博弈论—不完全信息静态博弈

1、博 弈 论,Game Theory,江西财经大学数学与管理工程系 华长生 H江西南昌（330013）,2,华长生制作,第四章 不完全信息静态博弈,1. 不完全信息博弈与Bayes纳什均衡 2. Bayes纳什均衡应用举例 3. Bayes博弈与混合战略均衡,3,华长生制作,“不完全信息”是指每个参与人对所有其他参与人的特征 (战略空间、支付函数等)不是完全的了解的信息;,“静态”是指所有参与人不分先后同时选择行动;,“不完全信息静态博弈”就是指存在参与人对所有其他参 与人的特征(战略空间、支付函数等)不是完全了解的前提下, 不分先后选择行动的博弈.,4,华长生制作,

2、1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,1.1 不完全信息博弈,在很多博弈中,一个参与人对其他参与人的支付函数不 了解,不知道对方的爱好、效用等等.如,在与一个陌生人打交道时不知道对方的特征; 在二手车市场,不知道汽车的质量的高低; 在进入一个市场时不知道在位者的成本的高低; 在雇用一个员工时不知道员工是否会努力; 在选课时不知道老师是否尽心尽责; 不知道对方成本情况下的Cournot模型和Bertrand模型; 投标; 暗标拍卖,不完全信息博弈或Bayes博弈,5,华长生制作,市场进入博弈:,一个潜在的进入者考虑是否进入一个新的产业,但是不 知道在位者的生产成本,从而也不知道在位者是决定默许

3、还 是斗争,但是在位者知道进入者的成本.,进入者有关在位者的信息是不完全的.,假设在位者的成本函数有两种可能:高成本和低成本,在 两种成本情况下,不同战略组合时双方的支付矩阵为:,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,6,华长生制作,高成本情形:如果进入者进入,在位者将选择默许 纳什均衡为(进入,默许)和(不进入,斗争),低成本情形:如果进入者进入,在位者将选择斗争 纳什均衡为(不进入,斗争),假定:,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,7,华长生制作,进入者似乎在与两个不同的在位者进行博弈:一个高成 本的在位者和一个低成本的在位者.,如果在位者有n中成本情形,或成本连续分布,结果将会如

4、 何?这种问题在海萨尼(1967年)之前的博弈中是无法解决的. 1967年, 德国著名经济学家海萨尼引入虚拟参与人“自然”, 创 建了著名的海萨尼转换.,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,8,华长生制作,1.2 海萨尼(Harsanyi)转换,在前述进入者不完全信息的市场进入博弈中,如果引入 一个虚拟的参与人“自然”,由“自然”首先选择在位者的成本 类型，但进入者不知道“自然”的选择,然后进入者选择是否 进入,在位者决定是默许还是斗争.此时的博弈如图:,不完全信息博弈化 为了不完美信息博 弈!,通过引入虚拟参与 人“自然”将不完全 博弈转化为不完美 博弈的方法称为海 萨尼(Harsany

5、i)转换,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,9,华长生制作,在市场进入博弈中,自然选择的是在位者的成本的高低 ,但 在不完全信息博弈中, 不完全的信息可能有各种各样: 参与人的 战略空间、信息集、支付函数等等.,类型:一个参与人拥有的所有个人信息.,个人信息:参与人自己知道的不是共同知识的信息.,在市场进入博弈中,在位者有两种类型:高成本和低成本;,有时进入者甚至也可能有两种类型: 知道在位者成本高低、不知道在位者成本高低;,注意:某参与人的类型是指其他参与人不知道的而自己 知道的信息,但假定其他参与人知道类型的分布.,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,10,华长生制作,1.不完全

6、信息博弈与Bayes纳什均衡,11,华长生制作,多数情况下,我们考虑的参与人类型都是相互独立的,Harsanyi转换的前提:,必须知道参与人所有类型的概率分布 (可由分析、假定、经验确定),1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,12,华长生制作,1.3 不完全信息静态博弈(静态Bayes博弈)及其战略式表述,不完全信息静态博弈也称为静态Bayes博弈.,完全信息静态博弈的战略式表述为:,在有n个参与人的博弈中,战略式表述必须给出以下三点:,1.博弈中所有参与人的集合:,2.每个参与人的战略空间:,3.每一个参与人的支付函数:,不完全信息博弈(至少有一个参与人具有多种类型) 静态博弈(所有参与

7、人同时行动),1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,13,华长生制作,那么不完全信息静态博弈能否使用战略式表述呢? 三个条件如何给定?,有n个参与人的不完全信息静态博弈同样有如下特点:,1.博弈中所有参与人同时行动,参与人集合表示为:,不完全信息静态博弈的战略(行动)空间是类型依存的,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,14,华长生制作,综合以上结果,给出不完全信息静态博弈的战略式表述的定义,不完全信息静态博弈的支付函数也是类型依存的,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,15,华长生制作,静态Bayes博弈的行动规则:,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,16,华长生制作,静态B

8、ayes博弈支付函数的表达:,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,17,华长生制作,1.4 Bayes纳什均衡,1.不完全信息博弈与Bayes纳什均衡,18,华长生制作,2. Bayes纳什均衡应用举例,2.1 市场进入博弈,在前面介绍的市场进入博弈中假定了进入者不清楚在位 者的成本的高低 ,如图; 如果再假定在位者也不知道进入者的 强弱,此时双方都具有两种类型.假设各种支付如图:,进入者类型:(强,弱),在位者类型:(高成本,第成本),19,华长生制作,如果双方都知道自己的类型,不知道对方的类型,但在自 己的给定类型下,知道对方的类型分布,设,进入者(强时),进入者(弱时),在位者(高成

9、本时),在位者(低成本时),即,即,2.Bayes纳什均衡应用举例,20,华长生制作,如果自然选择类型组合为(强,高成本),对于进入者知道 自己是“强”类型,但不知在位者类型,此时进入者的期望支付 如下:,支付矩阵,0,0,36,-10,2.Bayes纳什均衡应用举例,21,华长生制作,在位者知道自己的类型为高成本,但不知道进入者的类型, 此时在位者的期望支付如下:,在位者 高成本情况期望支付 默许 斗争,0,300,54,300,此时,市场进入博弈的Bayes纳什均衡为,(进入,默许)和(不进入,斗争),2.Bayes纳什均衡应用举例,22,华长生制作,对于其余的类型组合,分析的方法是一致的

10、.其余类型组合为:,(强,低成本), (弱,高成本), (弱,低成本),请选择其中一种类型组合进行分析,2.Bayes纳什均衡应用举例,23,华长生制作,2.2 别人的信封总是更诱人,现有两个信封,每一个都装着一定数量的钱,具体数目可 能是5$、 10$、20$、40$、80$、或160$,而且大家都知道这 一点,同时大家还知道,一个信封装的钱是另一个信封的两倍. 现在我们将这两个信封打乱次序,一个分给阿里,一个给巴巴. 阿里和巴巴将信封打开后(里面的钱的数量只有打开信封的 人知道),得到一个交换信封的机会.假如双方都想交换, 我们 就让他们交换.结果会如何?,参与人:阿里和巴巴,双方战略空间

11、:交换,不换,首先自然选择双方的类型:信封中钱的多少,我们假设阿 里打开自己的信封发现里面装了20$,但是他不知道巴巴的信 封里有多少钱,只知道不是10$就是40$,机会各占50%.,首先进行简单的分析:,2.Bayes纳什均衡应用举例,24,华长生制作,两人如果交换信封,阿里的期望收益等于 (10+40)50%=25$20$,因此阿里会选择交换信封.,同样,如果巴巴打开信封发现里面装了40$,但是他不知道 阿里的信封里有多少钱,只知道不是20就是80,机会各占50%. 如果两人交换信封,巴巴的期望收益为 (20+80)50%=50$40$,因此巴巴也会愿意交换信封.,虽然双方都愿意交换信封,

12、但交换信封不可能使双方的结 果都得到改善.推理在哪里出了问题?,得到一个似乎合理的战略组合(交换,交换).,但战略组合(交换,交换)肯定不是Bayes纳什均衡.,2.Bayes纳什均衡应用举例,25,华长生制作,我们将自然的选择类型组合更改如下:,(阿里160$,巴巴80$),类型组合,Bayes纳什均衡,(阿里不交换,巴巴不交换),(阿里40$,巴巴80$),(阿里不交换,巴巴不交换),(阿里不交换,巴巴不交换),(阿里不交换,巴巴不交换),(阿里不交换,巴巴交换),(阿里40$,巴巴20$),(阿里10$,巴巴20$),(阿里10$,巴巴5$),因此该博弈的Bayes纳什均衡为(不交换,不

13、交换). 均衡的结果是不会交换成功,2.Bayes纳什均衡应用举例,26,华长生制作,2.3 暗标拍卖,拍卖是产品的营销方式之一.拍卖种类繁多:现场拍卖、 暗标拍卖、维克利拍卖等等. 拍卖也是最公平的营销方式之 一,既不会将价格强加给消费者,也可以避免中介与购买者的 串通.与拍卖类似的方式是招标.,假设你有一件艺术品想脱手,你会怎么办?你可以委托中 介机构,也可以拍卖.,在某拍卖会上有一件艺术品要拍卖,采取的是暗标方式. 而你是一个竞拍者,你的成本就是你竞拍的价格,也就是你的 出价,你的收益就是你对该艺术品的估价,假定你对该艺术品 的估价为1000万元,那么你愿意出价多少?,在出价时你不知道其

14、他竞拍者对该拍品的估价, 更不知 道他们的出价,这是一个静态Bayes博弈.,2.Bayes纳什均衡应用举例,27,华长生制作,假如你认为其他竞拍者的估价为在500万元至1500万之 间,并且呈均匀分布,即如果以100万元为一个区间,其他竞拍 者的估价落在任意一个区间的概率为1/10.,你永远也不会开出一个高于你的估价的价格,比如1100 万元,如果没有胜出,当然没有问题,你的收益为0,但如果你胜 出,你的收益将是-100万元. 那么开出一个低于你估价的价格又如何?首先假定其他 竞拍者都是诚实开价,如果你开价为900万元, 从概率角度分 析,10次机会中可能有5次遇到其他竞拍者的出价高于100

15、0万 元, 你压低开价的做法, 此时你将不会胜出; 同样10次机会中 可能有4次遇到其他竞拍者出价低于900 万元,此时你将会胜 出,压价竞拍的收益将是100万元; 同样10次机会中也有可能 有1次遇到其他竞拍者出价在 9001000万元之间, 此时你的 900万元的开价将使你痛失该艺术品.,2.Bayes纳什均衡应用举例,28,华长生制作,你如果开价900万元,你的期望收益为:,你如果开价1000万元,你的期望收益为:,2.Bayes纳什均衡应用举例,29,华长生制作,由一阶条件,因此,当你认为该艺术品对你而言价值1000万元,而你认为 其他参与人(竞拍人)的估价服从500,1500上均匀分

16、布时,你就 应该出价750万元,此时你的期望收益是最高的.,最后开价取决于你对其他竞拍者估价的认识,思考:,1.如果拍卖改为维克利拍卖,结果会如何?,2.将拍卖改为招标,你能作出类似的分析吗?另外,招标 有那些好处?,2.Bayes纳什均衡应用举例,30,华长生制作,2.4 不完全信息的Cournot模型,在完全信息Cournot寡头模型(产量)中, 假定了两个寡头都 生产同样的产品,具有同样的逆需求函数,具有不同的生产成本, 但双方都知道对方的成本函数. 但是一个企业的生产成本是企 业的核心机密,一般是不会让竞争对手获悉的.在这种情况下,企 业又如何制定自己的产量?,由于竞争双方不知道对方的

17、生产成本,因此成本函数就是 参与人的类型,如果要求双方同时选择产量,那么这就是一个静 态Bayes博弈.,2.Bayes纳什均衡应用举例,31,华长生制作,由一阶条件,2.Bayes纳什均衡应用举例,32,华长生制作,得到寡头2的两个可能的反应函数,但寡头1不知道寡头2的成本类型,因此只能得到期望利润,由一阶条件,得反应函数,2.Bayes纳什均衡应用举例,33,华长生制作,2.Bayes纳什均衡应用举例,如果寡头2是高成本的,Bayes纳什均衡为,如果寡头2是低成本的,Bayes纳什均衡为,34,华长生制作,2.Bayes纳什均衡应用举例,35,华长生制作,3. Bayes博弈与混合战略均衡

18、,3.1 实例一：抓钱博弈,桌子边坐着俩人，桌上有1$; 若俩人都伸手去抓，每人罚1$; 若俩人都不抓，俩人什么都得不到； 若只有一人去抓，抓的人获得该1$,类似的博弈有进入博弈、斗鸡博弈等,抓钱博弈的纯战略Nash均衡为：,（抓，不抓）和（不抓，抓）,即一人抓，另外一人不抓,还有别的 Nash均衡吗？,还有一个混合战略Nash均衡：均以0.5的概率选择抓,36,华长生制作,将抓钱博弈的支付函数作一个调整：,4、其他规则不变,完全信息的抓钱博弈显然变成了不完全信息静态博弈,37,华长生制作,Smith 和John都是多类型的参与人，,考虑纯战略：,那么，Smith 选择抓的概率为,Smith

19、选择不抓的概率为,John选择抓的期望支付为,38,华长生制作,John选择不抓的期望支付为,显然，抓钱博弈对Smith和John是对称的,故有,Bayes纳什均衡为,39,华长生制作,因此Smith 认为John选择抓与不抓的概率各为0.5,同样John认为Smith选择抓与不抓的概率各为0.5,即Smith和John在采用混合战略,完全信息静态博弈的混合战略纳什均衡是 不完全信息静态博弈Bayes纳什均衡的极限,40,华长生制作,3.2 实例二：性别战博弈,性别战1为完全信息静态博弈,纯战略纳什均衡为,(足球,足球)，(芭蕾,芭蕾),混合战略纳什均衡为,男方以2/3的概率选足球 女方以2/3的概率选芭蕾,再考虑性别战博弈(右图),41,华长生制作,类似于抓钱博弈，有,极限状