函数的奇偶性

1、函数的奇偶性一、 知识要点1奇偶函数的定义(1)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数(2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有 2具有奇偶性的函数的图象特点一般地，奇函数的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 3函数奇偶性的判定方法(1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于 对称，若不对称，则函数是 函数；若对称，再判定f(x

2、)f(x)或f(x)f(x)有时判定f(x)f(x)比较困难，可考虑判定f(x) 或判定 (f(x)0)(2)性质法判定在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)； 4.奇函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性；偶函数在对称的两个区间上有的单调性f(x)为奇函数，且在原点有定义，则f(0)= 5周期函数定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，T为函数的一个周期二、例题讲解例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)； (2)f(

3、x)log2(x)；(3)f(x) (4)f(x).(5)f(x)变式 已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是变式 已知函数，若是奇函数，则的值是 变式 设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，实数a的值 例2已知函数f(x)对一切x、yR，都有f(xy)f(x)f(y)(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(3)a，用a表示f(12)例3已知函数f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，求f(2)的值变式 若f(x)ax7bx5cx3dx8，f(5)15，求f(5)的值例4已知定义域为R的奇函数f(x),在x0时，f(x)=x2+x+1,求f(x)的解析式变式

4、设0时，求当0时，的表达式例5设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围变式 (009陕西)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x20，)(x1x2)，有0.则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3) Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2)例7(湖北高考)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于()A2 B2 C98 D98变式 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x1)f(x)3，当x0,1时，f(x)2x，则f(2005

5、.5)_.考题回放 1(2011安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=( )()-3()-1()1()32(2011辽宁高考)若函数为奇函数，则a=( )3已知偶函数f(x)在区间0，+)上单调递增，则满足的x的取值范围是( )4(2012年高考广东卷文科4) 下列函数为偶函数的是( )A .y=sinx B. y= C. y= D. y=ln5(2012年高考天津卷文科6)下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )A.y=cos2x，xR B.y=log2|x|，xR且x0 C.y=，xR D.y=+1，xR6（2010年高

6、考山东卷文科5）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（ ）（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)37(2011年高考安徽卷文科11)设是定义在R上的奇函数，当x0时，=，则 .8.(2012年高考重庆卷文科12)函数 为偶函数，则实数 9. (2012年高考浙江卷文科16) 设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=x1，则=_。10.(2012年高考山东卷文科15)若函数在1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a.11.（2012年高考安徽卷文科13）若函数的单调递增区间是，则=_.三、课堂练习1(文)(2011济南模拟)函数f(x)(x

7、R)是周期为3的奇函数，且f(1)a，则f(2011)的值为()Aa Ba C0 D2a2(2011兰州诊断)已知是定义在R上的偶函数，并满足，当1x2时，则()A4.5 B4.5 C0.5 D0.53已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若g(1)2，则f(2012)的值为()A2 B0 C2 D24.若是偶函数,是奇函数,且,则 , .课后作业1判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)(x1)；(2)f(x).2下列函数既是奇函数又是偶函数的是()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)3下列说法错误的个数为()图象关于原点对称的函数是奇函数；图象

8、关于y轴对称的函数是偶函数；奇函数的图象一定过原点；偶函数的图象一定与y轴相交A4B3C2D04已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1 B0 C1 D25设f(x)是R上的奇函数，并且当x0，)时，f(x)x(1)，那么当x(，0)时，f(x)等于()Ax(1) Bx(1) Cx(1) Dx(1)6函数f(x)是定义域为实数集R的偶函数，它在区间0，)上是增函数，若f(m)f(2)，则实数m的取值范围为_7(2009江西高考)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2008)f(2009)的值为（ ）A2 B1 C1 D28(2009四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x1)(1x)f(x)，则f()的值是（