固体光学第二章2.ppt

1、凡是由因果关系决定的光学响应函数，其实部和虚部 之间并不完全独立，由此得出一系列关系式描述光学常数 之间的内在联系，这些关系被称为克喇末-克朗尼格（ Kramas-Kronig）关系，简称KK关系。 2.4.1 光学响应函数及其性质 KK关系的物理基础是因果性原理，其内函是物理结果 只能发生在作用之后，而不是在其前。在常用光强范围内， 可以假定极化响应是线性的，即,(2.28),2.4 克喇末(Kramas-Kronig)-克朗尼格（KK）变换,， 的傅里叶(Fourier)成分 ， ，具有相同的光 学响应规律。令 表示在主轴方向的极化分量, 它是时间的 函数， 表示与 相同方向上 的分量 ，

2、上述因果关 系可以表示为,(2.29),上式的意思是 与 t 时刻之前所有的 有关。 一般地说，一个广义作用力 引起的广义位移 ， 由以下运动方程决定 我们来讨论线性响应函数T()的性质。,(2.30),广义作用力 和广义位移 可以表示为,(2.31),叫做响应函数。对于一个线性无源系统，根据Lorentz理 论，T()可以表示为一组阻尼谐振子响应的叠加,(2.33),由式(2.30)得过且过 (2.32),响应函数有如下性质； 解析性，引进的复平面 = r + ii，则上响应 函数在上半复平面是解析的，极点在下半复平面，即,(2.34),收敛性，当时， / 一致地趋近于0， 因此， / 沿着

3、的上半复平面的一个无限半圆上的 积分为零。,奇偶性，由于 在时间和空间上的均匀性，不显含 t 和 r (或波矢)，它仅仅是频率的函数。可以证明,T*(-)=T() (2.35),对于实的， 的实部Tr()是偶函数，其虚部 Ti()是奇函数。 为了说明上述因果关系，引入函数形式的作用场， 一个函数形式的作用场引起的极化可以表示为,(2.36),是函数形式作用场，也就是单位作用场引起的极 化，对于任意形式的作用场 ，例如简谐形式的作用场， 引起的极化可以表示为,(2.37),(2.37),由 得,(2.38),(2.39a),(2.39b),式(2.38)的傅里叶反变换为,(2.40),讨论： 1

4、. 若t 0，函数（）-1在的下半复平面有奇异点，积分 不等于零。,定义复变函数 根据复变函数理论可得 采取如图2.11所示的积分线路，容易得到,(2.41),（2.42）,(2.44),2.4.2 极化率和介电系数的KK变换,其中科西积分的主值定义为,(2.44),将 ，有,(2.45),利用 的奇偶性以及积分换域公式， 最后得到极化率和电介函数KK关系,(2.46),(2.47),利用光电导谱r()代替i()谱更为方便，由 i()=r()0得,(2.48),图2.12 （a）Te（碲）晶体的光电导谱 ,(b)虚线为计算的r() 谱，实线为测得的r() 谱,r(),r(),r(),r(),r

5、(),r(),r(),r(),r(),Te（碲）晶体的光电导谱如图2.12(a)所示，由(2.48)式表示 的KK关系，计算出r()谱以虚线示于图2.12(b)，同时给 出实验曲线。用波长代替频率，式(2.8)变为 对于多个吸收峰的情况，设每个吸收峰的平均波长为j， 它们对光学响应的贡献可以看成r(j)积分强度的加权 求和，于是上述积分化为,(2.49),(2.50),(2.50)式也叫做四参量 公式 。 对于长波区，可进一步简化为,(2.51),对NaCl晶体，在可见光区有4个吸收峰，每个吸收峰的波长 j与吸收强度Aj分别为,j 0.0347 0.1085 0.1584 61.67(m) A

6、j 0.052 1.005 0.271 3.535,利用公式(2.51)可以得到静态介电常数(0)=5.86， 用其它实验方法测量得(0)=5.90。 对于金属中自由电子，固有频率0=0,公式(2.47)需要加以 修正。因为当0=0时，响应函数 在=0时，响应函数 在= 0处有奇点。要解决此问题，可定义一个新函数,(2.52),其中函数T（）在上半复平面包括实轴是解析的，而且当 时收敛，因此可以对其直接使用KK公式，得,(2.53a),进一步可以得到,(2.53b),另一种处理办法是将i()的零点留数0/0从中扣除， 可以得到(2.53b)式。其中0=Ne2/m为静态光电导。, n 同一样，在

7、的上半复平面无极点。 当时 ， ，因而 ， 是收敛的；其次n的奇偶关系也与相同。因此可以直接 写出 n 和之间的KK关系,2.4.3 折射率和消光系数的KK变换,（2.54）,由吸收系数=4/，可以将上述关系式化为更简洁的形式：,(2.55),假设一个以t和x为变数的平面电磁波，一般可以表示为,(2.56),由因果关系，若t 0, =0; 另一方面，当t 0, 由(2.56)式得,(2.57),如果0 t xn / c，则,(2.58),因为假设nx /c t 0，在这种情况下，式(2.56)积分仍在 的上半复平面进行，则 = 0。,反射法包括两类：一是通过两个参数的独立测量，来确定n 和 这

8、两未知数；二是通过一个参数在一个尽可能宽领域 内的测量，然后通过积分得到另一个参数以及其它所有光 学常数。 讨论： 在正入射下的振幅反射系数为,(2.59),其中r是的解析函数，除非n = nr + i = -1，但这不可能， 因为根据定义n0,0。,2.4.4 反射系数的KK变换,因为 ， 所以 r 0。, 没有 , 则没有 , 因此 r 是一个线性响应函数， 满 足 KK 变换的条件。 反射光谱R（）易测，r0()=R()1/2 。 如果 能通过 r0变换得到，测R（）, 即可求 t 和 n , 等。 分析lnr = lnr + i 的解析性。 因r（）解析，ln r（）无极点。 当 ，积

9、分不为0，KK关 系不能直接套用。,定义新函数,(2.60),利用留数积分公式，采用如图2.11所示的积分环路C， =i,=r，可以得到,(2.61),由 ，可知 lnr(i) 为实数；由,得 lnrr() 和 lnr0() 是偶函数，而() 为奇函数，因此得,(2.62a),(2.62b),n()，() 与 r0()，( ) 之间的关系为,(2.63),图2.13（a）给出垂直入射下InP半导体的反射光谱，利用KK 关系得到的n()，()的色散关系示于图2.13(b)。,利用分步积分的公式 以及,(2.64),(2.65),2.5 微分形式的KK变换,将积分形式的KK化为微分形式,(2.66

10、),(2.67),(2.68),微分因子说明，光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率 微商极大处，对应光学响应函数另一分量色散曲线上的峰； 反之，光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率商极小处， 对应光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率微商极小处， 对应光学响应函数另一分量色散曲线上的谷。 对于直接光学跃迁的半导体， 由此得出r()应在带隙Eg处出现峰；从式(2.67)表示的n ()， a ()微分KK变换，可以预计，在材料的吸收边a ()的斜率 极大处，折射率 n 应该出现峰；同理，n ()的峰和谷应出现 在()上升沿和下降沿的斜率极大处,对于离子晶体，反谱R（）具有类似 于方波的简单 结

11、构，从 和R 的微分KK庆系可以得出，对 的 贡献主要由于d R d 0 的部分。 光学响应函数求和法则指的是光学响应函数在全频域 的积分等于某个定数。 2.61 高频下光学响应函数的求和法则 当所涉及的频率0,时，可以将()进 行泰勒级数展开，其形式为,2.6 光学响应函数的求和法则,(2.69),(2.70),固有频率0，根据Lorentz理论，代表束缚作用力-m02 ， 和阻尼作用力-m ，可以忽略不计。在这种情况下，等离子体 振荡决定了介电函数的实部，在介电函数的虚部中不包含与3反 比项，即在一级近似下，可将介电函数的虚部i()作为0级小量 处理 。,因此，在高频下主宰体系的光学响应，

12、不是与位移 成正比 的束缚力，也非与速度 /dt 成正比的阴尼力，而是与体系 的总电子数 见式(1.41)有关的惯性作用。 在高频下,(2.71a),(2.71b),结合介电响应函数在高频下的渐近行为(2.69)和(2.70)式，并 取一级近似，可以得到介电响应函数的求和法则,(2.72a),(2.72b),(2.72c),其中式(2.72a)也叫做振子强度(f)求和法则，式(2.72b)和(2.72c) 叫做惯性求和法则，式(2.72b)适合于半导体和绝缘体的束缚 电子，式(2.72c)适应于金属中的自由电子。振子强度求和法 则也叫做耗散求和法则。,如果体系有 j 种谐振子参与某一光学过程，其谐振子强 度可以表示为,(2.73),定义：neff 为每个原子在光学过程中实际参与的有效电子数， 已知：材料的原子量和密度分别为M和，则参与不学过程 的电子密度 从振子强度求和法则可以得到参与光学过程的有效电子数为,(2.74),图2.14表示 Si、Ge和Al的效电子数与光子能量的关系。,同理，可以导出折射率及其它光学响应函数的求和法则：,(2.75a),(2.75b),(2.76),(2.77),由K