4-2 向量组的线性相关性_第1页
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文档简介

1、第二节 向量组的线性相关性,因为有 ，即,一、线性相关性的概念,因为只有当,所以向量组 E 线性无关.,从而，我们可以得出结论：,向量组 A: a1 , a2 , am 线性相 关的充分必要条件是齐次线性方程组,有非零解.,注意,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,二、线性相关性的判定,因为有,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,定理2,例 向量组,因为矩阵 A = ( a1 , a2 , a3 ) 的行列式 |A| 0, 所以 R (A ) = 3 . 由定理 2知，向量组 a1

2、, a2 , a3 是线性无关的.,例增1 讨论向量组,解 先求矩阵（a1 , a2 , a3 ) 的秩.由,的线性相关性.,知 R (a1 , a2 , a3) = 2 3, 所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.,解,例5,分析,证,定理3,证明：已知,因为,所以，,证毕。,解 因为,知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2, 所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.,根据定理 3(1)可知，向量组 a1 , a2 , a3 , a4 也线性相关.,例 13 已知向量组,线性无关，,讨论 的线性相关性。,由定理 3(3)可知向量组,线性相关,根据定理 3(4)可得,

3、能由向量组,线性表示，且表示方法唯一,说明,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）,. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理（难点）,四、小结,思考题,证明（）、（）略,（）充分性,必要性,思考题解答,书后习题四,若有不全为0的数,使,成立,则,线性相关,亦线性相关.,8(2)、举例说明下列命题是错误的：,解：已知有不全为零的数,使,上式可化为,选取,为单位向量，所以,均线性无关,这样，尽管前式成立。而由于其中,和,因此，上述命题是错误的。,8(4)、举例说明下列命题是错误的：,若 和,均线性相关,则有不全为0的数, 使,同时成立.,解：任意设,则,与题设矛盾。所以上述命题是错误的。,习题四 9、设,证明向量组,线性相关.,;,证：由已知条件得,10设,且向量

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