立体几何大题—利用等体积解题

1、. 立体几何大题中有关体积的求法1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 2、求点到平面的距离通常有四种方法 (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 (4)向量法例题分析：例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点 求 (1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离 例2、如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.BACDOGH例3、已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD

2、所成的角为45,AB=a,求 (1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1EAC的体积 参考答案：例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点 求 (1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离 解 (1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBEQE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b, AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距离为 (2)解法一 平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQ

3、E中，作AHQE，H为垂足BDAE,BDQE,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离 在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD的距离为解法二 设点A到平面QBD的距离为h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQh= 例2 如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.BACDOGH思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程：解析一 平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点O平面的距离,，平面,又平面平面，两个平面的交线是,作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离.在中，.又.即BD到平面的

4、距离等于.解析二 平面，上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离.设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则 , 即BD到平面的距离等于.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.例3、已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45,AB=a,求 (1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1EAC的体积 解 (1)连结DB交AC于O，连结EO，底面ABCD是正方形DOAC，又ED面ABCDEOAC，即EOD=45又DO=a，AC=a，EO=a，SEAC=a(2)A1A底面ABCD，A1AAC，又A1AA1B1A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EOBD1，O为BD中点，D1B=2EO=2a