 0 0 0 0 0 0.5782 1.1160 0 0 0 0 0.6967 1.1860 0.2800 0 0 0 0.9000 1.3550 0.6760 0.990

17、0 0 0 1.0000 0.6667 -2.2944 -7.4261 -15.3020 0 1.2538 2.5382 7.4861 24.4514 63.7551 121.6264 C = 121.6264 -422.7503 572.5667 -377.2549 121.9718 -15.0845 L = (8558693921221117*x5)/70368744177664 - (3718551072636019*x4)/8796093022208 + (5036350380412441*x3)/8796093022208 - (3318368957896111*x2)/879609

18、3022208 + (536437818718315*x)/4398046511104 - 8491831782942691/562949953421312 wcgs = (M*(x6 - (22*x5)/5 + (1583*x4)/200 - (3721*x3)/500 + (542206127247039*x2)/140737488355328- (4682696525551953*x)/4503599627370496+ 4111390143022055/36028797018963968)/720 Cw = 0.0014 -0.0061 0.0110 -0.0103 0.0054 -0

19、.0014 0.0002 牛顿插值多项式L5 (x) 的图如下： 在主显示区，输入L 6 (x)的程序:x=1 2 3 4 5 6 7; y=0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001; A,C,L,wcgs,Cw= newploy(x,y) syms x; ezplot(L,0 8); 运行结果如下，得到L 6 (x)：A = 0.3680 0 0 0 0 0 0 0.1350 -0.2330 0 0 0 0 0 0.0500 -0.0850 0.0740 0 0 0 0 0.0180 -0.0320 0.0265 -0.0158 0 0 0 0.0070 -0.0110 0.0105 -0.0053 0.0026 0 0 0.0020 -0.0050 0.0030 -0.0025 0.0007 -0.0004 0 0.0010 -0.0010 0.0020 -0.0003 0.0005 -0.0000 0.0001 C = 0.0001 -0.0016 0.0186 -0.1175 0.4419 -0.9683 0.9950 L = (8608480567731121*x6)/14757395