数列综合问题选讲

1、数列的小结与复习 教学目标(一)知识点 数列，等差数列，等差数列前项的和，等比数列，等比数列前项的和，研究性课题(分期付款中的有关计算).(二)能力训练要求1.理解数列的概念，能用函数的观点认识数列，了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项，会根据数列的递推公式写出数列的前几项.2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前项的和公式，并能运用公式解决一些问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前项的和公式，并能运用公式解决一些问题.(三)德育渗透目标1.提高学生的逻辑推理能力.2.增强学生的应用意识.3.提高分析问题、解决问题的能力.教学重

2、点 突出本章重、难点内容.教学难点 通过例题分析突出等差数列与等比数列的区别与联系.教学方法 自学辅导法在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、公式的熟悉程度.教学过程【复习回顾】前面一段时间，我们一起学习了数列的有关知识，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法这一节我们对本章进行小结与复习.首先我们来看数列知识的网络结构1.本章知识网络结构2.本章重点及难点数列的概念数列就是按一定的次序排列着的一列数，从函数观点来看，数列是定义在或其子集（）上的函数，当自变量从开始依次取正整数时所对应的一列函数值：，按照一定标准，可对数列进行适当的分类.数列可用

3、三种方法来表示：列表法、解析法、图象法.通项公式和递推公式是给出一个数列的两种重要方法数列的前项和，与的关系可表示为等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，用表示.用数学式子表示就是（）.通项公式：.前项和公式：.等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数，就称这个数列为等比数列，这个常数叫做公比，用表示.用数学式子表示就是（）.通项公式. 前项和公式：.思想方法本章涉及到的主要思想方法有：函数与方程的思想、转化与化归的思想、逻辑划分的思想、数形结合的思想即整体思想.【例题分析】下面我们通过对

4、例题的分析来进一步熟悉数列知识的应用.例1 求证：在中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为：.证明： (1)必要性假定直角三角形三条边的长成等差数列，将这三条边的长从小到大排列，则可表示为，这里，.由勾股定理得.，从而知三边长依次为，.因此这三条边的长的比是：.(2)充分性如果直角三角形三条边的长的比为：，那么可设（），因为，即，成等差数列.综上所述，命题得证.例2 已知数列是由正数组成的等比数列，求证：.证法一 设的公比为，则.证法二 设的公比为，则，是一个与无关的常数，数列，是等差数列，例3 已知数列中，是它的前项和，并且，（1）设，求证数列是等比数列；（2）设，求证数列是等差数列

5、.证明：（1） ， 两式相减得：即： 即是公比为2的等比数列 （2） 将代入： 成等差数列.例4 设数列满足，（），其中、为实数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，（），求数列的前项和.解：（1）法一：，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，.当时，也满足上式，数列的通项公式是（）. 法二：由题设得：当时，数列的通项公式是（）. （2）由（1）得，于是，两式相减得到.例5 某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设此池塘里原来的鱼储存量为.（1）写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第年与第年（，）的产量之间的

6、关系式（不要求证明）.（2）由于存在池塘老化及环境污染因素，估计每年将损失年产量的10%。照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高的？若是请给出证明；若不是，请说明从第几年起，产量将不如上年？（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）解：（1）不妨设改进技术后第年的产量为，则，.以此（，）.（2）设遭损失后第年的产量为，则，（）.令即，即，即，.从第6年起，产量将不如上一年.【课堂练习】1.设数列为等差数列，且，试求.解：，由已知，.说明：本题只给了一个条件，无法同时求出和，从而数列不能完全确定.因此不能通过一般的先求出再求，但根据目标，并由项的序号的特殊性联想到等差数列的性质：

7、如果，且，那么，则可以从整体上得到的值，这样就变得可求了.所以，等差数列或等比数列中，一方面要注意抓好基本量，或，另一方面还要注意方程思想的运用，同时整体代入的思想也应重视.2.设数列为等比数列，（），数列的前项和为，且，又最大，求数列的公比的取值范围.解：在等比数列中，又（），（），即是一个以为首项，为公比的等比数列，又，最大.，即，解之得,.说明：（1）等差数列和等比数列是紧密联系的，而且也是可以相互转化的.本题由等比数列转化为等差数列，又进一步讨论等差数列的前项和的最值，把且最大的意义化为讨论数列各项本身的正负问题.（2）求参数的值，就需要解方程；求参数的取值范围，往往要解不等式.3.已

8、知等比数列和等差数列中，；数列满足，且它的前四项依次为，求数列的前项和.分析：由于，即由和构成，因此，考虑通过及的前项和来求前项和.解：设等比数列的首项是，公比为，等差数列的公差为.，,，得，又由条件有：，.说明：在研究数列问题时，应注意它们之间的关系链的分析，抓好这个关键，突出转化的思想，化陌生为熟悉，使问题的转化朝着有利的方面进行.4.求和：（1）；（2）；（3）；（4）求数列，的前项和.解：（1）这是一个以为首项，为公比的等比数列的求和问题，其项数为.（2）.（3），.（4）解：设数列，为，则.说明：对于数列的求和问题，应掌握的常用方法有如下三种：（1）公式法：对于等差数列和等比数列的求

9、和可运用其前项和公式.（2）转化法：有的数列既不是等差数列也不是等比数列，但通过适当的变换可以化成等差数列或等比数列的求和问题来求解.“拆项分解法”、“错位相减法”等.（3）裂项法：通过把通项分裂成两项之差，从而造成很多项相消的局面.【课后作业】1. 数列的前项和（），问是什么数列？并说明理由.解：当时，即，数列是等比数列，且.2.在数列中，若以，为系数的二次方程都有根、，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求通项.解：是二次方程，.由韦达定理可知，代入得到，于是3.设是数列的前项和，且，数列的通项公式为（）.（1）求数列的通项公式；（2）将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个

10、新数列求数列的通项公式.解：（1）当时，即.，即，数列是等比数列，且.（2）经计算得到，两数列的第一个公共项是，即.设，即，于是，显然不在数列中，又，而显然是两个数列的公共项，数列是等比数列，且.4.已知数列、，其中、是等比数列，成等差数列，（），且.（1）假设也是等比数列，且，求，；（2）证明：数列、的公比相等是数列成等比数列的充要条件.解：(1)设数列、的公比分别为，.因为，成等差数列，所以，又因为是等比数列，所以即，即.，即，于是，.于是，.(2) 数列成等比数列.数列的小结与复习（二）【例题精讲】例1 选择题（1）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( D ). .（2）设是公比

11、为正数的等比数列，若=1,则数列前7项的和为（ C ）A.63B.64C.127D.128（3）已知是等比数列，则=（C）A.16（） B.16（） C.（） D.（）（4）设等比数列的公比，前项和为，则（ C ）A. 2B. 4C. D. 例2 设数列的前项和为已知，（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求的取值范围解：（1）依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，（2）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是 例3 设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式解：由题意知，且，两式相减得即 （1）当时，由知于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列.（2

12、）当时，由（1）知，即当时，由得因此得.例4 在数列中，且（，）（1）设（），证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项解：（1）证明：由题设（），得，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列（2）由（1），（）将以上各式相加，得（）所以当时，.上式对显然成立（3）由（2），当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另一方面，由可得，所以对任意的，是与的等差中项例5 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：，记表中的第一列数， 构成的数列为,. 为数列的前项和，且满足（）.（1）证明数列

13、成等差数列，并求数列的通项公式；（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第()行所有项和的和.解：(1)：由已知，又，所以，即，所以.又所以数列是首项为1，公差为的等差数列.由上可知，即.所以，当时，即（2）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为,且.因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，故在表中第13行第三列，因此.又，所以.记表中第()行所有项的和为，则（）.例6 设，是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：当时，求的数值；求的所有可能值；解：当 时，中不

14、可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出若删去，则有，即化简得，因为，所以；若删去，则有，即，故得综上或4当时， 中同样不可能删去首项或末项若删去，则有，即故得=6 ；若删去，则，即化简得，因为，所以也不能删去；若删去，则有，即故得= 2 当时，不存在这样的等差数列事实上，数列， 中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与 矛盾；若删去， 中任意一个，则必有，这与 矛盾综上所述，或例7 已知数列和满足：,，其中为实数，为正整数.（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和.是

15、否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即，矛盾.所以不是等比数列.(2)解：因为=.又,所以当，(),此时不是等比数列：当时，,由上可知，().故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.(3)由（2）知，当,不满足题目要求.，故知，于是可得要使对任意正整数成立，即() 得，令，则当为正奇数时，；当为正偶数时，的最大值为,的最小值为 ,于是，由式得当时，由，不存在实数满足题目要求；当存在实数，使得对任意正整数,都有,且的取值范围是.【随堂练习】1.设，求证： 证： ， 2. 设是等差数列，是正项等比数列，且

16、，（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（2），得，3. 已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.解：设的公差为，由，知，（）（1）因为，所以，所以（2），由，所以，解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为（），设数列中的某一项（）现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，所以，若，则，