专题22 求数列通项公式必备的方法和技巧-备战2016年高考高三数学一轮热点难点一网打尽(原卷版)

1、考纲要求:1.了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和) 2.了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)； 3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)基础知识回顾:1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)2数列与函数的关系(1)从函数观点看，数列可以看成是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值(2)数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法3.数列的通项公式：如果数列a

2、n的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式（提示：不是所有的数列都有通项公式，若有，也不一定唯一）4.数列的通项an与前n项和sn的关系：数列的前n项和通常用sn表示，记作sna1a2an，则通项an(提示：若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示) 5.递推公式：如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式应用举例:类型一：由数列的前几项来求数列的通项公式【例】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6

3、,8,10，； (2)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b为实数)； (4)9,99,999,9 999，.点评：用观察法求数列的通项公式的技巧：根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整类型二、已知递推关系式求通项公式（1）形如an1anf(n)，求an 【例】在数列an中，a11，前n项和snan.求数列an的通项公式（2）形如an1anf(n)，求an 【例】(1)在数列an中，a12，an1an，求数列an的通项公式 (

4、2)若数列an满足：a11，an1an2n，求数列an的通项公式（3）形如an1aanb(a0且a1)，求an 【例】已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式 （4）形如an1(a，b，c为常数)，求an 【例】已知数列an中，a11，an1，求数列an的通项公式点评：由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三、四)转化为特殊数列求通项类型三、已知数列的前n项和sn与

5、an的关系求通项公式【例】已知下面数列an的前n项和sn，求an的通项公式： (1)sn2n23n； (2)sn3nb. 点评：已知sn求an的三个步骤：(1)先利用a1s1求出a1；(2)用n1替换sn中的n得到一个新的关系，利用ansnsn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写方法、规律归纳:1.根据数列的前几项求通项公式的方法：主要是观察项与序号的变化规律，采用不完全归纳推理完成在归纳时注意：(1)分式中分子、分母的特征(2)相邻项的变化特征(3)拆项

6、后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分(4)各项的符号特征若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来判断一个式子是不是数列的通项公式，可通过代入检验数列前几项，看是否满足给出的式子2.由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法形如anpan1m(p，m为常数，p1，m0)时，构造等比数列；形如anan1f(n)(f(n)可求和)时，用累加法求解；形如f(n)(f(n)可求积)时，用累积法求解实战演练:1数列的一个通项公式是（ ）a bc d2已知在数列中，且，则（ ） a b c d3已知数列的前项和，其中，那么通项公式（ ） a b c d4已知数列的前n项和，则的通项公式（ ） a b c d5已知数列，则数列的通项为（ ） a b c d6已知函数=,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） a b c d7已知数列的前n项和为,且2=+3，则=_8数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3