控制工程基础_黄安贻_第五章频率分析法.ppt

1、控制工程基础频域分析法,测控技术与仪器系 黄安贻,第五章：控制系统的频域分析,在无计算机的年代，高阶微分方程求特征根困难； 系统响应性能不满足工程要求时，不容易知道如何调整系统； 系统无法解析建模时，能不能研究系统性能？如何研究系统性能？,引言：时域分析的局限性,5.1 频率响应和频率特性,频率特性是控制理论最基本的概念之一,一 非周期函数(信号)的谐波分析,1.周期函数和傅立叶级数,称为第n次谐波频率，基波频率的整数倍；,T称为周期，,周期函数为,满足狄里 赫利条件：,在一个周期内只有有限个第一类间断点,在一个周期内只有有限个极值点。,周期函数可分解为傅立叶级数,

2、称为基波频率或频率间隔；,非周期函数(信号)的谐波分析,第n次谐波幅值,第n次谐波相位,傅立叶级数亦可写成,可分解为：平均值+谐波分量之和。,结论,非周期函数(信号)的谐波分析,非周期函数可看成是周期为无穷大的周期函数！,非周期函数,谐波的次数n，再用n来表示谐波次数已无意义，因此可改用来表示各次谐波的角频率，于是有,相邻两个谐波频率无限接近，,当,时，有,非周期函数(信号)的谐波分析,非周期函数含有一切频率的谐波分量； 由于周期无穷大，这些谐波分量是在-t的时刻存在的，因此这些谐波分量是稳态的正弦波。 可以用系统对正弦输入的稳态响应来研究系统的瞬态性能。因为一个特定时刻输入的非周期函数可以展

3、成无穷多个稳态的正弦波（恒值分量可视为频率为0时的谐波），所以也就可以用稳态的正弦波信号作为输入来研究系统的特性，改变正弦波的频率，也就知道了系统对非周期函数的响应特性。,结论,二 频率响应的概念,当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系统输出的稳态分量为同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。（稳定的系统对正弦输入的稳态响应）。,实例：RC滤波网络,则系统输出为,设输入信号为,求出待定系数，拉氏逆变换、整理后有,瞬态响应，随时间增加会衰减为0,稳态响应,频率响应的特点,频率响应 的特点,稳态输出与输入相比，都是同频率的正弦函数， 但幅值不同，相位不同。,稳态输出的幅值为输入幅值的一个相应的

4、倍数；,相位比输入相位滞后一个角度。,幅值比,它是频率的函数， 称为幅频特性；,相位差,它是频率的函数， 称为相频特性。,结论,幅值比、相位差随频率变化 频率响应的这种特性，用频率特性描述。,频率响应：系统对正弦信号的稳态响应。,Xi=Aisint,Xo=Ao()sint+(),三 频率特性的定义,线性稳定系统在正弦信号作用下，当频率从零变化到无穷大时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性，称为频率特性。频率特性由幅频特性和相频特性两部分组成。,系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输人信号的幅值之比随输入频率的变比而变化的特性称为幅频特性，它描述了系统对输入信号幅值的放大、衰减特性。,系

5、统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频特性，它描述了系统输出信号相位对输入信号相位的超前、迟后特性。,幅频特性,相频特性,四 频率特性的求取方法,注意复数的运算： 两个复数积或商的模等于两个复数的模的积或商； 两个复数积或商的相位等于两个复数的相位的和或差。,实频特性,虚频特性,频率特性的求取举例,传递函数和频率特性为,幅频特性,相频特性,若输入为:,则稳态输出为:,求系统的稳态输出举例,例：已知系统传递函数和输入，求该系统的稳态输出。,解：求稳态输出，首先必须求得幅频特性和相频特性。,求频率特性,求稳态输出,五 频率特性的物理意义,表明系统跟踪、

6、复现不同频率 信号的能力。当频率低时，系统 能正确响应、跟踪、复现输入信 号；当频率高时，系统输出幅值 衰减近似为0，相位严重滞后， 系统不能跟踪、复现输入。,系统的频率特性随频率而变化的根本原因：系统有蓄能 元件、有惯性，对频率高的输入，系统来不及响应。,系统的频率特性是系统的固有特性，取决于系统结构 和参数。时间常数一旦确定，频率特性随之而定，幅频 特性、相频特性也就确定，时间常数越大，系统能跟踪 复现的信号的频率越低。控制系统具有低通滤波器特性,频率特性小结：,1线性定常系统在谐波输入作用下，其稳态响应是和输入量同频率的谐波函数，但其幅值和相位与输入量的幅值和相位不同，而且它们都是输入频

7、率的函数； 2系统这种对不同频率谐波输入的不同响应，完全取决于系统的固有特性。 3线性定常系统在谐波输入作用下，当频率从0变化到时，稳态输出与输入的幅值比、相位差随频率变化的特性，称为频率特性。它由幅频特性和相频特性两部分组成。 4系统的频率特性在已知传递函数时，可令sj求得，不知传递函数时可通过实验方法求得。 5频率响应分析方法是以输入信号的频率为变量，在频率域内研究系统性能的一种常用工程方法。 6频率响应实际上是用研究系统稳态响应来研究系统的动态特性。 7频率法特别重视图解方法。,5.2 频率特性的图解方法,频率法特别重视图解方法,频率特性的主要图解方法,由于计算机的出现，作图已经变得很容

8、易了，但这些图解方法的重要性在于，其物理意义非常明确，使人们易于掌握系统的物理本质和动态特性。,一 频率特性的极坐标图,可用向量表示某一频率下的频率特性。 通常，将极坐标重合在直角坐标中，极点取直角坐标的原点，极坐标轴取直角坐标的实轴。 尽管频率特性可以分解为实频和虚频两部分，因此可以用实频和虚频在直角坐标中画出各频率下的对应的点，但尽量不要采用这种方法，而应采用矢径（幅频特性）和相角绘制。 表示频率特性的向量的矢端的轨迹称为幅相频率特性曲线，或奈奎斯特曲线。,设系统的频率特性为,1.Nyquist图的画法,频率特性的极坐标图,典型环节的极坐标图,积分环节,传递函数为,频率特性为,幅频特性和相

9、频特性分别为,积分环节和微分环节互为倒数,频率特性的极坐标图,可以证明，它是一个半圆。,惯性环节,惯性环节和 一阶微分环节 互为倒数,传递函数和频率特性为,频率特性的极坐标图,阻尼比较小时，振荡环节会出现谐振现象，此时的频率称为谐振频率，此时的幅值比称为谐振峰值。,振荡环节,传递函数为,频率特性为,幅频特性和相频特性分别为,频率特性的极坐标图,当环节在谐振频率处出现谐振峰值时，表示环节对谐振频率附近的谐波分量的放大能力特别强，输入信号中接近谐振频率的谐波分量被放得很大，在输出信号中这些谐波分量特别突出，因此，环节的阶跃响应有以谐振频率附近的频率进行振荡的倾向。,令,则谐振频率为,谐振峰值为：,

10、其他典型环节不再赘述。,二 频率特性的对数坐标图,对数幅频特性图中的横坐标也称为频率轴,采用对数分度,但标注频率的实际值,单位是rad/s;一个对数单位表示频率增加10倍,称为“10倍频程（dec）”。,对数坐标图的坐标系,对数幅频特性图中的纵坐标为L（）,表示对数幅频特性的函数值，线性分度，单位是分贝dB。对数相频特性的纵坐标表示相频特性的函数值,单位是度（）。 对数幅频特性坐标系：,积分与惯性环节的Bode图,低频线为0dB线;高频渐近线为过转折频率，斜率为-20 dB/dec的斜线。 其相频特性有,惯性环节,转折频率,积分环节Bode图特点：过（1，0dB）点，斜率为-20dB/dec。

11、,典型环节的对数坐标图,振荡环节的Bode图,幅频特性曲线的特点是：低频段为0dB线；高频渐近线为过转折频率，斜率为-40dB/dec的斜线。当阻尼比较小时，有谐振现象，谐振的大小与阻尼比有关。当阻尼比大于0.707后，对数幅频特性不出现谐振峰。 相频特性曲线的特点是：以（T，-90）的点为反斜对称。当趋向无穷大时，相位滞后180。,转折频率,Bode图叠加举例,比例环节 使其他环节 的对数幅频 特性曲线提 高或降低 20lgK(dB) 对相频特性 曲线则无 影响,Bode图叠加举例,叠加方法: 在转折频率 处增加相应 环节的高频 段的斜率。,开环对数频率特性的绘制,步骤： 将开环传递函数写成

12、典型环节的标准型式，即常数项必须化为1；（Bode form） 算出20lgK的分贝值； 按大小写出各环节的转折频率，并标注在频率轴上； 如果有积分环节，过（=1，L=20lgK）的这一点，作斜率为-20dB/dec的直线； 从低频段开始，每经过一个转折频率，将该环节高频段的斜率叠加到前面的斜线上。 绘出各环节的相频特性曲线，叠加得系统的相频特性曲线。,开环对数频率特性的绘制,绘制Bode图的坐标系,绘制典型环节的Bode图,确定转折频率 幅值交界频率 相位交界频率,开环对数频率特性的绘制,开环对数频率特性的绘制,开环对数频率特性的绘制,三 用Matlab绘制频率特性图(1),（一） Nyqu

13、ist图的绘制,直接调用 指令nyquist（num，den）绘制,num=2; den=1,1; nyquist(num,den); v=-1 2.2 -1.5 1.5; axis(v); grid on,用Matlab绘制频率特性图（2）,其它绘图语句（命令）,Nyquist(num, den, w) 计算指定频率时的实频和虚频特性值，可赋给有关变量或数组、矩阵。,plot(Re, Im) 根据已知的实频和虚频特性值绘图。,v=-x x y y; axis(v)自行确定坐标范围，仅能用于用底层绘图命令时。,实例请参阅教材P183 例5-7,用Matlab绘制频率特性图（3）,（二）Bode

14、图的绘制,直接调用 指令bode（num，den）绘制,num=2560 10240; den=1 10 80 128 0; bode(num,den) grid on,用Matlab绘制频率特性图（4）,其它绘图语句（命令）,w=logspace(a,b n)指定给定频率范围内采样点的个数； bode(num, den, w) 绘制指定频率时的bode图； (mag, pha,w)=bode(num, den, w) 指定幅值范围和相角范围。,num=2560 10240; den=1 10 80 128 0; w=logspace(-1,2,500); bode(num,den,w),5.

15、3 系统稳定性的频域分析,基本思想,用开环频率特性判断对应闭环系统的稳定性。,一 开环与相应闭环的关系,引入一个辅助 特征向量,F(s)将闭环与开环联系起来；,闭环极点数与开环极点数相同。,开环频率特性与F（j）的简单关系：仅实部相差实数1！,F(s)的零点就是闭环极点；,开环分母阶次总是大于分子阶次的。因此，闭环极点数与开环极点数相同。,二 映射定理幅角原理,设F(s)为一单值有理复变函数，它在s平面上的封闭曲线Cs内有P个极点和Z个零点。封闭曲线Cs不通过F(s)的任何零点和极点(F(s)是解析的)。在F(s)平面上，通过函数F(s)的映射，有一条封闭曲线CF与s平面上的封闭曲线Cs相对应

16、。当动点s沿Cs顺时钟运动一周时，它映射到F(s)平面上相应点的轨迹，沿CF顺时钟包围坐标原点的次数为,映射定理,k0，表示CF按顺时钟方向包围原点k次 k0，表示CF按逆时钟方向包围原点k次 k0，表示CF不包围原点。,CF曲线绕原点的圈数仅取决于曲线Cs所包围的P和Z，与曲线Cs形状无关；,映射定理的说明,映射定理 的说明,设,当s按顺时钟沿Cs运动一周时，F（s）的幅角增量为,幅角增量的大小与零点、极点在封闭曲线Cs内还是外有关，在封闭曲线Cs之外，每个零点和极点引起的幅角增量为零；在封闭曲线Cs之内，每个零点引起的幅角增量为-2，每个极点引起的幅角增量为+2。所以有：,2顺时钟旋转一周

17、。,则,三 Nyquist稳定判据,系统稳定的充分必要条件,闭环系统的特征方程全部具有负实部根。即W(s)在s平面的右半平面没有极点，亦即F(s)在s平面的右半平面没有零点(Z=0)。,Cs2为以原点为中心、半径无穷大的右半圆。,为了判断F(s)在s平面上没有右零点，可在s平面上作一条包围整个右半s平面的封闭曲线Cs，如右图示。,Cs1为整个虚轴；,于是，闭环系统稳定的充分必要条件是被Cs包围的右半s平面没有闭环特征根，即不包围F(s)的零点。因此闭环系统稳定的充分必要条件为 ：Z=0，k=P,闭环系统稳定的充分必要条件,当s点沿包围右半s平面的封闭曲线Cs移动一周时，通过F(s)函数映射到F

18、平面上的轨迹CF逆时钟包围原点的次数等于系统的开环右极点数。,闭环系统稳定的充分必要条件,即，Cs2的部分通过F(s)函数映射到F平面上为一个点（1，j0），该点称为特征点。,关于CF轨迹：,对应Cs1（整个虚轴）的部分,对应Cs2的部分,在s平面的Cs1上，有 s=j （=+）,在F平面上，有,在s平面的Cs2上，有,在F平面上，有,四 极坐标图与BODE图的对应,极坐标图上的单位圆相当于Bode图上的0分贝线。 极坐标图上的负实轴相当于Bode图上的-180线。,幅值交界频率(增益交界频率、开环截止频率),相位交界频率,两个重要的频率概念,五 对数判据Bode判据,所谓穿越的概念对于极坐标

19、图，是指G(j)H(j)曲线在负实轴1，段上的穿越。对于对数坐标图，是指G(j)H(j)曲线在180线上的穿越。 正穿越N+：相位增大；负穿越N：相位减小。,对数判据是乃氏判据在bode图中的应用,正、负穿越的概念,Bode判据,在开环对数坐标图上，在所有L()0的频段内，相频特性曲线穿越180线的次数N+N=P/2，则闭环系统稳定。P为开环右极点数。,Bode判据,开环稳定，即P=0时，幅值交界频率小于相位交界频率，则闭环系统稳定。,六 稳定裕量相对稳定性的度量,系统的临界 稳定状态,开环G(j)H(j)曲线经过（-1，j0）点时，闭环系统处于临界稳定状态。有,习惯上用相位裕度和幅值裕度来表

20、征开环幅相曲线接近临界点的程度，作为系统稳定程度的度量。,根据频率特性的物理意义，这表明稳态时输入信号中频率等于i的分量，经前向和反馈通路后，振幅不变，而相角迟后180，该分量负反馈到比较点后，相角又迟后180，回到前向通路的输入端时，振幅和相角都和原来一样，如上图所示。因此，若幅相曲线通过临界点，则稳态后系统输出端会出现等幅振荡信号。,幅值裕量和相位裕量,相位裕量,在幅值交界频率上，使系统达到临界稳定状态所需附加的相位滞后量。,幅值裕量Kg,在相位交界频率上，使开环幅值达到1所需放大的倍数，用Kg或GM表示。,5.4 系统稳态性能的频域分析,系统的稳态误差系数描述了系统减少或消除误差的能力，

21、而开环对数幅频特性低频段的形状与系统的稳态误差系数有关。因此，控制系统对给定的输入信号是否引起稳态误差，以及误差的大小，可以通过分析开环对数幅频特性低频段的形状来确定。,0型系统,当系统开环对数幅频特性低频段是水平线时，系统是静态有差系统，跟随阶跃输人信号时有稳态误差，误差大小与开环对数幅频特性低频段高度有关。,0型系统开环对数幅频特性在低频段是一条水平线，水平线的高度为,型系统,显然起始段的斜率为-20dB/dec； 当=1时，对数幅频特性的低频渐近线的高度为20 lgKv； 对数幅频特性的低频渐近线与0dB线的交点频率为1=Kv 当系统开环对数幅频特性起始段斜率为20dBdec时，系统为

22、I 型系统，为一阶无差系统，跟随斜坡输入时有固定的稳态误差，误差大小与低频渐近线在1时的高度有关，系统不能跟随抛物输入信号。,型系统开环对数幅频特性的低频渐近线为,或,对于型系统：,型系统,与 I型系统的分析方法类似，型系统的开环对数幅频特性低频渐近线为,当时，有,当时，有,显然：起始段的斜率为40dB/dec； 当=1时，对数幅频特性的低频渐近线的高度为20lgKa； 对数幅频特性的低频渐近线与0dB线的交点频率在数值上等于 。 当系统的开环对数幅频特性起始段斜率为40dB/dec时系统为型系统。在跟随阶跃和斜坡信号时无稳态误差，跟随抛物线输入信号时有固定稳态误差，其值与Ka大小有关，Ka可

23、由低频渐近线上求得。,5.5 系统动态性能的频域分析,系统的动态性能，在频域中分析时，可以用频域指标来评价。系统动态性能的频域指标分为闭环频域性能指标和开环频域性能指标。,频 域 指 标,闭环系统的幅频特性,闭环频域 性能指标,开环频域 性能指标,一 闭环频域性能指标与时域指标的关系,零频值：零频值与系统的稳态误差有关。单位反馈系统的零频值为1。零频值越接近1系统的稳态误差越小。 复现频率和复现频宽：若规定一个为反映复现低频输入信号的允许误差，则复现频率就是闭环幅频特性值与零频值之差第一次达到的频率值。表征系统能以确定精度复现的输入信号的频率范围。 谐振频率：指系统产生峰值时对应的频率； 谐振

24、峰值：指在谐振频率处对应的幅值； 截止频率和频率宽度、带宽、频宽： 幅频特性下降为零频值的0.707倍时对应的频率,闭环频域性能指标,闭环幅频特性值不低于3dB的频率范围称为频率宽度、带宽、频宽：,1. 闭环频域主要性能指标,一般来说，如果系统闭环谐振峰值Mr愈高，时域响应的振荡性愈强；如果系统的带宽愈宽，即截止频率愈大，则时域响应的快速性愈好，系统复现输入信号的能力也愈强。,主要指标,谐振峰值、谐振频率和带宽,2.闭环频域指标与时域指标的关系,二阶系统可以求出频域指标和时域指标之间严格的数学关系,阻尼比是联系两者的桥梁,通常取阻尼比在0.40.7、谐振峰值在11.4之间。,截止频率,当一定时

25、，截止频率正比于系统无阻尼自然频率，因此无阻尼自然频率愈大，截止频率也就愈大，即带宽愈大，响应愈快。同时为了使输出量准确地复现输入量，应使系统的带宽略大于输入量的带宽。但带宽过大，系统抗高频干扰的性能下降，带宽大的系统实现起来也要困难些，所以带宽也不宜过大。高阶系统中，频域指标和时域指标的对应关系比较复杂，很难用严格的解析式来表达。工程上往往根据近似计算和大量的经验数据，求出一些经验公式或曲线图表，供分析设计时应用。,二 开环频域性能指标与时域指标的关系,求开环频率特性比求闭环频率特性方便，而且在最小相位系统中，幅频特性和相频特性之间有唯一确定的对应关系，因此工程上常用开环对数频率特性来分析和

26、设计系统。,开环截止频率、幅值交界频率c： 与系统无阻尼自然频率成正比，描述响应快速性。无阻尼自然频率愈大，幅值交界频率也就愈大，响应愈快。 幅值裕量Kg： 相位裕量：,开环频域性能指标,开环频率特性与时域响应的关系（2）,低频段一般是指折线对数幅频特性在第一个转折频率以前的频段,开环频率特性与时域响应的关系,通常分为三个频段来加以分析,系统的稳态指标主要是由这个频段幅频特性的高度和斜率所决定的。,中频段通常是指折线对数幅频特性c前后转折频率之间 的一段。有的认为是L()从十30dB降到15dB的一段。,时域响应的动态指标主要由中频段的形状决定,开环频率特性与时域响应的关系（3）,前面已经指出，闭环截止频率的大小决定了时域响应的快速性。由于闭环截止频率b与开环截止频率c相近，一般b稍大于开环截止频率c，所以对时域响应的快速性要求可以反映在对开环截止频率c大小的要求上。,系统的相位裕量主要取决于中频段即开环截止频率c处的斜率。当斜率为40dBdec时，相位裕量的值趋近0，系统趋于临界稳定状态，甚至系统不稳。,为了使系统稳定，且有足够的稳定裕量，一般希望中频段的斜率为20dBdec，且有足够的宽度。,高频段的斜率与系统抗干扰性能有关。,高频段是指中频段以后的频段,结论,一般来说，低频段的形状主要影响系统暂态响应的结尾段，影响系统的稳态指标；高频段主要影响暂态响应的起始段；频率